張偉紅

（合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥230601）

關(guān)鍵字：數(shù)值分析；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式；分層遞進(jìn)教學(xué)；Matlab

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的數(shù)值計(jì)算方法。它的特點(diǎn)是理論和實(shí)踐相結(jié)合，既重視各種模型方法的理論分析，又重視這些方法的使用[1]。數(shù)值分析中模型的算法所面向的對(duì)象是計(jì)算機(jī)，所以在教學(xué)過(guò)程中數(shù)值實(shí)現(xiàn)必不可少。Matlab是一個(gè)集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)分析、圖形可視化、文字處理于一體的大型集成化軟件，已經(jīng)成為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最優(yōu)化、計(jì)算機(jī)及電子信息等方面的教學(xué)或科研的常用工具。它的特點(diǎn)是語(yǔ)法簡(jiǎn)單，易于學(xué)習(xí)。數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課選用Matlab軟件平臺(tái)進(jìn)行教學(xué)，編程容易上手，有助于學(xué)生把重點(diǎn)放在算法的實(shí)現(xiàn)上，且Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能，使用起來(lái)非常方便，可以省去一些不必要的編程，便于學(xué)生比較和驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。

在數(shù)值分析教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)算法的理論學(xué)習(xí)容易掌握，但解決實(shí)際問(wèn)題的能力欠佳，而這種學(xué)以致用的能力往往在就業(yè)過(guò)程中是公司或企業(yè)更看中的。所以在課程的講授過(guò)程中，希望能結(jié)合課程特點(diǎn)注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，從而提高學(xué)生的綜合能力，讓其更好地步入社會(huì)，適應(yīng)社會(huì)需求[2]。但傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式不能有效地發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的作用，常見(jiàn)問(wèn)題有實(shí)驗(yàn)教學(xué)中內(nèi)容單一、只是驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高、相互抄襲實(shí)驗(yàn)報(bào)告；單一的教師給實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、學(xué)生做實(shí)驗(yàn)、提交實(shí)驗(yàn)報(bào)告的教學(xué)模式，不便于掌控課堂，不易調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不能很好根據(jù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果評(píng)判實(shí)驗(yàn)成績(jī)。因此國(guó)內(nèi)諸多的教學(xué)工作者一直在探索數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式[3-5]，以更好地引導(dǎo)學(xué)生讓其學(xué)會(huì)思考、探索、改正，且在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、分析問(wèn)題并選擇適當(dāng)?shù)乃惴ň帉懹?jì)算機(jī)程序來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

為了避免傳統(tǒng)教學(xué)中的問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中需要注意：1）學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師起引導(dǎo)作用；2）分解實(shí)驗(yàn)任務(wù)，明確實(shí)驗(yàn)要求，給定時(shí)間結(jié)點(diǎn)，完成相應(yīng)任務(wù)；3）展示學(xué)生實(shí)驗(yàn)成果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。根據(jù)這些注意事項(xiàng)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力，提出一種新的適合應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式。

1 “分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式

“分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，是一種分層遞進(jìn)的教學(xué)方式，本質(zhì)上是將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分解成基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)和提高實(shí)驗(yàn)兩部分。基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分是對(duì)算法做驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，提高實(shí)驗(yàn)部分是在驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)完成的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出更高要求的實(shí)驗(yàn)，如改進(jìn)算法或利用基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)結(jié)果去求解其他問(wèn)題等等。其中“分析”是教師在學(xué)生實(shí)驗(yàn)前先將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行講解、分析，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將算法轉(zhuǎn)化成為程序，并給出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的流程圖；“實(shí)踐”是讓學(xué)生基于分析結(jié)果進(jìn)行基礎(chǔ)部分的實(shí)驗(yàn)，結(jié)合流程圖利用數(shù)學(xué)軟件寫出算法的程序，并利用程序做簡(jiǎn)單的計(jì)算；“演示”是教師在學(xué)生做了基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之后，現(xiàn)場(chǎng)演示個(gè)別條理性比較好的學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對(duì)照流程圖進(jìn)行講解和說(shuō)明；“完善”是在教師演示過(guò)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的程序之后，給學(xué)生時(shí)間去修改和完善自己的程序；“進(jìn)階”是在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出更高要求的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓學(xué)生思考基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)并改進(jìn)或利用它，這部分實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自己獨(dú)立完成。

