陶新平

高中數(shù)學(xué)中，立體幾何占有很重要的位置，教師在教授的過(guò)程中要注重學(xué)生立體幾何意識(shí)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生的想象能力.空間向量是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的一種很好的工具，能夠降低立體幾何的難度，讓解題更加準(zhǔn)確，也可以為學(xué)生提供更多立體幾何的解答方式，因此空間向量在立體幾何中的位置還是比較重要的，是解決立體幾何的一種常用方法，學(xué)生應(yīng)該掌握好這種有效的方法.

一、空間向量在立體幾何解題方法中的應(yīng)用

空間向量可以對(duì)立體幾何題目進(jìn)行優(yōu)化，讓立體幾何問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單.利用空間幾何向量，可以在立體幾何問(wèn)題上建立坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.將立體幾何轉(zhuǎn)化成數(shù)字，更加方便計(jì)算，學(xué)生也更加容易理解.

例如，圖1所示的空間四邊形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線的長(zhǎng)度都為a，點(diǎn)M、N分別是邊長(zhǎng)AB和CD的中點(diǎn).求證：（1）MN⊥AB，也垂直于CD.（2）求MN的長(zhǎng)度.（3）異面直線AN和CM的夾角余弦值.在這一題目中，如果用傳統(tǒng)的幾何方法解題，那么證明兩條線的垂直可以用簡(jiǎn)單的定理來(lái)證明，但是求MN的長(zhǎng)度時(shí)，如果還采用原始的方法，就需要做輔助線，利用幾何關(guān)系來(lái)求解，過(guò)程會(huì)比較復(fù)雜.在對(duì)異面直線夾角的余弦值進(jìn)行求解的過(guò)程中，要利用余弦值的公式，代入兩邊的長(zhǎng)度，才能夠求解，還需要計(jì)算出三條邊的值，計(jì)算很煩瑣，而利用空間向量的方式就可以避免這些復(fù)雜的計(jì)算，快速得到答案，計(jì)算出余弦值為23.

二、空間向量在立體幾何解題策略中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)空間向量這種方法是要讓學(xué)生掌握立體幾何的解題策略，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的能力，讓學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，在這一過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力.學(xué)生在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)掌握一定的策略，對(duì)圖形進(jìn)行正確分析;然后建立正確的坐標(biāo)系，用最簡(jiǎn)單的方法將立體幾何圖形中涉及的元素提取出來(lái)，用空間坐標(biāo)去表示，在建立好坐標(biāo)系之后，可以利用相關(guān)的公式，代入進(jìn)行解決;最后，只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算就可以解決復(fù)雜的空間幾何問(wèn)題.

例如，如圖2所示，求直線和平面的夾角，需要學(xué)生能夠想象出直線的方向向量和平面法向量之間的關(guān)系，能夠?qū)ψ杂善揭葡蛄繕?gòu)成清晰標(biāo)準(zhǔn)的圖示，在此基礎(chǔ)上，弄清楚線面所成角θ和直線方向向量與法向量夾角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系sinθ=|cos|，這一環(huán)節(jié)與用綜合法解題中在復(fù)雜圖形中辨識(shí)想象出定理內(nèi)容的基本圖示是相同的.

三、空間向量在立體幾何優(yōu)化解題中的運(yùn)用

利用空間向量還可以優(yōu)化解題，應(yīng)用范圍廣，可以很好地解決空間中的成角問(wèn)題，包括直線和直線的成角、直線和平面的成角，以及平面和平面之間的成角.每種不同的成角問(wèn)題都有相對(duì)應(yīng)的公式，只要建立好了坐標(biāo)系，就可以快速方便地求解.

例如，如圖3，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求線段PH的長(zhǎng).解答該題目學(xué)生應(yīng)該明確平面的向量表達(dá)是由法向量和面內(nèi)一點(diǎn)可確定平面內(nèi)任意點(diǎn)或是由面內(nèi)一組基底的線性表達(dá)可以確定平面內(nèi)任意點(diǎn)，那么就不難獲得確定點(diǎn)H的方法，由點(diǎn)H在線段PC上，設(shè)PH=λPC，λ∈（0，1），借助λ可表示AH.在此之后，一種方法，是用平面ABF的法向量與AH垂直來(lái)確定λ;另一種方法，是依據(jù)平面向量基本定理，以AB，AF為基底，設(shè)AH=mAF+nAB，通過(guò)向量相等解出λ.

綜上所述，隨著社會(huì)的發(fā)展和時(shí)代的進(jìn)步，需要不斷地更新和優(yōu)化教學(xué)理念和教學(xué)方式，提高課堂效率，完成素質(zhì)教育的目標(biāo).在立體幾何的學(xué)習(xí)中，空間向量是一種很好的方法，教師應(yīng)該以學(xué)生為主體，不斷地探索和實(shí)踐空間向量的教學(xué)方法，更新教學(xué)理念，讓學(xué)生掌握空間向量這種高效的解題方法，對(duì)立體幾何有更深入的理解，掌握更多的解題方法和策略，提高解題效率和準(zhǔn)確率.