候繼倉　孫波

項目情境分析

本案例選自上?？萍冀逃霭嫔绲慕滩摹缎畔⒓夹g(shù)（必修1 數(shù)據(jù)與計算）》第三單元算法與程序設計之項目七：以計算圓周率為例——設計簡單數(shù)值數(shù)據(jù)算法。該項目通過設計簡單數(shù)值型數(shù)據(jù)算法解決計算圓周率問題，對程序三種控制結(jié)構(gòu)進行深入探究，并通過比較不同算法的運行時間感受算法效率，引導學生主動對程序或算法進行優(yōu)化。本項目引導學生利用計算機科學領(lǐng)域的思想方法界定問題，抽象特征，并能設計合理的算法形成解決問題的方案，有效促進計算思維素養(yǎng)的逐步養(yǎng)成。

圓周率π是一個在數(shù)學及物理學中常用的數(shù)學常數(shù)，它是圓的周長與直徑的比值，也等于圓的面積與半徑平方之比。π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，可以借助計算機編程，利用歐拉公式、沃利斯公式及隨機投點法等方法來計算圓周率，并可比較不同算法的效率，有意識地對算法和程序進行優(yōu)化。

項目活動安排

1.活動1：用沃利斯公式計算圓周率

活動要求：

（1）給出幾個簡單的累乘或累加公式，如5！=5*4*3*2*1，s1=1+3+5+7+9，s2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，分別討論它們的通項及累乘或累加變量的初值。

（2）分析沃利斯公式可知，這是一個累乘問題，通過觀察找出通項公式，確定累乘變量的初值，確定控制循環(huán)的方法。注意：通項公式并不唯一，因此累乘變量初值和循環(huán)控制方法也會相應發(fā)生改變。

（3）分組討論，結(jié)合循環(huán)控制方法，分別用自然語言和流程圖描述沃利斯公式求解π的算法。

（4）根據(jù)小組討論確定的算法，使用for循環(huán)或while循環(huán)編寫Python程序，并調(diào)試運行。

2.活動2：對比兩種計算圓周率的算法

活動要求：

（1）改寫數(shù)學公式法求解圓周率的程序設計，要求可以輸入精確度要求，并輸出運行時間。

（2）多次運行程序，改變limit的值，得到不同的圓周率近似值，并在表格3-4中記錄每次的運行結(jié)果。

（3）改寫隨機投點法的程序，要求可以輸入總投點數(shù)，并輸出運行時間。

（4）多次運行程序，改變總投點數(shù)，得到不同的圓周率近似值，并用表格3-4記錄每次的運行結(jié)果。

（5）對比兩種算法計算圓周率的運行情況，并填寫表格3-5。

3.拓展思考

（1）用歐拉公式和沃利斯公式計算圓周率的時候，對累加器或累乘器變量初值的設置有什么不同？

（2）在隨機投點法中，隨著總投點數(shù)的增加，圓周率的值有什么變化？如何使圓周率的值更加精確？

（3）在日常生活中，哪些事情是反復操作的？類似于本節(jié)課學習的循環(huán)程序設計，你能舉兩個例子嗎？

4.活動實施說明

（1）圓周率π是一個在數(shù)學及物理學中常用的數(shù)學常數(shù)，在這個問題的計算上，一代一代的數(shù)學家貢獻出了自己的智慧，本項目中分別給出了歐拉公式、沃利斯公式和計算機模擬隨機投點法來計算圓周率，讓學生通過Python編程來實現(xiàn)用計算機從不同的方法和角度來解決問題，并對解決問題的效率進行比較，從而實現(xiàn)“運用基本算法設計解決問題的方案，能使用編程或其他數(shù)字化工具實現(xiàn)這一方案”的目標。

（2）活動1的難點是提取問題的基本特征，進行抽象處理，并用形式化的方法表述問題，重點是設計算法、理解并掌握如何構(gòu)建一個循環(huán)結(jié)構(gòu)來解決問題。該項目適用于學科核心素養(yǎng)要求在水平2的教學場合。

