江蘇

鄭寶生 潘 鑫

(作者單位：江蘇省無錫市立人高級中學(xué))

李邦河院士曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)根本上是玩概念的.因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是具有共性特征事物的抽象，也是對所研究對象的一種分類，它是人類理性思維的成果，也是人類智慧的結(jié)晶.讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，就要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的起源、形成和發(fā)展，在這個(gè)過程中尋找方法，在方法中提煉模式.正如張景中院士在談到數(shù)學(xué)教育時(shí)提出了三條原理：“在學(xué)生頭腦里找概念，從概念里產(chǎn)生方法，方法要形成模式.”這三條原理在我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中也同樣適用，它所反映的是概念要直觀、親切，方法要迅速、簡明，模式要通用、有力.

一、在學(xué)生頭腦中找概念

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，而函數(shù)的奇偶性也是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，對于函數(shù)奇偶性的教學(xué)設(shè)計(jì)也經(jīng)常見諸各種文章之中，怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才能凸顯概念中的“任意性”，讓學(xué)生更好地體悟和理解“任意”的內(nèi)涵？筆者進(jìn)行了如下嘗試.

問題1：對稱是我們生活中最常見的現(xiàn)象，請說出一個(gè)軸對稱圖形和一個(gè)中心對稱圖形；我們學(xué)過的函數(shù)圖象中哪些圖象是軸對稱圖形，哪些圖象是中心對稱圖形？

問題2：從圖象上看函數(shù)f(x)=x2的圖象關(guān)于y軸對稱，僅靠觀察是不可靠的，你能舉例說明嗎？

【意圖】讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)的函數(shù)值相等，如f(0)=f(0)，f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)等.

問題3：你能寫出上述所有等量關(guān)系嗎？

【意圖】舉幾個(gè)例子學(xué)生可能會感到輕松，但是若要舉出所有的例子學(xué)生會感到很驚愕！生命有限，例子無限，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生去思考，找到解決問題的辦法.用字母替代數(shù)字，對任意的x，都有f(-x)=f(x)，學(xué)生從中體會到x的“任意性”，在悄無聲息中進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)抽象，它所反映的是從量變到質(zhì)變的一個(gè)哲學(xué)思考.

形成結(jié)論：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，滿足的關(guān)系式為定義域內(nèi)任意的x都有f(-x)=f(x).此時(shí)學(xué)生對于“任意”的理解僅浮于表面，認(rèn)為“任意”的存在不是必要的，所以教師還需要強(qiáng)化“任意”在定義中不可或缺的地位.

問題4：反之，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)若存在x=1，且滿足f(-1)=f(1)，能否說明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？

【意圖】學(xué)生可以舉例進(jìn)行反駁，讓學(xué)生從反面理解偶函數(shù)中“任意性”不可或缺的地位.

問題5：定義域內(nèi)存在x=m，滿足f(-m)=f(m)，能否說明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？存在x=n，滿足f(-n)=f(n)，能否說明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？依此類推，一直這樣下去，怎樣才能保證函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？

【意圖】從函數(shù)定義域內(nèi)存在x一直延伸到無數(shù)個(gè)x，最后達(dá)到定義域內(nèi)任意的一個(gè)x都滿足f(-x)=f(x)，缺少定義域內(nèi)任意的一個(gè)x，就不能保證函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

形成結(jié)論：若定義域內(nèi)任意的x都滿足f(-x)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.此時(shí)“任意性”不再是多余詞匯，而是一個(gè)保證定義域內(nèi)所有的x一個(gè)都不能少的關(guān)鍵性詞語，然后形成偶函數(shù)定義，并深切地體悟到“任意”的分量.只有從學(xué)生頭腦中構(gòu)建出來的概念，學(xué)生才能更好地理解概念，準(zhǔn)確地運(yùn)用概念.

二、在概念里找方法

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)也是為了更好地解決問題，正如波利亞所告誡我們的，“回到定義中去”.定義中體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包含著解決問題的方式方法，這樣的方式方法最簡單、最有效.

1.證明函數(shù)的奇偶性，經(jīng)歷概念的模仿過程

證明函數(shù)的奇偶性，讓學(xué)生運(yùn)用定義解決問題，歸納操作流程，在回顧反思的過程中，促使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵，把握定義的外延.

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)=2x；(2)f(x)=x2-1；(3)f(x)=x3+5x；(4)f(x)=x4+2x2.

思考：(1)證明函數(shù)奇偶性的操作步驟是什么？

【意圖】通過證明函數(shù)的奇偶性讓學(xué)生歸納和概括操作步驟：①定義域；②任意性；③比較f(-x)與f(x).其次通過學(xué)生的舉例，一方面可以反饋學(xué)生對奇、偶函數(shù)的認(rèn)知；另一方面也是為了提煉更一般的方法：對于定義域?yàn)镽的多項(xiàng)式函數(shù)，都是奇次項(xiàng)的是奇函數(shù)，都是偶次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)的是偶函數(shù).

