王 顏, 陳光淦, 汪 品

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

關(guān)于小Rossby常數(shù)流的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程在地球物理流體力學(xué)和海洋大氣科學(xué)中被廣泛使用.它們不僅用來模擬和預(yù)測(cè)中緯度海洋、中緯度天氣尺度斜壓系統(tǒng)的演變發(fā)展過程、大氣環(huán)流、大尺度能量循環(huán)以及數(shù)值預(yù)報(bào)模式等,而且用來研究穩(wěn)定性、鋒生作用和混沌[1-3].

本文考慮帶有界乘性退化噪聲的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程

(1)

其中,ψ(t,x,y)是流函數(shù),有界區(qū)域D?R2帶光滑邊界,β≥0是Coriolis參數(shù)的徑向梯度,ν>0是粘性耗散常數(shù),r>0是Ekman耗散常數(shù).記J(f,h)為Jacobian算子,定義為

J(f,h)=▽⊥·▽h=fxhy-fyhx,

隨機(jī)準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程是一類具有隨機(jī)速度場(chǎng)的地球物理流體運(yùn)動(dòng)模型.來自流體域的逃逸概率和在流體域上的平均停留時(shí)間定量描述了不同特征運(yùn)動(dòng)流型之間的流體運(yùn)動(dòng).Brannan等[4]研究了在隨機(jī)擾動(dòng)下準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流的噴射流模型,并對(duì)方程中的參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值模擬.Brannan等[5]還研究了在有界區(qū)域上,隨機(jī)準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程在弱條件下,關(guān)于全局解的存在性和唯一性.Duan等[6]研究了不變測(cè)度的存在唯一性,進(jìn)一步證明了隨機(jī)準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程的遍歷性.通常在非退化噪聲的擾動(dòng)下,不對(duì)Coriolis參數(shù)、粘性耗散常數(shù)以及Ekman耗散常數(shù)做限制,結(jié)合強(qiáng)Feller性和不可約性,由Doob定理導(dǎo)出不變測(cè)度的唯一性,從而獲得方程的遍歷性.

當(dāng)隨機(jī)系統(tǒng)的噪聲是退化時(shí),其所對(duì)應(yīng)的Malliavin協(xié)方差算子不可逆,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率半群的強(qiáng)Feller性不滿足.因此,隨機(jī)系統(tǒng)的遍歷研究遇到困難.Hairer等[7]提出了用轉(zhuǎn)移概率半群的漸近強(qiáng)Feller性來代替通常的強(qiáng)Feller性,使得隨機(jī)系統(tǒng)的遍歷研究獲得轉(zhuǎn)機(jī),并成功應(yīng)用在二維的Navier-Stokes退化隨機(jī)系統(tǒng)的研究上.對(duì)于一個(gè)退化隨機(jī)系統(tǒng),關(guān)于轉(zhuǎn)移概率半群的漸近強(qiáng)Feller性的證明也是相當(dāng)困難,這吸引了眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注[8-11].Yang等[12]研究了系統(tǒng)(1)帶加性退化噪聲的情形.本文特別關(guān)心帶有界乘性退化噪聲的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程(1),證明系統(tǒng)(1)是遍歷的.

1 預(yù)備知識(shí)

本文設(shè)Wk,p為Sobolev空間,記

H0(D):=L2(D),Hk(D):=Wk,2(D).

記‖·‖和〈·,·〉分別為L(zhǎng)2(D)的范數(shù)和內(nèi)積.

Laplace算子Δ:L2(D)→L2(D),

作投射

算子Q:L2(D)→L2(D)是一個(gè)非負(fù)對(duì)稱的線性連續(xù)算子,其共軛算子為Q*,Qei=qiei,設(shè)

設(shè)W是L2(D)值Q-Wiener過程,滿足下述條件

設(shè)函數(shù)g:H→L2(L2,L2)是有界的Lipschitz連續(xù)的可逆算子,g滿足

‖g(u)-g(v)‖L2(L2,L2)≤Lg‖u-v‖,

‖F(xiàn)g(g(u))‖2≤L,

設(shè)

其中,Fg為函數(shù)g的Fréchet微分.

