文謝 倩

（作者單位：江蘇省無錫金橋雙語實驗學校初中部）

數(shù)學學習與數(shù)學解題中，同學們由于受已經(jīng)形成的經(jīng)驗或者是已有模式的影響，往往會因思維定式而造成錯誤。

一、思維定式造成的解題思路窄化

例1 如圖1，⊙O的弦AB、CD的延長線相交于點P，且AB=CD。求證：PA=PC。

圖1

圖2

圖3

【思維定式】由于AB、CD是⊙O相等的弦，因此過圓心O分別作AB、CD的垂線，如圖2，然后朝著PA=PC的方向?qū)ふ覘l件。

【原因分析】由于受“垂徑定理”或“同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么可以得到這兩條弦上的弦心距相等”的思維定式的影響或制約，使解題思路受限。

【解題反思】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系以及圓周角定理，再利用等腰三角形的判定即可得到解決問題的有效方法。

二、思維定式造成的解題思路呆板

例2 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為_______。

圖4

【思維定式】若點E、F分別運動到AD、DC 中點時，則時，線段DP的最小值為；若點E、F分別運動到AD、DC終點時，則AF=所以，線段DP的最小值為綜上所述，線段DP的最小值為或

【原因分析】從特殊情況考慮，不一定是問題的答案。

【快速求解】由正方形ABCD得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°。

∵點E、F運動速度相同，運動時間相同，∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，

∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

∴△BAE≌△ADF，

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=90°，∴∠APB=90°，

∴點P在以AB為直徑的半圓上運動，如圖5，當圓心O、點P和點D在同一條直線上時，DP最小，為 5-1。

圖5

【解題反思】從特殊到一般盡管是解決問題的一種思想方法，但是本題的思路與方法，同學們更應該了解和掌握。

三、思維定式造成的解題思路固化

例3 如圖6，點A與點B的坐標分別是A（1，0），B（5，0），P是該平面直角坐標系內(nèi)的一個動點。

圖6

（1）使∠APB=30°的點P有_____個；

（2）若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標；

（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否存在最大值？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

【思維定式】題中給出的圖，只考慮點P在第一象限，造成漏解。

【原因分析】（1）中由∠APB=30°，很容易想到點P在某個圓上運動，當弦AB不變時相應的圓周角大小不變，所以符合要求的點P有無數(shù)個；受（1）的啟發(fā)，可以斷定點P為該圓與y軸的交點，但此時我們又不擅長補圓，以致無法求出點P的坐標，或者部分同學能確定圓心和半徑，進而求出圓與y軸的交點坐標，但忽略點P在x軸下方的情形。

【快速求解】（1）線段AB=4，∠APB=30°確定時，角的頂點P在以AB為弦的

M和 M′上，其軌跡（除A、B點外）如圖7所示，故符合要求的點P有無數(shù)個。

圖7

（2）如圖8，由圓周角定理知，AMB=2∠APB=60°，

∴△MAB為等邊三角形，

∴r=MA=AB=4，M（3，23），

作MC⊥y軸，

圖8

（3）過點A，B的 M與y軸相切于點P時，∠APB最大。

作MN⊥x軸，如圖9，由垂徑定理知NA=NB，∴點M，N的橫坐標為3。

圖9

∵⊙M與y軸相切，

∴r=MP=3，

在Rt△MAN中，由勾股定理得，

【解題反思】解本題若能想到“隱圓”，利用數(shù)形結合的方法，解決起來就不難了。