余 欣, 呂王勇, 張瓊文, 楊和柳

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言及主要結(jié)果

早在1959年,Sklar在回答Frechet關(guān)于多維聯(lián)合分布函數(shù)和低維邊緣分布函數(shù)之間關(guān)系的問題時(shí)引入了Copula的概念.

Copula各種性質(zhì)的研究是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用領(lǐng)域十分引人注目的課題之一,一直以來都受到統(tǒng)計(jì)學(xué)者的青睞.Copula函數(shù)作為刻畫變量之間相依機(jī)制的工具,克服了傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)研究變量非線性關(guān)系的不足.迄今為止,已經(jīng)有很多相關(guān)研究結(jié)果.文獻(xiàn)[1]對Copula函數(shù)的含義和性質(zhì)做了全面詳細(xì)的介紹,文獻(xiàn)[2]討論了Copula函數(shù)中參數(shù)的矩估計(jì)方法和極大似然估計(jì)方法,文獻(xiàn)[3]基于Copula函數(shù)研究2個(gè)變量的尾部相關(guān),文獻(xiàn)[4]比較了阿基米德Copula函數(shù)的幾種參數(shù)估計(jì)方法,文獻(xiàn)[5-6]對隨機(jī)變量間的相依性展開研究,文獻(xiàn)[7]從圖像重構(gòu)的角度提出廣義Copula的概念.Copula在實(shí)際中應(yīng)用廣泛,文獻(xiàn)[8]利用Copula函數(shù)對干旱特征進(jìn)行了分析,為旱作農(nóng)業(yè)生態(tài)管理提供依據(jù).本文的主要工作是討論二元Copula的構(gòu)造.到目前為止,構(gòu)造二元Copula主要是從變換和函數(shù)2個(gè)角度討論.從變換的角度,通過Sklar定理的反演,直接從二元聯(lián)合分布函數(shù)求得二元Copula函數(shù);另一方面,許多學(xué)者從函數(shù)的角度出發(fā),提出了若干構(gòu)造二元Copula的方法.文獻(xiàn)[9]提出利用連續(xù)可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)構(gòu)造生成元,文獻(xiàn)[10]研究了具有共同對角面函數(shù)的一類Copula的構(gòu)造,文獻(xiàn)[11]提出了一種新的函數(shù):g函數(shù),并基于g函數(shù)構(gòu)造Copula.基于文獻(xiàn)[12]給出的Copula的良好性質(zhì),文獻(xiàn)[13]應(yīng)用加權(quán)幾何平均構(gòu)造二元Copula,文獻(xiàn)[14-15]分別提出了基于F類函數(shù)的一類二元Copula的構(gòu)造,進(jìn)一步擴(kuò)充Copula的種類.本文從函數(shù)的角度考慮,提出一類新的函數(shù):G類函數(shù),基于定義的G類函數(shù),提出了2種構(gòu)造二元Copula函數(shù)的新方法.隨著Copula理論的逐漸完善,Copula函數(shù)越來越多地被應(yīng)用到金融風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合等研究領(lǐng)域,尤其是變量間相關(guān)性的度量上,但目前還沒有文獻(xiàn)將Copula函數(shù)應(yīng)用到地區(qū)產(chǎn)值相關(guān)性的研究中.文獻(xiàn)[16]討論了四川省三次產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值發(fā)展與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系.基于此,本文利用構(gòu)造的Copula函數(shù)對成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的依存關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證研究,分析不同地區(qū)產(chǎn)值間的相關(guān)性.

