郭慶棟, 周 疆

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及預備知識

設f是定義在Rn上的局部可積函數(shù),0<α

由分數(shù)次極大函數(shù)和局部可積函數(shù)b生成的交換子定義為

Mα,b(f)(x)=

其中上確界取遍Rn中所有包含x的球B.交換子Mα,b的有界性已經(jīng)被許多作者研究,如文獻[1-3].

最近,多線性算子引起了許多作者的研究興趣,它是單線性的一種推廣.1978年,多線性算子被Coifman等[4]開始研究,后來Calderón把交換子與多線性理論結(jié)合研究,之后又被Grafakos等[5]系統(tǒng)研究.在多線性情形中,Calderón-Zygmund算子的交換子和極大算子的交換子被人們廣泛關(guān)注.2015年,Cao等[6]研究了如下的多線性分數(shù)次極大函數(shù)

其中

1

Mp0p(Rn)={f(x)∈Lploc(Rn):‖f‖Mp0p=

其中

類似于雙線性算子,Ding等[16]首次給出次雙線性算子的緊性的定義.

定義 1.1設X、Y、Z是賦范線性空間,Br,X={x∈X:‖x‖≤r}表示賦范線性空間X中以原點為中心,r為半徑的閉球,S是一個次雙線性算子,如果S(B1,X×B1,Y)在Z中是一個準緊集,則S:X×Y→Z是一個緊算子.

由于文獻[15]表明Multi-Morrey范數(shù)嚴格小于乘積Morrey范數(shù),根據(jù)上述定理可得如下推論.

和

和

2 引理及其證明

在本文的定理證明中,需要下述引理.

其中

證明下面分2種情形討論.

情形1r≤|t|.對任意的y1∈B2,注意到

|x+t-y1|≤|x-y1|+|t|≤

C(r+|t|)≤C|t|,

則有

C|t|Mα(f1,f2)(x)≤

C|t|Mα,s(f1,f2)(x).

情形2r>|t|.通過加一項減一項,則有

和

則有

J1+J2+J3.

當y1∈B1時,有

|x+t-y1|≤|x-y1|+|t|≤Cr,

則

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

C|t|Mα,s(f1,f2)(x).

下面處理J2.對任意的1

|b1(x+t)-b1(y1)|=

則有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

類似于J2的過程,可得

至此,完成了引理2.1的證明.

引理 2.2設1

證明下面證明結(jié)論(a)成立.

|Miα,b(f1,f2)(x)-Miα,v(f1,f2)(x)|≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2=

Miα,b-v(f1,f2)(x).

由上可知結(jié)論(a)成立.結(jié)論(b)和(c)與(a)的證明過程類似,此處省略.

3 定理的證明

下面給出定理的證明.由于定理1.2的證明過程與定理1.1類似,只給出定理1.1的證明.

‖bi-bηi‖BMO<η.

(1)

根據(jù)引理2.3,只需證明子集Eη滿足條件(i)～(iii)就可證得定理1.1.實際上,通過引理2.2和(1)式,可得下面3個結(jié)論:

(2)

其中

Cη→0,η→0,

(3)

和

Cη→0,η→0.

(4)

上一致成立即可.

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2+

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

(2‖b1‖∞+2‖b2‖∞)×

(2‖b1‖∞+2‖b2‖∞)Mα(f1,f2)(x).

‖Mα(f1,f2)(x)‖Mq0q≤

因此(i)成立.

下面證明(ii)成立,即

對任意2個固定的點x,t∈Rn,且|t|<1,不失一般性,可以假設

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≥

(5)

當x+t∈B(x0,r+|t|)=:B2,有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

(6)

根據(jù)(5)和(6)式有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

‖▽b1‖∞|t|Mα,s(f1,f2)(x)+

類似可得

因此,對于1

顯然可得

下面證明(iii)成立.假設R很大,使得

suppb1∪suppb2?BR:=B(0,R),

則對于|x|>A≥max{2R,1}有

根據(jù)Bx,且|x|>A≥max{2R,1},以及B∩suppb1≠?,可得|B||x-R|n|x|n,因此有

對上述不等式兩邊同時升q0次方,以及在范圍|x|>A上同時積分

類似可得

因為

所以,當A→∞時,有