Brannan等[5]獲得了在有界區(qū)域D?R2上,方程(1)在C([0,T];L2(D))中解u(t)的存在性和唯一性.定義

Ptφ(u0)=Eφ(u(t,ω;u0)),t≥0,

初值條件u0∈L2(D),以及任意φ∈Cb(L2).給定ξ∈L2(D),設(shè){Js,t}s≤t是由時(shí)間s到t的微分流形,Js,tξ是下述方程的解

dJs,tξ=(νΔJs,tξ-J(ψ(u),Js,tξ)-

J(ψ(Js,tξ),u)-β(ψ(Js,tξ))x-rJs,tξ) d t+

Fg(g(u))Js,tξdW,

其初始值為Js,sξ=ξ,其中,Δ(ψ(u))=u,

Δ(ψ(Js,tξ))=Js,tξ,

記

Φt(ω;u0)=u(t,ω;u0),
ω∈C([0,t];Rn)

Dvu(t,ω;u0)=

設(shè)Atv=Dvu(t,ω;u0),因此

dAtv=(νΔAtv-J(ψ(u),Atv)-

J(ψ(Atv),u)-β(ψ(Atv))x-rAtv+

g(u)v(t))dt+Fg(g(u))AtvdW,

其初始值為A0v=0.由Duhamel原則有

引理 1.1[13]設(shè)D?Rn是一個(gè)有界開集,s1,s2,s3∈R,使得當(dāng)0≤s1≤l,0≤s2≤l-1,并且假設(shè)下述條件成立:

則

|b(u,v,w)|≤

其中

2 遍歷

引理 2.1存在常數(shù)C>0和η*>0,使得對(duì)所有的t>0以及η∈(0,η*],

Eexp(η‖u(t)‖2)≤

(2)

其中F(u)=-J(ψ,u)-βψx-ru.運(yùn)用Gronwall不等式有

故

即

因此,引理2.1得證.

引理 2.2存在常數(shù)C>0和η*>0,使得對(duì)η∈(0,η*],

(3)

令

N(s,t)=η‖u(s)‖2+

其中

是連續(xù)的鞅,由

得

因此

根據(jù)鞅指數(shù)不等式有

當(dāng)s≥0時(shí),有

B0(t-s))}|Fs)≤2exp(η‖u(s)‖2),

關(guān)于Fs取期望,再運(yùn)用引理2.1,引理2.2得證.

命題 2.1(漸近強(qiáng)Feller性) 存在常數(shù)N*∈N,η>0,存在常數(shù)C>0,δ>0,使得

‖▽Ptφ(u0)‖≤

Ceη‖u0‖2(‖φ‖∞+e-δt‖▽?duì)铡?.

(4)

證明讓?duì)巍蔐2(D),滿足

‖ξ‖=1,ξ=ξl+ξh∈L2(D).

設(shè)ρ=J0,tξ-Dvu=J0,tξ-A0,tv滿足下述方程

dρ=(νΔρ-J(ψ(u),ρ)-J(ψ(ρ),u)-

β(ψ(ρ))x-rρ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ρdW,

(5)

其初始值ρ(0)=ξ.

定義

設(shè)ρ=ξ=ξl+ξh,因此

dξ=(νΔξ-J(ψ(u),ξ)-J(ψ(ξ),u)-

β(ψ(ξ))x-rξ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ξdW.

(7)

令

νΔξl-πl(wèi)F(u,ξl+ξh),

(8)

結(jié)合(5)～(8)式有

dξh(t)=(νΔξh-πhF(u,ξl+ξh))dt+

Fg(g(u))ξdW,

(9)

其中

F(u,ξl+ξh)=
J(ψ(u),ξl+ξh)+J(ψ(ξl+ξh),u)+
β(ψ(ξl+ξh))x+r(ξl+ξh).