2 定義

定義 2.1[1]一個(gè)二元函數(shù)C(u,v)稱之為二元Copula,如果C(u,v):I2→I=[0,1],并且滿足:

1) 邊界條件:C(u,0)=C(0,v)=0,C(u,1)=u,C(1,v)=v;

2) 2-增性:對?0≤u1≤u2≤1有

VC([u1,u2]×[v1,v2])=C(u2,v2)-

C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)≥0,

其中VC([u1,u2]×[v1,v2])稱為函數(shù)C在矩形[u1,u2]×[v1,v2]上的體積.事實(shí)上,這個(gè)體積就是C在矩形[u1,u2]×[v1,v2]上的二階差分,

定理 2.1(Sklar定理)[1]設(shè)H是一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù),其邊緣分布函數(shù)分別為F和G,那么一定存在一個(gè)CopulaC,使得

H(x,y)=C(F(x),G(y)),

如果F、G是連續(xù)的,則C唯一,否則C在RanF×RanG上不是唯一確定的.反之,若C是一個(gè)Copula,F和G是分布函數(shù),則由上式所定義的H(x,y)是一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù),其邊緣分布函數(shù)分別是F和G.

定義 2.2[2]設(shè)φ是[0,1]→[0,∞]的連續(xù)的、嚴(yán)格單減的凸函數(shù),滿足φ(1)=0,φ[-1]:[0,∞]→[0,1]是函數(shù)φ的廣義逆函數(shù),其定義為

則具有C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))形式的C稱為阿基米德Copula,其中函數(shù)φ稱為阿基米德Copula函數(shù)C的生成元.

定義 2.3稱函數(shù)g(x)為G類函數(shù),如果它滿足:

1)g(x)是[0,1]上的遞增凹函數(shù)(g′(x)≥0,g″(x)≤0)且g(0)=0,g(1)=1;

2) 2g′(x)+xg″(x)≤0,x∈[0,1].

定義 2.4[3]設(shè)X、Y是邊緣分布分別為F(x)、G(y)的2個(gè)隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布函數(shù)為CopulaC(u,v),定義:

若λU,λL∈(0,1],則λU和λL分別為X和Y的上尾相依系數(shù)和下尾相依系數(shù),稱X和Y上尾相關(guān)和下尾相關(guān),若λU,λL=0,稱X和Y上尾獨(dú)立和下尾獨(dú)立.

3 G類函數(shù)的性質(zhì)

本文是基于G類函數(shù)來研究二元Copula函數(shù)的構(gòu)造,因此對G類函數(shù)的探究是本文的一個(gè)重點(diǎn).下面給出G類函數(shù)的幾個(gè)相關(guān)性質(zhì).

即h(x)在[0,1]上是遞增的凹函數(shù),且

所以

仍是G類函數(shù)

性質(zhì) 3.2G類函數(shù)的伸縮變換仍是G類函數(shù),即設(shè)g1(x)是G類函數(shù),對?0<α≤1,則

g2(x)=g1(αx)/g1(α)

仍是G類函數(shù).

證明由已知可得g1(x)是G類函數(shù),滿足G類函數(shù)的所有性質(zhì).

即g2(x)在[0,1]上是遞增的凹函數(shù),且

g2(0)=g1(0)/g1(α)=0,

g2(1)=g1(α·1)/g1(α)=1.

因?yàn)?<α≤1,0≤αx≤1,所以

于是

則

g2(x)=g1(αx)/g1(α)

仍是G類函數(shù).

性質(zhì) 3.3G類函數(shù)的任意復(fù)合仍是G類函數(shù).下面只針對二維情況進(jìn)行說明.

設(shè)g1(x)和g2(x)是G類函數(shù),則g(x)=g2(g1(x))仍是G類函數(shù).

證明由已知可得g1(x)、g2(x)是G類函數(shù),滿足G類函數(shù)的所有性質(zhì).

即g(x)在[0,1]上是遞增凹函數(shù),且

g(0)=g2(g1(0))=0,

g(1)=g2(g1(1))=1.

因?yàn)間1(x)是G類函數(shù),所以

又g2(x)是G類函數(shù),所以

所以

2g′(x)+xg″(x)≤0,

則g(x)=g2(g1(x))仍是G類函數(shù).

