何 敏，江燕燕，黃 忠，周清卿，王其申

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133）

2001年，Elishakoff等針對(duì)功能梯度梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題，提出了一種新穎的解法[1-2]。此后，王其申研究了任意支承桿模型[3]，吳磊等研究了簡(jiǎn)支梁[4]和懸臂梁[5]這兩類單跨梁，王其申等進(jìn)行了相關(guān)問(wèn)題綜述[6]。對(duì)于多跨梁結(jié)構(gòu)，文[7]研究了一類兩跨梁模型，文[8]研究了兩跨外伸梁模型，文[9]研究了對(duì)稱簡(jiǎn)支梁模型。本文由兩端彈性支承的對(duì)稱梁出發(fā)，最終導(dǎo)出對(duì)稱簡(jiǎn)支梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)。

長(zhǎng)為L(zhǎng)的梁的橫振動(dòng)無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程：

對(duì)于兩端彈性支承對(duì)稱梁，參考文[10]，有下列邊界條件：

其中，h是約束梁兩端線位移的拉伸彈簧剛度，β是約束梁兩端角位移的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度。

下面計(jì)算兩端彈性對(duì)稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)。要滿足條件（2）式，對(duì)于基模態(tài)（也稱第一階模態(tài)或不含節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱模態(tài)），可以把位移多項(xiàng)式取為4次多項(xiàng)式；對(duì)于第二階模態(tài)（也稱含單節(jié)點(diǎn)的反對(duì)稱模態(tài)），可以把位移多項(xiàng)式取為5次多項(xiàng)式，還要滿足約束條件W()=0。令

這里，上標(biāo)sy表示對(duì)稱振型，上標(biāo)as表示反對(duì)稱振型。解得滿足邊界條件的位移多項(xiàng)式是：

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，（4）式可以化為如下的多項(xiàng)式型函數(shù)：

此結(jié)論與文[9]完全一致。而對(duì)于兩端固定的對(duì)稱梁，需要滿足極限條件h →+∞, β →+∞，則（4）式中的系數(shù)N →+∞，這是不能成立的。因此，可以由對(duì)稱多項(xiàng)式型函數(shù)（5）式導(dǎo)出對(duì)稱簡(jiǎn)支梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，但不能導(dǎo)出兩端固定對(duì)稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，這反映了這個(gè)模型具有局限性。

本文計(jì)算結(jié)果表明：由兩端彈性支承的對(duì)稱邊界條件，可以構(gòu)造兩端彈性支承對(duì)稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，它包含了對(duì)稱簡(jiǎn)支梁的位移函數(shù)。文章計(jì)算的基模態(tài)和第二階模態(tài)下兩端彈性支承梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，在相差一個(gè)常數(shù)因子的條件下，位移函數(shù)是唯一的。