呂鳳姣, 劉芝秀

(1. 黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450063; 2. 南昌工程學(xué)院 理學(xué)院, 江西 南昌 330099)

1 引言和主要結(jié)果

設(shè)f(z)為開(kāi)平面上非常數(shù)的亞純函數(shù),采用值分布論中的相關(guān)記號(hào)[1-2],在此給出相關(guān)的定義.設(shè)f(z)與g(z)為平面區(qū)域D上2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),a為一復(fù)數(shù),記

稱f與g為IM分擔(dān)a,是指f-a與g-a的零點(diǎn)相同,即

設(shè)f(z)與g(z)為平面區(qū)域D上2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),a為一復(fù)數(shù),記f(z)-a的零點(diǎn)為zn(n=1,2,3,…),如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零點(diǎn)(不計(jì)重?cái)?shù)),則稱單向分擔(dān)a,記為

f(z)=a?g(z)=a.

設(shè)D為復(fù)平面C上的區(qū)域,F為定義在區(qū)域D內(nèi)一族亞純函數(shù),稱F在區(qū)域D上正規(guī),是指亞純函數(shù)族F中每一個(gè)函數(shù)序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以選出一個(gè)子序列{fnk(z)}(k=1,2,…)在區(qū)域D上按球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)亞純函數(shù)或者恒為無(wú)窮.

稱F在區(qū)域D上一點(diǎn)z0正規(guī)是指F在z0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)正規(guī).可知,F在區(qū)域D上正規(guī)等價(jià)于F在區(qū)域D上每一點(diǎn)都正規(guī).復(fù)平面C上的亞純函數(shù)稱為正規(guī)函數(shù),如果存在正數(shù)M,使得f#(z)≤M,其中

為f(z)的球面導(dǎo)數(shù).

Mules等[3]證明了:

定理 A[3]設(shè)f(z)是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，如果f(z)和f′(z)是IM分擔(dān)3個(gè)不同的復(fù)數(shù)a1、a2、a3,則f≡f′.

相應(yīng)地,Schwick[4]首先研究了分擔(dān)值與正規(guī)族之間的聯(lián)系，得到如下定理.

定理 B[4]設(shè)F={f(z)}是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族,a1、a2、a3是3個(gè)不同的復(fù)數(shù),如果對(duì)每個(gè)f∈F,f與f′同時(shí)分擔(dān)值a1、a2、a3,則F在Δ上正規(guī).

近來(lái),Fang等[5]證明了:

定理 C[5]設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，a≠0和b是2個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且

ff(k)=a?f(k)=b，

則F在D內(nèi)正規(guī).

這時(shí),自然地就會(huì)考慮到:上述定理中分擔(dān)條件可以進(jìn)一步減弱為單向分擔(dān)嗎?本文給出了下列幾個(gè)結(jié)果.

定理 1設(shè)F是區(qū)域D上的一全純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，a≠0和b≥0是2個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且

f(z)f(k)(z)=a?|f(k)(z)|≤b，

則F在D內(nèi)正規(guī).

推論 1設(shè)F是區(qū)域D上的一全純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，a≠0和b>0是2個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且

f(z)f(k)(z)=a?|f(z)|≥b，

則F在D內(nèi)正規(guī).

推論 2設(shè)F是區(qū)域D上的一全純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且ff(k)≠1，則F在D內(nèi)正規(guī).

在定理1和其推論1和2中,雖然分擔(dān)值的條件減弱為了單向分擔(dān),但是只證明了對(duì)全純函數(shù)族成立，如果依然是亞純函數(shù)族呢?進(jìn)一步研究,得出了下面的結(jié)果.

定理 2設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，a≠0和b≥0是2個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且

f(z)f(k)(z)=a?|f(k)(z)|≤b，

則F在D內(nèi)正規(guī).

推論 3設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，a≠0和b>0是2個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且

f(z)f(k)(z)=a?|f(z)|≥b，

則F在D內(nèi)正規(guī).

推論 4設(shè)F是區(qū)域D上的一亞純函數(shù)族,k是一個(gè)正整數(shù)，如果對(duì)任一f∈F,f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，且ff(k)≠1，則F在D內(nèi)正規(guī).

下面的例1說(shuō)明上述定理1和2中對(duì)“f(z)的零點(diǎn)重級(jí)的限制”是必須的.

例 1設(shè)

F={fn(z):fn(z)=nz,n∈N},

則

但是F在D內(nèi)不正規(guī).

下面的例2和3說(shuō)明上述定理1和2中對(duì)“條件a≠0”是必須的.

例 2設(shè)

D={z:|z|<1},F={fn:fn(z)=enz},

則

且

但是F在D內(nèi)不正規(guī).

例 3設(shè)

則

但是F在D內(nèi)不正規(guī).

2 一些引理

引理 1[6]設(shè)F單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，f的零點(diǎn)重級(jí)至少為k.如果F在單位圓Δ內(nèi)不正規(guī),那么對(duì)于0≤α

在復(fù)平面C上按球距內(nèi)閉一致收斂于非常數(shù)的亞純函數(shù)g(ξ)，且

g#(ξ)≤g#(0)=1.

引理 2[7-8]如果f(z)是一亞純函數(shù)，其球面導(dǎo)數(shù)f#(z)是有限的,則f的級(jí)至多是2;并且如果f(z)是一整函數(shù),則f的級(jí)至多是1.

引理 3[9]如果f(z)是一超越亞純函數(shù),n是正整數(shù),則ff′能取到非零有限值無(wú)窮多次.