4 G類函數(shù)的構(gòu)造方法

二元Copula的構(gòu)造方法是建立在本文定義的G類函數(shù)的基礎(chǔ)上,G類函數(shù)的尋找是該方法的關(guān)鍵,下面給出一種G類函數(shù)的構(gòu)造方法.

由定義2.3,G類函數(shù)必須滿足如下2個(gè)條件:

1)g(x)是[0,1]上的遞增凹函數(shù)(g′(x)≥0,g″(x)≤0)且g(0)=0,g(1)=1;

2) 2g′(x)+xg″(x)≤0,x∈[0,1].

下面從條件2)出發(fā),進(jìn)一步構(gòu)造滿足以上條件的函數(shù)g(x).

對于條件2),2g′(x)+xg″(x)≤0,x∈[0,1],令

2y′+xy″=a(x),

a(x)≤0,x∈[0,1],

(*)

對應(yīng)的齊次線性微分方程是

2y′+xy″=0,

解得齊次方程的2個(gè)特解為:y1=1/x,y2=1.故(*)式的通解為

代入(*)式得

補(bǔ)充條件

聯(lián)立解方程組

得

其中γ1、γ2均為常數(shù),故g(x)的通解為

其中

γ1、γ2均為常數(shù).

下面給出一些G類函數(shù)的具體例子和推廣.

由上知,只需找到在[0,1]上小于或等于0的函數(shù)a(x),進(jìn)而由(*)式的通解可解得G類函數(shù)g(x),從而可構(gòu)造相應(yīng)的二元Copula函數(shù).

1)a(x)=βxα,x∈[0,1],其中α和β為參數(shù)且α≥0,β<0.

此時(shí)a(x)≤0,滿足條件,代入上式可得

由初值條件

有

則

因?yàn)?/p>

所以

因此

2)a(x)=ωsinx,x∈[0,1],其中ω為參數(shù)且ω<0.

此時(shí)a(x)≤0,滿足條件,代入上式可得

由初值條件

g(1)=-ωsin 1+γ1+γ2=1,

有

γ1+γ2=1+ωsin 1,

則

顯然γ≥0即可.因此

事實(shí)上,凡是滿足在[0,1]上小于等于0的函數(shù)都可作為a(x),進(jìn)而按照上述構(gòu)造方法可以得到無數(shù)個(gè)G類函數(shù).Copula函數(shù)是把隨機(jī)變量的邊際分布連接成聯(lián)合分布的函數(shù),為變量之間相依結(jié)構(gòu)的分析帶來了很大方便,在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用,尤其Copula函數(shù)在金融領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用.要更好地分析金融市場,必須首先得到較為精確的Copula函數(shù)[4],對Copula構(gòu)造研究尤為重要.本文基于G類函數(shù)對構(gòu)造二元Copula函數(shù)展開研究,下面著重討論二元Copula函數(shù)的新的構(gòu)造方法.

5 基于G類函數(shù)的二元Copula函數(shù)的構(gòu)造

Copula函數(shù)在變量之間相關(guān)性分析[5]及金融風(fēng)險(xiǎn)管理[6]等方面有廣泛的應(yīng)用,一直以來,構(gòu)造Copula函數(shù)都是人們研究的一個(gè)重要課題.本文基于G類函數(shù)提出了2種構(gòu)造二元Copula函數(shù)的新方法.

定理 5.1(二元Copula的構(gòu)造) 設(shè)g(x)是G類函數(shù),則

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(u)g(v),

(a)

或

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(uv)

(b)

均是二元Copula函數(shù).稱具有這2種形式的Copula為G-Copula,其中函數(shù)g稱為G-Copula函數(shù)C的生成元.

證明下面從二元Copula函數(shù)的定義出發(fā),分別證明(a)和(b)式所定義的函數(shù)是二元Copula函數(shù).

先證明(a)式所定義的函數(shù)

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(u)g(v)

是二元Copula函數(shù).

