畢仁貴，錢 平，嚴(yán) 燦，楊代云

(1. 吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.廣州汽車集團(tuán)股份有限公司汽車工程研究院，廣東 廣州 511434)

滾動(dòng)軸承廣泛地應(yīng)用于工業(yè)機(jī)械、兵器機(jī)械、運(yùn)載機(jī)械和智能裝備等各種機(jī)器和裝備中，研究其力學(xué)性能是十分重要的課題[1-2].然而，在高速運(yùn)轉(zhuǎn)下軸承各元件間的動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜，僅計(jì)及安裝配合等因素分析已頗具難度，再加上服役環(huán)境、潤(rùn)滑劑使用等帶來(lái)的差異，使得軸承的靜動(dòng)力學(xué)特性研究一直是機(jī)械工程領(lǐng)域富有挑戰(zhàn)性的工作.滾動(dòng)軸承的服役涉及到接觸問(wèn)題，Hertz接觸理論[3]奠定了滾動(dòng)軸承的靜力學(xué)分析基礎(chǔ)；Jones[4]建立了高速球軸承的套圈控制理論，并首次提出了擬動(dòng)力學(xué)分析方法，Harris[5]在其基礎(chǔ)上建立了球軸承新的擬動(dòng)力學(xué)分析模型，Rumbarger等[6]提出了系統(tǒng)的分析理論，使得擬動(dòng)力學(xué)分析模型更加完善；在運(yùn)轉(zhuǎn)服役時(shí)，軸承各元件的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)軸承整體性能的影響不可小覷，Walters[7]首次建立了軸承的動(dòng)力學(xué)分析模型，近年來(lái)其動(dòng)力學(xué)特性的研究受到了廣泛關(guān)注[8-10]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出并發(fā)展了各種數(shù)值方法處理其服役過(guò)程中產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)信號(hào)，并有效地應(yīng)用于軸承故障診斷[11-13]，豐富了軸承動(dòng)力學(xué)的分析理論.綜合而言，已有的研究大多是在假設(shè)軸承各個(gè)元件僅發(fā)生彈性變形的情況下進(jìn)行的，這與軸承在重負(fù)載工況下產(chǎn)生塑性變形的事實(shí)不符[14]，因此有必要對(duì)其靜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行彈塑性分析.

筆者基于彈塑性理論，擬引入一個(gè)與應(yīng)力球張量有關(guān)的混合硬化屈服準(zhǔn)則[15]，該準(zhǔn)則與Mises準(zhǔn)則同構(gòu)，從而能建立各向同性材料的彈塑性增量型本構(gòu)方程.結(jié)合軸承內(nèi)荷載之間的關(guān)系、幾何關(guān)系，可以建立正交曲線坐標(biāo)系下1/4深溝球軸承外圈的平衡方程和相應(yīng)的定解條件，綜合應(yīng)用有限差分法和Newmark-β法就能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

1 軸承內(nèi)荷載之間的關(guān)系

圖1 軸承荷載分布Fig. 1 Load Distribution on the Deep Groove Ball Bearing

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)件軸承而言，軸承套圈一般安裝在剛性較強(qiáng)的軸承座中，其彎曲變形可以忽略不計(jì)，僅需計(jì)算接觸處的變形.作用于軸承的荷載傳遞路徑，一般是通過(guò)滾動(dòng)體由一個(gè)套圈傳遞到另一個(gè)套圈，因此需要確定各個(gè)滾動(dòng)體所受的荷載和作用于套圈上的荷載之間的關(guān)系.研究如圖1所示的深溝球軸承，內(nèi)圈固定在受橫向力的剛性軸上，外圈固定在彈性支承上.假設(shè)有N個(gè)滾動(dòng)體，其徑向游隙為0.考慮在徑向荷載作用下的荷載分布，軸承內(nèi)圈在外加徑向荷載Fr和滾動(dòng)體接觸荷載Qi下平衡.

在垂直方向上，由力的平衡關(guān)系，有

(1)

其中：Fr為作用在軸承內(nèi)圈的外加荷載；ψi為Fr作用線與標(biāo)號(hào)為i的滾動(dòng)體中心線之間的夾角，ψi=i×360(°)/N(i=0,1,2…,N)；Qi為與荷載作用線夾角為ψi位置的滾動(dòng)體所承受的接觸荷載.假設(shè)軸承外圈只發(fā)生微小的變形(圖2)，于是相應(yīng)的幾何關(guān)系為

δri=δrcosψi.

(2)

圖2 軸承外圈變形Fig. 2 Deformation of the Outer Ring of Deep Groove Ball Bearing

其中：δri為第i號(hào)滾動(dòng)體與外圈接觸處的位移；δr為最大位移.又由Hertz接觸理論可知

(3)

其中

這里：K(e)為第1類完全橢圓積分；E1和E2分別為2個(gè)接觸體的楊氏模量；μ1和μ2分別為對(duì)應(yīng)的泊松比；∑ρ為2個(gè)接觸體在接觸處的曲率半徑之和；ma為與橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù).