“分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，在實(shí)施過(guò)程中要注意控制實(shí)驗(yàn)時(shí)間，基本上按照“10-25-10-15-30分鐘”時(shí)間分布來(lái)執(zhí)行。同時(shí)注意控制課堂秩序，學(xué)生可以相互討論的實(shí)驗(yàn)階段是“實(shí)踐”和“完善”階段，“進(jìn)階”部分獨(dú)立完成、不能相互討論。實(shí)驗(yàn)報(bào)告是實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的總結(jié)階段，要求學(xué)生能將實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析、改進(jìn)，并總結(jié)進(jìn)而寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告和心得體會(huì)。這種分層遞進(jìn)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，教會(huì)了學(xué)生如何將所學(xué)理論轉(zhuǎn)化成程序并使用，有效地培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和編寫程序處理問(wèn)題的能力。

2 實(shí)驗(yàn)案例

實(shí)驗(yàn)的目的是讓學(xué)生掌握拉格朗日插值方法，然后將其轉(zhuǎn)化成程序，并利用所寫程序構(gòu)造高次和低次的插值曲線。進(jìn)一步讓學(xué)生感受高次插值帶來(lái)的龍格現(xiàn)象，以及學(xué)習(xí)解決龍格現(xiàn)象的分段低次插值方法。結(jié)合上面所提出的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，對(duì)于這次實(shí)驗(yàn)課，具體的實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下。

1）“分析”階段

首先教師帶著學(xué)生復(fù)習(xí)拉格朗日方法，寫出拉格朗日插值公式，并讓學(xué)生明白公式中已知量是什么，待求量是什么，即讓學(xué)生清楚程序的輸入量和輸出量，

然后要求學(xué)生根據(jù)拉格朗日插值公式，封裝一個(gè)Mylagrange（輸入量）的函數(shù)，后面繪制插值曲線可以直接調(diào)用Mylagrange函數(shù)。為了避免學(xué)生從網(wǎng)上直接拷貝拉格朗日的程序來(lái)交差，教師需要帶著學(xué)生進(jìn)一步分析拉格朗日函數(shù)的內(nèi)涵，將問(wèn)題繼續(xù)分解。引導(dǎo)學(xué)生觀察拉格朗日的表示形式：基函數(shù)的線性組合，并帶著學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)公式寫出拉格朗日函數(shù)的流程圖，指出輸入量和輸出量，說(shuō)明這個(gè)流程圖的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)Matlab語(yǔ)言就是for循環(huán)。提示學(xué)生將基函數(shù)先封裝成一個(gè)函數(shù)LagBase（節(jié)點(diǎn)信息），然后在一個(gè)循環(huán)語(yǔ)句里調(diào)用這個(gè)函數(shù)給出拉格朗日函數(shù)Mylagrange。為了便于學(xué)生寫出基函數(shù)的程序LagBase（節(jié)點(diǎn)信息），對(duì)基函數(shù)的形式進(jìn)行簡(jiǎn)化：

結(jié)合該形式給出基函數(shù)的流程圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考基函數(shù)的程序。

2）“實(shí)踐”階段

這個(gè)階段就是留給學(xué)生去實(shí)踐，讓他們?nèi)ハ胺治觥彪A段的結(jié)果，實(shí)現(xiàn)自己的想法。教師鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手去做實(shí)驗(yàn)，及時(shí)幫助他們發(fā)現(xiàn)并克服編程中遇到語(yǔ)法等程序問(wèn)題。同時(shí)要善于觀察并發(fā)現(xiàn)這些程序?qū)懙煤玫膶W(xué)生，在下一階段中演示這些學(xué)生的程序。