對于高一的新生來說，這樣的代數(shù)證明還是有點(diǎn)難度.他們?nèi)菀缀雎院瘮?shù)的定義域，特別是定義域內(nèi)x的“任意性”，即使學(xué)生求出f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)也僅僅是停留在符號層面，不理解其中的含義.其主要原因是大部分學(xué)生都處于模仿狀態(tài)，他們還感受不到定義域和任意性是不可缺少的條件，他們的書寫也僅僅是照搬而已.所以需要強(qiáng)化定義域和任意性的教學(xué)，特別是對于奇、偶函數(shù)的符號表達(dá)，需要學(xué)生能用自己的語言敘述，如-x的函數(shù)值與x的函數(shù)值相等或互為相反數(shù)，使符號含有學(xué)生熟悉的具體內(nèi)容，便于理解和掌握.

2.證明函數(shù)不具有奇偶性，經(jīng)歷概念的感悟過程

要理解一個(gè)事物，需要從不同角度觀察思考，這樣才能更好地觸及事物的全貌，體會到事物的本質(zhì).從反面理解函數(shù)奇偶性的定義，能更好地理解定義域和x的任意性.

例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性

思考：(1)你能從中發(fā)現(xiàn)奇偶函數(shù)有怎樣的特點(diǎn)？給出解釋.

(2)怎樣才能證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，為什么？

【意圖】前面兩個(gè)函數(shù)給出了定義域，后面兩個(gè)函數(shù)要求學(xué)生先求出定義域，再判斷奇偶性.讓學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)，奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，理由是定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，只要在定義域內(nèi)找到一個(gè)x不符合要求，就不具有奇偶性.同樣要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，只要在定義域內(nèi)舉一個(gè)反例即可，再結(jié)合圖象給出具體而形象的解釋.

上述的兩個(gè)問題，一個(gè)是正面說明，另一個(gè)是反面揭示，體現(xiàn)一個(gè)本質(zhì)：對于定義域內(nèi)任意的x值或?qū)?yīng)的函數(shù)值，只要有一個(gè)x值不滿足函數(shù)的奇偶性定義，則這個(gè)函數(shù)就不具有奇偶性.一方面可以讓學(xué)生準(zhǔn)確地掌握函數(shù)奇偶性的定義，發(fā)現(xiàn)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；另一方面讓學(xué)生體會到“定義域內(nèi)任意的x”在函數(shù)奇偶性定義中不可缺少的作用，并提供證明函數(shù)不具有奇偶性的一種方法.

3.已知函數(shù)的奇偶性求字母系數(shù)，經(jīng)歷方法的辨析過程

已知函數(shù)的奇偶性，回到定義中去，就是定義域內(nèi)任意的x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，如果推演下去，對于定義域內(nèi)某個(gè)x=x0必然有f(-x0)=f(x0)或f(-x0)=-f(x0)，在解決問題中這兩種方法有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？

例3.已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2x-m2+m是奇函數(shù)，求m的值.

方法2：定義域內(nèi)任意的x都有f(-x)=-f(x)，取特殊值x=0，也有f(-0)=-f(0)，則f(0)=0，所以-m2+m=0，則m=0或m=1.

思考：(1)上述兩種解法中哪種解法存在問題？給出理由.

(2)比較兩種解法的優(yōu)劣.

【意圖】由于所求結(jié)果不同，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)方法2存在問題.方法2中當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=-x2+2x，顯然不是奇函數(shù)，所以m=1.讓學(xué)生找出理由，給學(xué)生一個(gè)自由發(fā)揮、深入思考的機(jī)會.事實(shí)上，對于定義域內(nèi)任意的x，都有等式f(-x)=-f(x)，其含義是：每一個(gè)x都有一個(gè)等式可求得m值，無限個(gè)等式求出的m值的公共元素為m=1，所以方法2計(jì)算量更小、運(yùn)算更簡便，求得的m值不會丟根，可能產(chǎn)生增根，只要檢驗(yàn)即可.

上述問題用定義來求解，無疑是最可靠的，而用特殊值求解，必然讓人產(chǎn)生疑慮，所以需要從其真實(shí)性上進(jìn)行推敲，能給學(xué)生一個(gè)求真的機(jī)會、思辨的舞臺，更好地培養(yǎng)學(xué)生們的理性精神.然而，現(xiàn)實(shí)是許多學(xué)生并不懂得為什么，只是簡單記住這種解法而已，正所謂只知其然而不知其所以然.

三、在方法中提煉模式

從方法的角度，有奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；對于奇函數(shù)f(0)=0等，其本質(zhì)還是奇、偶函數(shù)的定義，具體內(nèi)容是：定義域內(nèi)任意的x，-x所對應(yīng)的函數(shù)值相等為偶函數(shù)，相反為奇函數(shù).表現(xiàn)在圖象上，圖象關(guān)于y軸對稱或圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.具體內(nèi)容與具體圖象的融合，就會在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生具體的形象，這些具體的形象會逐漸地嵌入到學(xué)生的觀念之中.

1.模式的形成

任何解決問題的模式在學(xué)生的頭腦中形成，都要有孕育、發(fā)展和逐漸清晰的過程.作為函數(shù)奇偶性定義的運(yùn)用或推廣，下列問題值得思考.

問題：(1)已知函數(shù)y=f(x)，對于定義域內(nèi)任意的x都有f(1-x)=f(1+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象有怎樣的性質(zhì)？

(2)已知函數(shù)y=f(x)，對于定義域內(nèi)任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=4，則函數(shù)y=f(x)的圖象有怎樣的性質(zhì)？

思考：(1)上述等式是否唯一？如果唯一，請說明理由；如果不唯一，請寫出其他等式.

(2)請給出更一般的結(jié)論.

2.模式的運(yùn)用