耿 杰，宋衛(wèi)東，鄭家耀

（1.安徽信息工程學(xué)院通識教育與外國語學(xué)院，安徽蕪湖241000；2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽蕪湖241000）

Finsler幾何有著悠久的歷史，在微分幾何發(fā)展史上扮演著重要角色，成為21世紀數(shù)學(xué)研究的主攻方向，目前已在數(shù)理統(tǒng)計、控制論和多端信息理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。設(shè)M 是一個n 維的光滑流形，TxM 表 示x ∈M 處 的 切 空 間，其 切 叢上的非負函數(shù)F:，稱為Finsler度量，如果F滿足：(i)光滑性，在切叢TM{0}上F(x,y)是光滑函數(shù)；(ii)正齊性，正則性，矩陣在切叢上是正定的，其中張量g=gij(x,y)是切叢TM 上的二階對稱且正定的共變張量，稱為F 的基本張量。稱具有Finsler度量的流形為Finsler流形，記作(M,F)。

存在大量非Riemann 的Finsler 度量：(i)根據(jù)F 的正齊性，光滑流形上的Riemann 度量gij(x)=可以構(gòu)造兩個Finsler度量

下面給出球?qū)ΨQFinsler度量和對偶平坦的Finsler度量的相關(guān)概念以及滿足對偶平坦的特殊屬性。

Amzri等在Riemann流行上研究信息幾何學(xué)時提出了對偶平坦的概念。文獻[4]研究了在去掉二次型限制的條件下，將對偶平坦這個概念推廣到Finsler流形上，并證明了在開域上的Finsler度量F =F(x,y)是對偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)F 滿足偏微分方程在文獻[5]中研究了開集上的球?qū)ΨQFinsler度量F=F(x,y)是對偶平坦的充要條件，即開集上的球?qū)ΨQFinsler度量

是對偶平坦當(dāng)且僅當(dāng)f滿足偏微分方程

研究和構(gòu)造對偶平坦并具有非零數(shù)量旗曲率的Finsler度量是Finsler幾何中的一個經(jīng)典問題。文獻[6]中給出非Riemann的對偶平坦Finsler度量這是定義在單位球上的Funk度量，其中 |· |和＜, ＞分別表示為標(biāo)準的歐幾里得范數(shù)和內(nèi)積。

文獻[7]通過射影平坦的Finsler度量利用射影因子構(gòu)造了一些對偶平坦的Finsler度量。文獻[8-9]也給出了對偶平坦的球?qū)ΨQFinsler度量的若干例子。本文通過解球?qū)ΨQFinsler度量成為對偶平坦度量所滿足的一個偏微分方程（2），構(gòu)造兩類不同形式的f (t,s)，即f (t,s)=(s)和f (t,s)=通過分離變量及Maple運算得到兩類具有一般形式的對偶平坦的Finsler度量。

定理1若f (t,s)定義為其中λ,c1,c2均為任意常數(shù)，則球?qū)ΨQFinsler度量在單位球Bn(1)上是對偶平坦的。

證明通過分離變量法給出方程（2）的一個解，設(shè)f (t,s)=φ(t)+ψ(s)是方程（2）的解，則有

其中c1,為任意常數(shù)。

定理2若f (t,s)定義如下：

其中λ,c1,c2,c3,c4均為任意常數(shù)，且λ ＞是關(guān)于x 的誤差函數(shù)，則球?qū)ΨQFinsler度量在單位球Bn(1)上是對偶平坦的。

證明通過分離變量法給出方程（2）的另一個解，設(shè)f (t,s)是方程（2）的解，則有

方程（6）的通解可表示為

其中λ,c1,c2為任意常數(shù)，且λ ＞0,c1≠0。通過Maple運算，可得方程（7）的通解為

其中c3,c4均為任意常數(shù)。聯(lián)立（8）式和（9）式，得到方程（2）一個通解為

其中λ,c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)，由（1）式和（10）式可得定理2得證。

本文利用球?qū)ΨQFinler 度量成為對偶平坦度量滿足的一個偏微分方程，先構(gòu)造了兩類一般形式的f (t,s)，并運用較強的技巧計算出f (t,s)的具體表達式，進而得到兩類球?qū)ΨQ的對偶平坦Finler度量，為球?qū)ΨQFinler度量的研究提供了一種方法。