首先,因?yàn)間(x)是G類函數(shù),所以g(x)滿足G類函數(shù)的所有性質(zhì).

1) 邊界條件:

C(u,0)=u·0·g(u)+

ug(0)-ug(u)g(0)=0,

C(0,v)=0·v·g(0)+0·g(v)-

0·g(0)g(v)=0,

C(u,1)=ug(u)+ug(1)-ug(u)g(1)=

ug(u)+u-ug(u)=u,

C(1,v)=1·vg(1)+1·g(v)-g(1)g(v)=

v+g(v)-g(v)=v.

2) 2-增性:?u1≤u2,u1,u2,v1,v2∈I有

VC([u1,u2]×[v1,v2])=

C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)=

(v2-v1)(u2g(u2)-u1g(u1))+

(g(v2)-g(v1))+[u1(g(u1)-u1)-

(u2g(u2)-u2)].

因?yàn)間(x)在[0,1]上遞增的,對?u1≤u2,v1≤v2有

(v2-v1)(u2g(u2)-u1g(u1))≥0,

g(v2)-g(v1)≥0.

令

w=(u1g(u1)-u1)-

(u2g(u2)-u2),

h(x)=xg(x)-x,x∈[0,1],

則

w=h(u1)-h(u2),

h′(x)=g(x)+xg′(x)-1,

h″(x)=2g′(x)+xg″(x).

由條件

2g′(x)+xg″(x)≤0,x∈[0,1],

可知h″(x)≤0,則h′(x)在[0,1]上是單調(diào)遞減的,有h′(x)≤h′(0)=-1<0,所以h(x)在[0,1]上是單調(diào)遞減的.由u1≤u2有

ω=h(u1)-h(u2)≥0,

則對?u1≤u2,?v1≤v2,u1,u2,v1,v2∈I有

VC([u1,u2]×[v1,v2])≥0,

所以C(u,v)是2-增的.

綜上所述,函數(shù)

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(u)g(v)

是二元Copula函數(shù).這就完成了(a)式的證明.

再證明(b)式所定義的函數(shù)

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(uv)

是二元Copula函數(shù).

首先,因?yàn)間(x)是G類函數(shù),所以g(c)滿足G類函數(shù)的所有性質(zhì).

1) 邊界條件:證明同(a)式的證明.

2) 2-增性:?u1≤u2,u1,u2,v1,v2∈I有

VC([u1,u2]×[v1,v2])=

C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)=

(v2-v1)(u2g(u2)-u1g(u1))+

(u2-u1)(g(v2)-g(v1))+u1(g(u1v2)-

g(u1v1))-u2(g(u2v2)-g(u2v1)).

因?yàn)間(x)在[0,1]上遞增的,對?u1≤u2,v1≤v2有

(v2-v1)(u2g(u2)-u1g(u1))≥0,

(u2-u1)(g(v2)-g(v1))≥0.

令

w=u1(g(u1v2)-g(u1v1))-

u2(g(u2v2)-g(u2v1)),

h(x)=x(g(xv2)-g(xv1)),x∈[0,1],

則

w=h(u1)-h(u2),

h′(x)=[g(xv2)+xv2g′(xv2)]-

[g(xv1)+xv1g′(xv1)].

又令

u(x,y)=g(xy)+xyg′(xy), ?x,y∈[0,1],

則

h′(x)=u(x,v2)-u(x,v1),

uy(x,y)=x(2g′(xy)+xyg″(xy)).

由條件

2g′(x)+xg″(x)≤0,x∈[0,1],

可知

2g′(xy)+xyg″(xy)≤0, ?x,y∈[0,1],

所以

uy(x,y)≤0, ?x,y∈[0,1],

即對于所有x、u(x,y)關(guān)于y是單調(diào)遞減的.由v1≤v2有

h′(x)=u(x,v2)-u(x,v1)≤0,x∈[0,1],

所以h(x)在[0,1]上是單調(diào)遞減的,有

w=h(u1)-h(u2)≥0,

則對?u1≤u2,?v1≤v2,u1,u2,v1,v2∈I有

VC([u1,u2]×[v1,v2])≥0,

所以C(u,v)是2-增的.

