陶 征，毛松磊，郭勤濤，劉 旭

(1.鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

目前對大型機(jī)械設(shè)備傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析研究，主要是在確定性的框架內(nèi)進(jìn)行的，很少考慮系統(tǒng)中存在的不確定性因素，如齒輪嚙合、聯(lián)軸器接觸狀態(tài)等，對傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型動(dòng)態(tài)特性分析造成的影響，使仿真結(jié)果不能有較好的工業(yè)應(yīng)用[1].因此，提高有限元模型的精度使其能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，對機(jī)械設(shè)備傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及動(dòng)態(tài)特性分析具有重要意義.

近十年來，以分層思想為核心，通過修正子結(jié)構(gòu)有限元模型獲得整體結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確模型的分層修正方法正在迅速發(fā)展.針對復(fù)雜的機(jī)械設(shè)備，該方法首先將其分解成簡單的子結(jié)構(gòu)，通過統(tǒng)計(jì)意義下的模型修正方法識別子結(jié)構(gòu)中的不確定性參數(shù)，獲得精確的子結(jié)構(gòu)模型，不需做整機(jī)實(shí)驗(yàn)，由子結(jié)構(gòu)響應(yīng)不確定性推斷出整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差的置信度[2].因此，建立精確的子結(jié)構(gòu)有限元模型是分層修正方法解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型響應(yīng)預(yù)測置信度問題的關(guān)鍵.

為探討復(fù)雜大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)建模方法，采用基于響應(yīng)面的有限元模型修正技術(shù)，以子結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率數(shù)據(jù)為目標(biāo)，通過識別模型中的不確定性參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對子結(jié)構(gòu)模型的修正，并進(jìn)行振型相關(guān)性分析及頻響曲線對比分析，結(jié)果表明修正后的有限元模型精度得到明顯提高.

1 基于響應(yīng)面的有限元模型修正理論

基于響應(yīng)面的模型修正方法是近年來基于統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的模型修正方法的研究方向[3-6]，其以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，可以更好地解決傳動(dòng)系統(tǒng)中存在的不確定性參數(shù)這一問題，同時(shí)修正過程運(yùn)行快、效率高.

響應(yīng)面法是以方差分析、回歸分析[7]兩大數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論技術(shù)為基礎(chǔ)的一項(xiàng)理論,其主要內(nèi)容包括：試驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)篩選、響應(yīng)面擬合及參數(shù)修正.

方差分析以篩選顯著性參數(shù)為目的，其基本思想是計(jì)算出各設(shè)計(jì)參數(shù)的離差平方和，然后求得各設(shè)計(jì)參數(shù)和誤差的F值，應(yīng)用F值檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，找出顯著性參數(shù).假設(shè)對有限元模型的某一因素X進(jìn)行F檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為：

(1)

式中：SX、fX為因素的離差平方和及自由度；SE、fE為誤差的離差平方和及自由度.

對于給定的顯著水平α，方差比率F檢驗(yàn)的準(zhǔn)則為：若F≥F1-α(fX,fE)，則認(rèn)為因素X為顯著性參數(shù)；反之不顯著.

采用回歸分析方法以系統(tǒng)特征量y為因變量，設(shè)計(jì)參數(shù)xi(i=1,2,…,k)為自變量，則含交互項(xiàng)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型為：

(2)

為保證擬合響應(yīng)面能夠準(zhǔn)確描述因、自變量間的關(guān)系，需對其進(jìn)行精度檢驗(yàn).若符合要求則進(jìn)行模型修正；若不滿足則需重新計(jì)算.響應(yīng)面的精度檢驗(yàn)依照以下公式：

(3)

(4)

模型修正[9-10]可以歸結(jié)為以下優(yōu)化問題：

(5)

st.VLB≤p≤VUB,

式中：p為設(shè)計(jì)參數(shù)；{fA(p)}，{fE}分別為試驗(yàn)與仿真的特征值；‖R(p)‖2為特征值殘差的2-范數(shù)；VLB、VUB為設(shè)計(jì)空間的上下限.

2 有限元模型建立及模態(tài)分析

2.1 小型傳動(dòng)系統(tǒng)裝置的設(shè)計(jì)

以圖1所示的7.9 m磨機(jī)兩級齒輪結(jié)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)作為原生系統(tǒng)，基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的相似設(shè)計(jì)理論[11]設(shè)計(jì)小型傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置.該磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)為串聯(lián)式的二級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng).