2 軸承外圈的基本方程

2.1 軸承外圈的幾何關(guān)系

圖3 軸承1/4外圈結(jié)構(gòu)Fig. 3 Geometry and Coordinate System of a Quarter of the Outer Ring of the Bearing

用u，v分別表示軸承外圈上任意一點(diǎn)沿徑向r和沿環(huán)向θ的位移.根據(jù)小變形理論，軸承外圈內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

2.2 軸承外圈的本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)塑性力學(xué)理論與相關(guān)假設(shè)[15]，若材料服從Mises屈服準(zhǔn)則，同時(shí)考慮同向強(qiáng)化與隨動(dòng)強(qiáng)化，可取材料的混合強(qiáng)化屈服準(zhǔn)則為

(5)

(6)

這里待定常系數(shù)K具應(yīng)力量綱，它可由簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的拉伸試驗(yàn)來(lái)確定.

根據(jù)假設(shè)，取屈服函數(shù)

(7)

(8)

其中λp是一個(gè)非負(fù)標(biāo)量，稱為塑性乘子.將(7)式代入(8)式，得到

(9)

將(9)式代入(6)式，得到等效主動(dòng)應(yīng)力與塑性應(yīng)變的關(guān)系：

(10)

定義等效塑性應(yīng)變?cè)隽?/p>

(11)

比較(10)式和(11)式，有

(12)

(13)

在(13)式中，混合強(qiáng)化參數(shù)α可通過(guò)試驗(yàn)確定，其取值范圍為(-1,1).當(dāng)α=1時(shí)，表示等向強(qiáng)化；當(dāng)α=0時(shí)，表示隨動(dòng)強(qiáng)化；當(dāng)α為負(fù)值時(shí)，表示對(duì)應(yīng)屈服曲面收縮.背應(yīng)力可以表示為塑性應(yīng)變的線性函數(shù)：

(14)

其中c為比例常數(shù).根據(jù)(8)和(13)式，(14)式可寫為

(15)

(16)

(17)

將(8)，(12)，(15)，(16)式代入(17)式，可得

(18)

由此各向同性材料的彈塑性增量型本構(gòu)關(guān)系為

為簡(jiǎn)單起見，將cijkl的雙下標(biāo)11，22，33，13，23，12分別記為下標(biāo)1，2，3，4，5，6，即c1111=c11，c1122=c12，c2222=c22，c1212=c66.在正交曲線坐標(biāo)系下，全量形式的本構(gòu)方程為

(19)

2.3 軸承外圈運(yùn)動(dòng)控制方程的建立

在正交曲線坐標(biāo)系下的平衡方程中，令α1=r，α2=θ，略去方程中與α3有關(guān)的項(xiàng)，考慮到拉梅系數(shù)h1=1，h2=r，可得到極坐標(biāo)下圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)控制方程

(20)

將(4)式代入(19)式，再代入(20)式，得到以位移表示的運(yùn)動(dòng)控制方程

(21)

由(21)式，可得相應(yīng)的增量型運(yùn)動(dòng)控制方程

(22)

相應(yīng)的增量型邊界條件為

(23)

3 求解方法

對(duì)于1/4圓環(huán)的無(wú)阻尼動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，要獲得運(yùn)動(dòng)控制方程(22)滿足邊界條件(23)的解析解是難以實(shí)現(xiàn)的.為此，筆者采用有限差分法求解控制方程，將圓環(huán)沿徑向r分為等間距L，沿環(huán)向θ分為等間距H由正交曲線構(gòu)成的i×j網(wǎng)格.應(yīng)用如下中心差分公式：

將(24)式中的g分別替換成du和dv，可得各個(gè)點(diǎn)的位移分量對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，再將其代入控制方程(22)，可得一組關(guān)于位移du和dv的離散控制方程.

對(duì)于邊界條件(23)式，將(24)式代入，得到其離散形式：

(24)

對(duì)于方程中的加速度項(xiàng)，應(yīng)用Newmark-β法，在時(shí)間上將t等分為小的時(shí)間段Δt，整個(gè)問(wèn)題采用迭代法求解.方程中的加速度項(xiàng)可用平均加速度法處理：

其中：

于是可得到一組關(guān)于du(r,θ,t)和dv(r,θ,t)的非齊次線性代數(shù)方程組，從而可以求出軸承外圈徑向的位移隨時(shí)間變化的動(dòng)力響應(yīng)曲線.

4 算例與討論

為了驗(yàn)證本研究理論和算法的可靠性，首先在略去慣性項(xiàng)且不考慮塑性的情況下，將本研究退化為受均布荷載作用的1/4圓環(huán)的彈性靜力學(xué)問(wèn)題.由兩端的對(duì)稱性條件可知，在同一半徑上各點(diǎn)的徑向位移相同.取最常見的6000型微型深溝球軸承作為研究對(duì)象，軸承外圈的材料屬性和幾何參數(shù)為彈性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3.其外圈的內(nèi)外徑分別為a=10.5 mm，b=13 mm，厚度h=8 mm，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3.