綜上所述,函數(shù)

C(u,v)=uvg(u)+ug(v)-ug(uv)

是二元Copula函數(shù).這就完成了(b)式的證明.

Copula函數(shù)形式多種多樣,本文構(gòu)造的2類二元Copula函數(shù)，從形式上看十分簡便,由已知的一個(gè)G類函數(shù)可以得到若干個(gè)含參數(shù)、不含參數(shù)的G類函數(shù),從而得到不同的含參數(shù)、非參數(shù)的二元Copula函數(shù),擴(kuò)大了二元Copula函數(shù)的范圍,豐富了構(gòu)造二元Copula函數(shù)的方法.

6 實(shí)證研究

Copula函數(shù)作為各變量邊緣分布之間的連接函數(shù),可以有效刻畫變量間的相關(guān)性.本文選取成都市和綿陽市自1985年到2015年期間第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為研究對象,建立經(jīng)驗(yàn)分布,并運(yùn)用常用的阿基米德Copula函數(shù)及構(gòu)造的G-Copula函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)進(jìn)行比較,對成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的相關(guān)性進(jìn)行分析.在運(yùn)用Copula函數(shù)刻畫變量間的相關(guān)性時(shí),選擇一個(gè)合適的Copula函數(shù)模型是Copula函數(shù)在變量間相關(guān)性研究領(lǐng)域中要解決的一個(gè)核心問題.首先需要建立變量的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).

6.1 經(jīng)驗(yàn)分布的建立設(shè)成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的增長率為X,綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的增長率為Y,則X、Y是隨機(jī)變量.我們選取成都市和綿陽市自1985年到2015年歷年第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值作為樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來自統(tǒng)計(jì)年鑒,相應(yīng)的增長率序列分別為{xi,i=1,2,…,30}和{yi,i=1,2,…,30}.對成都市和綿陽市的第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù),各選取其中的8個(gè)數(shù)據(jù)作為分割點(diǎn),把整個(gè)數(shù)軸分為9段,分別建立其經(jīng)驗(yàn)分布為

6.2 邊緣分布的建立由Sklar定理[7]知,2個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布是由其各自的邊緣分布和對應(yīng)的Copula函數(shù)作用生成,所以需要建立成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率的邊緣分布[8].對成都市和綿陽市的歷年第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù)作分析,模擬出兩地區(qū)產(chǎn)值增長率數(shù)據(jù)的頻率直方圖,運(yùn)用矩法估計(jì)各分布的未知參數(shù),計(jì)算各分布的理論值和經(jīng)驗(yàn)分布值的誤差平方和,則誤差平方和最小值對應(yīng)的分布為該產(chǎn)值的分布函數(shù).下面首先對成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率進(jìn)行分析,模擬出兩地區(qū)產(chǎn)值增長率數(shù)據(jù)的頻率直方圖,結(jié)果列于圖1和圖2.

由圖1和圖2可知,分別采用指數(shù)分布Exp(λ)和伽瑪分布Ga(θ,μ)去擬合成都市的第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率的總體密度函數(shù),伽瑪分布Ga(θ,μ)和卡方分布χ2(n)去擬合綿陽市的第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率的總體密度函數(shù).根據(jù)矩法,用樣本均值代替總體均值,樣本方差代替總體方差,估計(jì)出各分布的參數(shù),再選擇各分布與相應(yīng)產(chǎn)值經(jīng)驗(yàn)分布的誤差平方和最小值所對應(yīng)的分布為X、Y的分布函數(shù).表1給出各產(chǎn)值分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值及誤差平方和.