在本活動中，s=s*item這個式子為累乘的通項公式，對上述沃利斯公式來說，item的一種表示方式是item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i從2開始，每次增加2。解決本問題需要重復進行的工作就是：①構(gòu)造item值，即item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i=i+2;②累乘item到s，即s=s*item。這里的循環(huán)控制條件是變量i的值達到指定值。i的初值為2，終值自己設定，每次加2。上述累乘算法可用自然語言描述，具體如圖1所示。

活動1中用流程圖描述算法時，要注意強調(diào)循環(huán)結(jié)構(gòu)的畫法，如圖2所示。

（3）分別用for循環(huán)和while循環(huán)的程序設計實現(xiàn)沃利斯公式計算圓周率，對比兩種循環(huán)的不同點（如圖3）。本次兩種循環(huán)均為確定次數(shù)的循環(huán)，for循環(huán)此時采用遍歷結(jié)構(gòu)中元素的個數(shù)來體現(xiàn)。while循環(huán)可以實現(xiàn)確定次數(shù)的循環(huán)，也可以實現(xiàn)不確定次數(shù)的循環(huán)。

（4）活動2是在活動1的基礎上進行的，通過對兩種算法做簡單的改寫和對比，讓學生學會分析問題，確定算法，并正確組織問題解決過程中涉及的各種數(shù)據(jù)，體驗不同算法的效率。程序中涉及到了Python對函數(shù)庫的引用方法，格式是：from〈庫名〉import〈函數(shù)名〉。

Python語言中time庫是處理時間的標準庫，math庫用于進行科學計算，均為Python自帶庫，安裝好Python之后可直接導入，不需另外安裝。clock（）函數(shù)以浮點數(shù)計算的秒數(shù)返回當前的CPU時間。兩次調(diào)用clock（）用來衡量不同程序的耗時。

（5）程序中用到了關(guān)系與運算符，特別要注意的是，Python中使用“=”表示賦值語句，使用“==”表示“等于”。此外，Python語言中支持連續(xù)比較，如判斷x是否為100和200之間的一個數(shù)，其表達式為：100<=x>=200。

（6）注意在完成表3-4時會發(fā)現(xiàn)，運行程序，輸入相同的limit值，會得到相同的pi的值，但是每次得到的運行時間是不一樣的，這與系統(tǒng)運行的外部環(huán)境相關(guān)。在完成表格3-5時，應該強調(diào)這一比較的前提是在數(shù)據(jù)規(guī)模相同的情況下進行的。

（7）拓展思考（1）的意義在于讓學生理解在用計算機解決相同問題時，根據(jù)算法的不同，其初值的設置是不一樣的。拓展思考（2）是為了讓學生體驗隨機投點法在數(shù)據(jù)量較小的情況下，不確定性很大，但是隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大，結(jié)果也越來越精確。拓展思考（3）是為了實現(xiàn)知識的遷移，總結(jié)利用計算機解決問題的過程和方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問題解決中去。

項目學習目標

1.學科核心素養(yǎng)目標

能夠采用計算機科學領(lǐng)域的思想方法界定問題、抽象特征;運用合理的算法形成解決問題的方案;總結(jié)利用計算機解決問題的過程和方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問題的解決中。

2.內(nèi)容目標

從生活實例出發(fā)，概述算法的概念與特征，運用恰當?shù)拿枋龇椒ê涂刂平Y(jié)構(gòu)表示簡單算法。掌握一種程序設計語言的基本知識，使用程序設計語言實現(xiàn)簡單算法。通過解決實際問題，體驗程序設計的基本流程，感受算法的效率，掌握程序調(diào)試與運行的方法。

3.學業(yè)目標

依據(jù)解決問題的需要，設計和表示簡單算法;掌握一種程序設計語言的基本知識，利用程序設計語言實現(xiàn)簡單算法，解決實際問題。

4.課時建議

活動1共2課時，建議連堂進行。活動2在活動1進行完之后開展，時間為2課時。