表1 圓環(huán)不同半徑處的位移

圖4 彈塑性變形對(duì)軸承外圈變形的影響Fig. 4 Effect of Elasto-Plastic Property on Static Deformation of the Outer Ring of the Bearing

圖4顯示了在靜荷載Q0=0.53×104N和Q0=0.6×104N的分別作用下，彈塑性變形對(duì)6000型滾動(dòng)軸承外圈內(nèi)徑處撓度u的影響.圖4中：u為軸承外圈徑向的坐標(biāo)；實(shí)線表示不考慮材料的塑性變形，按照彈性本構(gòu)關(guān)系得出的軸承外圈內(nèi)徑處的變形；虛線表示考慮材料的塑性變形，按照彈塑性本構(gòu)關(guān)系得出的軸承外圈內(nèi)徑處的變形.

從圖4可以看出：在相同的荷載作用下，考慮彈塑性時(shí)軸承外圈的變形比只考慮彈性時(shí)軸承外圈的變形大；而且隨著荷載的增加，彈塑性情況下的變形增加量比不考慮彈塑性時(shí)的變形增加量大.這是因?yàn)榈竭_(dá)屈服點(diǎn)以后荷載越大，塑性變形越大，相應(yīng)的總變形量越大.

下面討論不同幅值的周期性荷載作用下不同型號(hào)軸承外圈的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題.圖5示出了彈性狀態(tài)和彈塑性狀態(tài)時(shí)6000型滾動(dòng)軸承外圈內(nèi)徑處撓度u的動(dòng)力響應(yīng)曲線比較，荷載參數(shù)Q0=1×104N.圖6示出了彈性狀態(tài)和彈塑性狀態(tài)時(shí)6003型軸承外圈內(nèi)徑處撓度u的動(dòng)力響應(yīng)曲線的比較，荷載參數(shù)Q0=2×104N.圖5和圖6中：實(shí)線表示不考慮材料的塑性變形，按照彈性本構(gòu)關(guān)系得出的軸承外圈的動(dòng)力響應(yīng)曲線；虛線表示考慮材料的塑性變形，按照彈塑性本構(gòu)關(guān)系得出的軸承外圈的動(dòng)力響應(yīng)曲線.

圖5 彈性與彈塑性情況下6000型號(hào)軸承外圈內(nèi)徑處撓度u的動(dòng)力響應(yīng)曲線Fig. 5 Dynamic Response u Between Elastic and Elasto-Plastic of the Outer Ring of the 6000 Type Bearing

圖6 彈性與彈塑性情況下6003型號(hào)軸承外圈內(nèi)徑處撓度u的動(dòng)力響應(yīng)曲線Fig. 6 Dynamic Response u Between Elastic and Elasto-Plastic of the Outer Ring of the 6003 Type Bearing

由圖5可以看出：在相同幅值的周期荷載作用下，外圈初始并未產(chǎn)生明顯的塑性變形；隨著時(shí)間的變化，軸承外圈內(nèi)徑處的振動(dòng)平衡位置不再位于未變形時(shí)的位置.這是由于在荷載作用下，材料首先產(chǎn)生了正方向的塑性應(yīng)變，隨著時(shí)間的增加塑性應(yīng)變不斷累積，使得其平衡位置向正方向移動(dòng)，且振動(dòng)幅值越來(lái)越大.

由圖6可以看出：外圈在初始階段即產(chǎn)生了較明顯的塑性變形；在周期荷載作用下，軸承外圈內(nèi)徑處的振動(dòng)平衡位置不再位于未變形時(shí)的位置.這是由于材料首先產(chǎn)生了負(fù)方向的塑性應(yīng)變，隨著時(shí)間的增加塑性應(yīng)變不斷累積，使得其平衡位置向負(fù)方向移動(dòng)，且振動(dòng)幅值越來(lái)越大.

5 結(jié)語(yǔ)

筆者首先研究了相同靜荷載作用下彈塑性變形對(duì)軸承外圈變形的影響.研究結(jié)果表明：考慮彈塑性變形時(shí)軸承外圈的變形比只考慮彈性變形時(shí)軸承外圈的變形大；而且隨著荷載的增加，彈塑性情況下的變形增加量比不考慮彈塑性時(shí)的增加量大.這是因?yàn)榈竭_(dá)屈服點(diǎn)以后荷載越大，塑性變形越大，相應(yīng)的總變形量越大.然后，研究了不同幅值的周期荷載作用下不同型號(hào)軸承外圈的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，討論了軸承型號(hào)、塑性性能對(duì)軸承外圈變形的影響.數(shù)值結(jié)果表明：塑性變形在荷載的變化過(guò)程中逐漸積累，產(chǎn)生了不可恢復(fù)的變形使結(jié)構(gòu)的變形增大；軸承外圈內(nèi)徑處的振動(dòng)平衡位置不再位于未變形時(shí)的位置.這是由于在荷載作用下，材料首先產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，隨著時(shí)間的增加塑性應(yīng)變不斷累積，使得其平衡位置不斷移動(dòng)且振動(dòng)幅值越來(lái)越大，其平衡位置的移動(dòng)方向與材料的初始屈服狀態(tài)有關(guān).