由表1可知,在用指數(shù)分布和伽瑪分布擬合成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率的分布時(shí),指數(shù)分布與其經(jīng)驗(yàn)分布的誤差平方和最小,因此,選取指數(shù)分布模擬成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的分布,而在用伽瑪分布和卡方分布擬合綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率的分布時(shí),卡方分布與其經(jīng)驗(yàn)分布的誤差平方和最小,因此,選取卡方分布模擬綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的分布,由此建立了成都市和綿陽市第一產(chǎn)值增長率的邊緣分布.

圖 1 成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率頻率直方圖

圖 2 綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率頻率直方圖

地區(qū)理論分布分布參數(shù)估計(jì)值誤差平方和成都市Exp(λ)9.597 412.206 1Ga(θ,μ)(1.321 3,12.707 3)12.631 1綿陽市Ga(θ,μ)(1.202 8,10.735 2)12.122 6χ2(n)0.112 03.699 4

在建立不同地區(qū)產(chǎn)值增長率的邊緣分布之后,由Sklar定理知,需要選取合適的Copula函數(shù)來連接不同地區(qū)產(chǎn)值增長率的邊緣分布,進(jìn)而分析不同地區(qū)產(chǎn)值的相關(guān)關(guān)系.而在建立合適的Copula函數(shù)模型之前,需要對Copula函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì).以成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為例,下面將討論Copula函數(shù)模型中參數(shù)的估計(jì).

6.3 Copula函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)在眾多的Copula函數(shù)族中,阿基米德Copula[9]由于結(jié)構(gòu)簡單、構(gòu)造方便,且具有許多良好的性質(zhì)而在金融及風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.常用的阿基米德Copula函數(shù)有:Frank Copula和Clayton Copula,這2種Copula都能夠較好地刻畫變量間的相關(guān)關(guān)系.由于Copula的良好性質(zhì)[10],對Copula的構(gòu)造研究[11]顯得尤為重要.對這種新的Copula的應(yīng)用將會是今后的一個(gè)研究熱點(diǎn).本文采用Frank Copula、Clayton Copula函數(shù)和G-Copula函數(shù)來度量成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值之間的相關(guān)關(guān)系.表2給出了這3類Copula函數(shù)的生成元及參數(shù)取值范圍.

為了得到具體的Copula函數(shù)表達(dá)形式,需要對Frank Copula、Clayton Copula和G-Copula函數(shù)中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì).由成都市和綿陽市30年的第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的增長率觀測值序列{xi,i=1,2,…,30}和{yi,i=1,2,…,30},可以得到(X,Y)的樣本

表 2 3類Copula函數(shù)

sign(x)為符號函數(shù)

對一般的二元Copula函數(shù),兩變量間的總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ和Copula函數(shù)C(u,v)之間有如下關(guān)系[12]

對特殊的Copula函數(shù)——阿基米德Copula,兩變量間的總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ和阿基米德Copula生成元φ(t)之間有如下關(guān)系[12]

利用τ與φ(t)間的這種關(guān)系,使用Clayton Copula和Frank Copula可以計(jì)算出(X,Y)的總體Kendall秩相關(guān)系數(shù)分別為:

其中

6.4 Copula函數(shù)模型的比較在得到Copula函數(shù)模型中未知參數(shù)的估計(jì)值后,需要建立恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)模型.下面對Copula函數(shù)進(jìn)行比較,并尋求最佳的Copula函數(shù).利用成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率序列的經(jīng)驗(yàn)分布,將增長率序列組合(xi,yi)轉(zhuǎn)化為新的序列(ui,vi),其中

ui=Fn(xi),

vi=Gn(yi),i=1,2,…,n,

n指樣本個(gè)數(shù).通過比較Copula函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)之間的偏差平方,對成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值之間的相關(guān)性進(jìn)行分析.首先,計(jì)算出第i年的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值Cn(ui,vi),其中,i=1,2,…,30,經(jīng)驗(yàn)分布Cn(u,v)的計(jì)算公式為

u,v∈[0,1].