下面將證明對(duì)任何的η>0以及p≥1,存在C,γ>0使得當(dāng)λN足夠大的時(shí)候,有

E‖ξ(t)‖p≤Ceη‖u0‖2-γt.

(10)

d‖ξh(t)‖2=2〈ξh,νΔξh〉dt-

2〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉dt+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉=:I1+I2+I3+I4.

下面依次估計(jì)I1、I2、I3,首先

I1=〈ξh,νΔξh〉=-ν‖▽?duì)蝖‖2.

其次

|I2|=〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉=

〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉+〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉+

〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉+

〈ξh,πhr(ξl+ξh))〉=:J1+J2+J3+J4,

J1=〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉=

〈ξh,J(ψ,ξl)〉+〈ξh,J(ψ,ξh)〉.

根據(jù)分部積分

〈ξh,J(ψ,ξh)〉=0,

以及

〈ξh,J(ψ,ξl)〉=-〈▽?duì)蝖,▽⊥ψξl〉,

因此

J2=〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉=

〈ξh,▽⊥ψ·▽u〉≤

J3=〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(-Δ)-1?xξl〉+

β〈ξh,πh(-Δ)-1?xξh〉≤

β‖ξh‖‖ξl‖H-1≤

Cβ(‖ξh‖2+‖ξl‖2).

J4=〈ξh,πhr(ξl+ξh)〉=

r〈ξh,ξh〉=r‖ξh‖2.

由J1～J4估計(jì)|I2|得到

Cβ(‖ξl‖2+‖ξh‖2)+r‖ξh‖2.

最后

L(‖ξl‖2+‖ξh‖2).

根據(jù)I1、I2、I3的估計(jì)以及

得

d‖ξh(t)‖2≤2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

進(jìn)一步

dE‖ξh(t)‖2≤

由Gronwall不等式有

當(dāng)λN足夠大時(shí),根據(jù)

運(yùn)用引理2.2,可得(10)式成立.

要完成命題2.1的證明,還需要估計(jì)

(11)

(12)

因此,只需證明

(13)

由G(s)=g(u(s))v(s),利用H?lder不等式得

接下來估計(jì)E‖G(s)‖2.

定義函數(shù)

有

E‖G(s)‖2=

CN{1{s≤2}+E‖νΔξ1‖2+E‖πl(wèi)F(u,ξ)‖2},

由

‖πl(wèi)F(u,ξ)‖≤C‖u‖‖ξ‖,

有

因此

E‖G(s)‖2≤

再根據(jù)引理2.1和(10)式,對(duì)任意的η>0,存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得(11)成立.最后,證明(4)式.

通過分部積分、Mallivin算子、鏈?zhǔn)椒▌t以及H?lder不等式,可以得到

|〈▽Ptφ(u0),ξ〉|=E((▽?duì)?(u(t))·Jtξ)=

E((▽?duì)?(u(t))Atv)+E((▽?duì)?(u(t))ρ)=

E((Dvφ)(u(t)))+E((▽?duì)?(u(t))ρ)=

由上式和(10)、(11)式,可得(4)式成立.

命題 2.2(不可約性) 0屬于轉(zhuǎn)移概率半群{Pt}t≥0的不變測(cè)度μ的支集.

‖u(t)‖2≤

從而

由Burkholder-Davis-Gundy不等式以及H?der不等式,有

因此

由Gronwall不等式得

于是有

E‖u(t)‖2≤CB0,r,ν,t∈[0,T],

E‖u(t;x)‖≤CB0,r,ν,t∈[0,T].

根據(jù)Markov不等式,對(duì)ε>0有

Pt(x,Bε)>0,

其中,Bε={y∈L2(D),‖y-0‖≤ε}.因此

命題2.2得證.

定理2.1帶有界乘性退化噪聲的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流方程是遍歷的.

證明用Brannan等[6]的方法易得系統(tǒng)(1)的不變測(cè)度μ的存在性.進(jìn)一步,由命題2.1及命題2.2獲得不變測(cè)度μ的唯一性,因而方程(1)是遍歷的.