1.電機(jī),2.聯(lián)軸器,3.減速器,4.低速級齒輪傳動(dòng),5.高速級齒輪傳動(dòng),6.聯(lián)軸器,7.小齒輪,8.負(fù)載(包括磨機(jī)筒體、大齒輪及載荷)

基于相似系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論[12]，對原生系統(tǒng)的組成要素進(jìn)行識別，采用相同功能、作用的組成要素，并按照與原生系統(tǒng)一致的順序進(jìn)行排序，最終得到結(jié)構(gòu)和功能上與原生系統(tǒng)相似的相似系統(tǒng).

由于大型機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)一般只關(guān)注低階模態(tài)頻率，其頻率大都在幾十到幾百赫茲，而尺寸上大幅縮小的小型傳動(dòng)系統(tǒng)，其低階模態(tài)頻率極有可能增大至上千赫茲.為滿足相似系統(tǒng)在模態(tài)頻率方面與原生系統(tǒng)的相似性需求，通過在軸上增添圓盤從而增加系統(tǒng)質(zhì)量的方法降低系統(tǒng)模態(tài)頻率，保證相似系統(tǒng)前三階模態(tài)頻率在200 Hz以內(nèi).最終得到小型傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案并成功搭建，如圖2所示.

圖2 小型傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺

2.2 模型建立及模態(tài)分析

針對圖2所示傳動(dòng)系統(tǒng)，按照傳動(dòng)軸的分布將其分為4個(gè)子結(jié)構(gòu)，從左至右依次為子結(jié)構(gòu)A、B、C、D，每個(gè)子結(jié)構(gòu)包含傳動(dòng)軸及軸上零件.

在Patran中建立子結(jié)構(gòu)A的有限元模型如圖3所示.其中，圓盤通過脹緊套固定在軸上，由于脹緊套內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，將其簡化為實(shí)心圓環(huán)塊；傳動(dòng)軸、圓盤、脹緊套接觸位置單元為柔性接觸體單元，采用粘接接觸(glue)；軸承采用Bush單元及多點(diǎn)約束MPC方法進(jìn)行模擬.由于脹緊套替代結(jié)構(gòu)材料未知，暫選為普通碳鋼，其余部件材料為普通碳鋼，彈性模量E=2.1e11 Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3.對子結(jié)構(gòu)A及圓盤進(jìn)行模態(tài)分析，其前兩階模態(tài)如表1所示.

圖3 子結(jié)構(gòu)A的有限元模型

表1 模態(tài)分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果

Tab.1 Modal analysis results and test results

振型模態(tài)分析頻率/Hz模態(tài)試驗(yàn)頻率/Hz子結(jié)構(gòu)A圓盤子結(jié)構(gòu)A圓盤一階彎曲232.98515.75223.27519.64二階彎曲248.521 066.80277.631 089.79

3 模態(tài)試驗(yàn)

試驗(yàn)?zāi)B(tài)辨識方法有：單點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)響應(yīng)(SISO)、多點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)(MIMO)、單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)(SIMO)以及多參考點(diǎn)錘擊法(MRIT)等.其中，MRIT方法能夠避免因僅使用一個(gè)參考點(diǎn)導(dǎo)致模態(tài)丟失的情況，從而最大程度上識別系統(tǒng)所有模態(tài)，因此選用MRIT方法進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，具體方案如下：

(1)試驗(yàn)測點(diǎn)設(shè)計(jì)，如圖4所示，共有被測節(jié)點(diǎn)22個(gè).

圖4 試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒键c(diǎn)圖

(2)數(shù)據(jù)采集，每個(gè)節(jié)點(diǎn)測量其三方向的加速度信號.

(3)模態(tài)識別，利用N-modal模態(tài)識別軟件對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最終識別出其一階、二階模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，如表1所示.

4 模型修正

4.1 參數(shù)的修正

研究中發(fā)現(xiàn)，脹緊套替代結(jié)構(gòu)的彈性模量不僅顯著影響圓盤模態(tài)頻率，也影響軸的彎曲模態(tài)頻率，而軸承支承剛度影響軸彎曲模態(tài)頻率.因此將脹緊套替代結(jié)構(gòu)彈性模量和軸承支承剛度作為待修正參數(shù).

針對脹緊套替代結(jié)構(gòu)彈性模量，以圓盤的一階彎曲模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為目標(biāo)值，采用響應(yīng)面法對其進(jìn)行參數(shù)修正.待修正參數(shù)只有彈性模量值，因此顯著性參數(shù)無需篩選，即為彈性模量；采用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在有限元模型中分析計(jì)算得到樣本數(shù)據(jù)；選取樣本數(shù)據(jù)，以圓盤模態(tài)頻率為因變量，彈性模量為自變量，擬合二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，精度檢驗(yàn)結(jié)果R2值為0.999 8、RMSE值為2.24e-5，表明響應(yīng)面精度較高；采用MATLAB軟件修正響應(yīng)面模型，修正過程彈性模量值相對改變量的變化曲線如圖5所示.