由Copula函數(shù)值和經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)值的偏差平方和

可得到3種Copula函數(shù)模擬值和真實(shí)值之間的歐氏距離d2,d2越小,則Copula的擬合程度越好.比較3種Copula函數(shù)模型,尋求最優(yōu)的Copula函數(shù),最后度量成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的尾部相關(guān),分析不同地區(qū)產(chǎn)值間的相關(guān)關(guān)系.對選取的3種Copula函數(shù)進(jìn)行比較,比較結(jié)果如表3.

表3 Copula模型比較結(jié)果

從表3檢驗(yàn)結(jié)果可以看出,對X和Y來說,G-Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula的偏差平方d2為0.011 3,是3個(gè)Copula函數(shù)中最小的,表示其擬合效果最好,說明在樣本區(qū)間內(nèi)G-Copula能夠很好地度量成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值之間的相依關(guān)系,所以我,選擇G-Copula對成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的相關(guān)性進(jìn)行度量.

下面用Copula理論來解釋尾部相依.根據(jù)G-Copula函數(shù)表達(dá)式,分別計(jì)算成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的上尾相關(guān)系數(shù)和下尾相關(guān)系數(shù),得到成都市和綿陽市的上尾相關(guān)系數(shù)λU=0,下尾相關(guān)系數(shù)λL=0.該結(jié)論也與成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間的散點(diǎn)圖中描述的上尾和下尾相關(guān)性弱的結(jié)論一致,見圖3,即成都市和綿陽市的第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值間上尾和下尾都是漸進(jìn)獨(dú)立的,沒有明顯的尾部

圖3 成都市和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長率圖

相關(guān)性.它表明了當(dāng)成都市和綿陽市其中一個(gè)地區(qū)產(chǎn)值大幅度增加或減少時(shí),并不會引起另一個(gè)地區(qū)產(chǎn)值的大幅度增加或減少.因而可知:對于地區(qū)產(chǎn)值而言,當(dāng)一個(gè)地區(qū)的產(chǎn)值增加或減少到一定幅度時(shí),并不會引起另一個(gè)地區(qū)產(chǎn)值的大的波動(dòng),即通過本文定義的G類函數(shù),找到了一種Copula函數(shù):G-Copula,比常用的阿基米德Copula函數(shù)能更好地刻畫2個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系.目前構(gòu)造二元Copula主要是從函數(shù)出發(fā),對函數(shù)的性質(zhì)[14]加以研究,構(gòu)造出新的Copula[15].基于本文構(gòu)造的Copula,將它運(yùn)用到地區(qū)產(chǎn)業(yè)[16]中,能夠較好地分析地區(qū)產(chǎn)業(yè)的相關(guān)關(guān)系,有利于實(shí)際中對產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)的研究分析.

7 小結(jié)

Copula在刻畫變量相關(guān)性領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用.本文提出了一種新的G類函數(shù),基于定義的G類函數(shù),提出了一類新的G-Copula函數(shù),建立了2種構(gòu)造二元Copula函數(shù)的新方法.在構(gòu)造二元Copula函數(shù)時(shí),只需尋找恰當(dāng)?shù)腉類函數(shù),避免了直接從二元Copula函數(shù)定義出發(fā)去構(gòu)造二元Copula函數(shù),提高了效率,豐富了構(gòu)造二元Copula函數(shù)的方法.這種新的二元Copula函數(shù)擴(kuò)大了函數(shù)模型的選擇范圍,有利于選擇恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)模型來解決實(shí)際問題.本文利用構(gòu)造的Copula函數(shù)對成都市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值和綿陽市第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值之間的相關(guān)性進(jìn)行了實(shí)證分析.對于這種新的二元Copula函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用將是以后的研究熱點(diǎn).