引理 4如果f(z)是一個(gè)超越整函數(shù),其零點(diǎn)重級(jí)至少為2,則

證明令

則

因此

注意到如果z是f(z)的q≥2重零點(diǎn),z是

(ff(k)-1)′=f ′f(k)+ff(k+1)

的q-1重零點(diǎn),z是(ff(k)-1)′的p≥2重零點(diǎn),z是(ff(k)-1)′的p-1重零點(diǎn),同時(shí),f(z)的零點(diǎn)和(ff(k)-1)′的零點(diǎn)是不同的,則

因?yàn)閒(z)是整函數(shù),且零點(diǎn)重級(jí)至少是2,所以

因此

引理 5[10-11]如果f(z)是一個(gè)超越亞純函數(shù),其零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1,則ff(k)能取到非零有限值無(wú)窮多次.

3 定理的證明

定理1的證明不失一般性,令

D=Δ={z:|z|<1}.

假設(shè)F在D內(nèi)不正規(guī),由引理1可得：存在fn∈F,zn∈D,ρn→0+,使得

在復(fù)平面C上按球距內(nèi)閉一致收斂于g(ξ)，其中g(shù)(ξ)為在C上的級(jí)不超過(guò)2的非常數(shù)亞純函數(shù)，且

g#(ξ)≤g#(0)=1.

可以斷定：

(i)g(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k,

(ii)gg(k)≠a.

事實(shí)上，(i) 假設(shè)存在ξ0∈C，使得g(ξ0)=0,根據(jù)Hurwitz定理,存在ξn,ξn→ξ0,使得當(dāng)n充分大時(shí),有

因此fn(zn+ρnξn)=0.又fn(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k,所以

f(i)n(zn+ρnξn)=0,i=1,2,…,k-1,

因此有

所以g(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k.

(ii) 假設(shè)存在ξ0∈C使得

g(ξ0)g(k)(ξ0)=a,

則g(ξ0)≠∞.如果gg(k)≡a,那么g≠0.由引理2知,gd的級(jí)至多為1,因此

g(ξ)=ecξ+d,

其中c(≠0)和d是常數(shù).但是

g(ξ)g(k)(ξ)=cke(n+1)(cξ+d)

與

g(ξ)g(k)(ξ)≡a

矛盾,因此

g(ξ)g(k)(ξ)?a.

假設(shè)存在ξn,ξn→ξ0,使得當(dāng)n充分大時(shí)有

a=gn(ξn)g(k)n(ξn)=

由于

f(z)f(k)(z)=a?|f(k)(z)|≤b,

可得

|f(k)n(zn+ρnξn)|≤b,

因此

這與a≠0矛盾.因此(i)和(ii)得證.

根據(jù)引理3和4,可知g(ξ)是多項(xiàng)式函數(shù).因?yàn)間(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少是k,且g(k)(ξ)?0，則g(ξ)g(k)(ξ)-a有零點(diǎn)，這與g(ξ)g(k)(ξ)≠a矛盾.因此F在D上正規(guī).

定理2的證明假設(shè)F在D上不正規(guī).由引理1得，存在fn∈F,zn∈D,ρn→0+,使得

在復(fù)平面C上按球距內(nèi)閉一致收斂于g(ξ),其中g(shù)(ξ)是非常數(shù)的亞純函數(shù)，且g#(ξ)≤g#(0)=1.這樣由Hurwitz定理可知,g(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1.可以斷定gg(k)≠a.

假設(shè)存在ξ0∈C使得

g(ξ0)g(k)(ξ0)=a，

則g(ξ0)≠∞.如果gg(k)≡a,那么g(ξ)是整函數(shù)且g≠0.根據(jù)定理2可知,g的級(jí)至多是1,因此g(ξ)=ecξ+d,其中c(≠0)和d常數(shù).但是

g(ξ)g(k)(ξ)=cke(n+1)(cξ+d),

這與g(ξ)g(k)(ξ)≡a矛盾,因此

g(ξ)g(k)(ξ)?a.

因此存在ξn,ξn→ξ0,使得當(dāng)n充分大時(shí),有

a=gn(ξn)g(k)n(ξn)=

fn(zn+ρnξn)f(k)n(zn+ρnξn).

由已知條件

f(z)f(k)(z)=a?|f(k)(z)|≤b

可得

|f(k)n(zn+ρnξn)|≤b,

因此

這與g(ξ)g(k)(ξ)=a矛盾.根據(jù)引理5可得,g(ξ)是有理函數(shù).

令

其中Q(ξ)和P(ξ)(Qk(ξ)和Pk(ξ))是2個(gè)互素多項(xiàng)式.如果deg(Q(ξ))≤deg(P(ξ))或者g(ξ)是多項(xiàng)式,則gg(k)-a有零點(diǎn).因此g(ξ)是非常數(shù)的有理函數(shù),且

deg(Q(ξ))>deg(P(ξ)),

所以

deg(Q(ξ)Qk(ξ))=deg(P(ξ)Pk(ξ)),

即是說(shuō)分子g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)與分母g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)相等.

另一方面,分子g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)與分母g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)不同可以表示為

[deg(Q(ξ))-deg(P(ξ))]+

[deg(Q(ξ))-deg(P(ξ))-k]=0,

k=2[deg(Q(ξ))-deg(P(ξ))].

令

n=[deg(Q(ξ))-deg(P(ξ))],

則k=2n.因此有

其中R(ξ)、P(ξ)是多項(xiàng)式，且

deg(R(ξ))

由于k=2n>n,則

可以推斷出分子g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)與分母g(ξ)g(k)(ξ)的次數(shù)是不同的，

n+[deg(R(ξ))-deg(P(ξ))-k]=0,

k=n+[deg(R(ξ))-deg(P(ξ))]

這與k=2n矛盾.因此F在D上是正規(guī)的.