圖5 彈性模量值相對改變量變化曲線

修正后彈性模量值為334 090 MPa.對修正后的模型進(jìn)行計(jì)算分析，結(jié)果如表2所示，可以看出修正后的模態(tài)頻率與試驗(yàn)值非常接近，表明模型的修正效果良好.

表2 修正前后模態(tài)頻率

針對軸承支承剛度1、支承剛度2、支承剛度3，以正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)，在參數(shù)的設(shè)計(jì)空間內(nèi)確定樣本點(diǎn)，代入有限元模型中分析計(jì)算得出樣本值；對確定的各組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析，得到各階模態(tài)的顯著性參數(shù)，篩選結(jié)果見表3.選取樣本數(shù)據(jù)，以子結(jié)構(gòu)A前兩階模態(tài)頻率為因變量，以各自對應(yīng)的顯著性參數(shù)為自變量，擬合響應(yīng)面模型，響應(yīng)面模型精度檢驗(yàn)結(jié)果見表4，R2值在0.998以上，RMSE值接近0，響應(yīng)面模型精度很高，其中一階模態(tài)頻率響應(yīng)面模型如圖6所示；采用MATLAB編程對模型進(jìn)行修正，修正過程支承剛度值相對改變量變化曲線如圖7所示.

表3 各階模態(tài)顯著性參數(shù)篩選結(jié)果

表4 響應(yīng)面模型精度檢驗(yàn)結(jié)果

圖6 一階模態(tài)頻率響應(yīng)面模型

圖7 支承剛度值相對改變量變化曲線

軸承支承剛度修正結(jié)果見表5.上述過程未對不屬顯著參數(shù)的支承剛度3進(jìn)行識別，由于3個(gè)軸承型號尺寸相同，支承剛度值相差不大，令支承剛度3取值為支承剛度1與支承剛度2均值.對修正后的模型進(jìn)行計(jì)算分析，結(jié)果如表6所示，可知修正后模態(tài)頻率誤差均小于0.03%，表明修正效果良好，有限元模型精度得到明顯改善.

表5 子結(jié)構(gòu)A軸承支承剛度值

表6 修正前后模態(tài)頻率對比

4.2 模態(tài)振型相關(guān)性分析

在模態(tài)試驗(yàn)中受到測點(diǎn)數(shù)量、測量頻率范圍、激勵(lì)方式等實(shí)際測量因素的限制，可能出現(xiàn)測得的模態(tài)振型不完備，試驗(yàn)與仿真無法對應(yīng)的情況.因此，為評判上述軸承支承剛度參數(shù)識別過程中仿真模型和試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型的一致程度，采用了振型相關(guān)系數(shù)，即模態(tài)置信度(MAC)來計(jì)算分析[13].振型相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式如下：

(6)

計(jì)算分析子結(jié)構(gòu)A模態(tài)置信度，第一階模態(tài)MAC值為0.897 2，第二階模態(tài)MAC值為0.913 0，表明仿真模態(tài)振型與試驗(yàn)振型相匹配.

4.3 頻響曲線對比分析

頻域分析通過不同頻率諧波輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)性能，能夠深刻地反映系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響.

對修正模型采用模態(tài)疊加法進(jìn)行頻率響應(yīng)分析[14]，頻率響應(yīng)曲線如圖8所示，模態(tài)試驗(yàn)的頻響曲線如圖9所示.可以看出，在修正頻段(223.27～277.63 Hz)內(nèi)，修正模型的仿真分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果接近，在修正頻段外兩者數(shù)據(jù)也較接近.

圖8 子結(jié)構(gòu)A有限元模型的頻率響應(yīng)曲線

圖9 子結(jié)構(gòu)A模態(tài)試驗(yàn)的頻率響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

為最終解決復(fù)雜的大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型響應(yīng)預(yù)測置信度的問題，筆者基于分層思想，以傳動(dòng)系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)為研究對象，通過響應(yīng)面法識別系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)，對子結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正.修正結(jié)果顯示，頻率誤差小于0.03%，模態(tài)置信度在0.89以上，有限元模型與模態(tài)試驗(yàn)所得頻率響應(yīng)曲線接近，表明修正后的模型精度得到明顯提高，能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性；證明了響應(yīng)面法在大型磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及動(dòng)態(tài)特性分析中具有的良好可行性，并且為后續(xù)系統(tǒng)整體分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).