3）“演示”階段

演示個(gè)別學(xué)生的結(jié)果，并對(duì)照“分析”階段中的流程圖進(jìn)行逐句講解，教會(huì)學(xué)生怎樣根據(jù)流程圖寫程序。將基函數(shù)的程序單獨(dú)列出來(lái)，并結(jié)合例子驗(yàn)證程序的正確性，再結(jié)合拉格朗日函數(shù)的流程圖，對(duì)照講解拉格朗日函數(shù)的程序。

4）“完善”階段

經(jīng)過(guò)上面的3個(gè)階段，學(xué)生已經(jīng)在教師的講解下清楚寫程序的整個(gè)過(guò)程。這個(gè)階段就留給學(xué)生，讓他們自己反思自己程序中的問(wèn)題并結(jié)合上面的演示過(guò)程進(jìn)行修改。

5）“進(jìn)階”階段

這個(gè)階段是讓學(xué)生學(xué)習(xí)使用自己的程序去處理一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。讓學(xué)生從中獲取學(xué)習(xí)這些方法的樂(lè)趣，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生去思考現(xiàn)有方法中存在的問(wèn)題。這個(gè)階段所包含的信息量較大，便于教師通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)掌握學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)情況。這次實(shí)驗(yàn)課的“進(jìn)階”階段，包含3部分內(nèi)容：

（a）利用拉格朗日函數(shù)程序，繪制出給定函數(shù)f (x)的10次插值曲線；

（b）利用拉格朗日函數(shù)程序，繪制出給定函數(shù)f (x)的4次插值曲線；

（c）利用拉格朗日函數(shù)程序，將定義區(qū)間分兩段，分別在每段上構(gòu)造相應(yīng)的4次插值曲線，并繪制出插值曲線圖。

題目（a）的設(shè)置是為了讓學(xué)生觀察高次插值的震蕩現(xiàn)象，題目（b）的設(shè)置是為了讓學(xué)生觀察低次插值和高次插值的區(qū)別，題目（c）的設(shè)置是為了讓學(xué)生體會(huì)如何利用現(xiàn)有辦法去解決高次插值所帶來(lái)的弊端。三部分內(nèi)容都不難，但是對(duì)于沒(méi)有理解拉格朗日函數(shù)程序的學(xué)生，就不知道如何下手；對(duì)于部分不會(huì)使用數(shù)學(xué)軟件繪圖的學(xué)生，也不能繪制出插值曲線。其實(shí)3個(gè)題目，實(shí)際操作本質(zhì)上是一個(gè)過(guò)程，對(duì)上課專心聽(tīng)課且認(rèn)真參與每個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的學(xué)生，能很快完成。為了避免出現(xiàn)抄襲現(xiàn)象，這一階段的完成過(guò)程，要求學(xué)生可以翻閱資料，但是不能左顧右盼，且對(duì)大家的要求是（a）、（b）是需要大家完成的部分，做完（a）和（b）就可以寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，并提交實(shí)驗(yàn)報(bào)告。（c）能做完就補(bǔ)充進(jìn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，做不完可以課后自己補(bǔ)充完成。這樣可以結(jié)合課內(nèi)實(shí)驗(yàn)報(bào)告完成情況和課后補(bǔ)充情況，給出符合實(shí)際掌握情況的實(shí)驗(yàn)過(guò)程分?jǐn)?shù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計(jì)算方法，它面向的對(duì)象是計(jì)算機(jī)。這就決定了數(shù)值分析課不能像其他數(shù)學(xué)課一樣，只注重理論。不經(jīng)過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)學(xué)生就不能深刻理解數(shù)值分析的本質(zhì)。文中所提出的這種“分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，是在長(zhǎng)期教學(xué)過(guò)程中總結(jié)出來(lái)的，是一種分層遞進(jìn)的教學(xué)過(guò)程，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生動(dòng)手能力，提高課堂教學(xué)效果。但仍有有待改進(jìn)的地方，在今后的教學(xué)中還需不斷完善。