摘要：向量作為高中數(shù)學(xué)重要的知識點(diǎn)之一，其既可視為代數(shù)問題，又可視為幾何問題，具有雙重性，是高考中的?？?，無論是選擇題、填空題，還是解答題中均有體現(xiàn)，應(yīng)引起學(xué)生們的高度重視。本文從向量的基本知識點(diǎn)入手，進(jìn)一步分析其在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：向量? ?代數(shù)問題? ?幾何問題

向量作為一種基本的解題工具，常被應(yīng)用于其他常考知識點(diǎn)中，如不等式、數(shù)列等代數(shù)問題，平面幾何、立體幾何等幾何問題。要想熟練運(yùn)用這種工具，就必須牢固掌握其基本知識，做到活學(xué)活用。

一、向量的基本知識點(diǎn)

向量是兼具大小和方向的量，一般用? ? ?或? 表示，其長度大小又稱為向量的模，用? ? ?或? ?表示。當(dāng)然，在高中向量知識中，最長常用的時(shí)候坐標(biāo)表示? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。下面對向量中的常用知識進(jìn)行了簡要總結(jié)。

向量基本運(yùn)算：設(shè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，那么

;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。在加減、數(shù)乘運(yùn)算上，基本沒有變化，但對于向量的乘法就與之前所學(xué)的有很大不同。? ? ?稱為向量的叉乘、外積，它不滿足常用的交換律與結(jié)合律，具體表現(xiàn)為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而

;而? ? ? 稱為向量的點(diǎn)乘、內(nèi)積，其計(jì)算公式為：

。因此，在進(jìn)行向量的乘法計(jì)算時(shí)需格外注意，需區(qū)分是叉乘還是點(diǎn)乘。

向量平行定理（不考慮零向量）：向量? 與向量? 平行的充要條件為? ? ? ? ?且? ? ? ? ? 。

向量垂直定理（不考慮零向量）：向量? 與向量? 垂直的充要條件為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

通過對向量基本知識點(diǎn)的簡要分析，易知用向量的代數(shù)計(jì)算可以反應(yīng)向量的幾何關(guān)系，且還能進(jìn)行角度的分析，這就可以用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而將其與幾何關(guān)系聯(lián)系起來，這種方法也是求解幾何問題最常用方法之一，尤其體現(xiàn)在立體幾何中。

二、向量在解題過程中的具體應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)習(xí)題主要可分為代數(shù)問題與幾何問題兩大類，在這兩類問題中，均有向量的用武之地。下面就以具體的習(xí)題來闡述向量的基本知識在解題過程中的應(yīng)用。

（一）代數(shù)問題

例題1：證明對任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，均有

。

解析：這道題雖然字母較多，但證明起來并不難，正常展開即可。當(dāng)然，由于題中既有平方和的形式，又有相互乘積之和的形式，與向量的模長與內(nèi)積形式一致，因此，不妨設(shè)向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，且? ?與? 的夾角為θ，應(yīng)有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，對兩邊同時(shí)取絕對值，有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。因?yàn)? ? ? ? ? ? ?，所以

，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，證明完畢?？蓪⑦@一關(guān)系做進(jìn)一步延伸，可推廣到一般情形即

。

上述這一延伸結(jié)論可以作為不等式證明的一種技巧，比如，a、b、c∈R+，且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，求證? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。解析：構(gòu)造向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，根據(jù)上述延伸結(jié)論可知，

。

例題2：已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（i）求證? ? ? ?為等比數(shù)列;（ii）當(dāng)? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí)，? ? ? ? ? ? ? ? ?，數(shù)列

的前n項(xiàng)和Sn。

解析：（i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以? ? ?為等比數(shù)列;（ii）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因?yàn)槭窍蛄繆A角，所以? ? ? ? ? ? ，故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（二）幾何問題

例題3：如圖1所示，F(xiàn)是拋物線? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)F與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過B作x軸的平行線，交準(zhǔn)線與點(diǎn)C，求證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。

解析：設(shè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則

。要證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)，只需證? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。因?yàn)橹本€AB經(jīng)過點(diǎn)F，所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即

，

證明完畢。

圖1

例題4：在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，且ABCD是邊長為2的菱形，BAD60。（i）求證BD平面PAC;（ii）若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值？

解析：（i）根據(jù)題中描述，繪制四棱錐P-ABCD如圖2所示，方便尋找關(guān)系。因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD，又因?yàn)锳BCD是菱形，所以BDAC，進(jìn)而證明出BD平面PAC;（ii）在這種立體幾何求成角問題中，最常用的方法就是在給定的幾何體上建立合理的坐標(biāo)系，用向量的方式表示這兩條直線，進(jìn)而求出夾角的余弦值。本題中，以A為原點(diǎn)、AP為z軸，AD為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示。根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，易得出所需個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ，? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 ? 。

圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

三、結(jié)語

總之，向量因其自身代數(shù)與幾何的雙重性，使之在高中數(shù)學(xué)的解題過程中具有極大的實(shí)用性，也是數(shù)形結(jié)合思想的一種體現(xiàn)，尤其是在立體幾何求線線夾角、線面夾角、二面角問題中應(yīng)用的極為廣泛，是高考中的常客，學(xué)生們應(yīng)對予以重視，充分理解向量的基本知識點(diǎn)，對向量的具體應(yīng)用類型進(jìn)行歸納總結(jié)，以拓寬學(xué)生的解題思路，提升綜合應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王軍玲.向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[D].西北大學(xué)，2017.

[2]陳紀(jì)源.向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018，（03）：64.

[3]麥康玲.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)文匯（下旬刊），2015，（05）：110-111.

（作者簡介：黃亦凡，高中學(xué)歷，南昌市第二中學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)方向。）