張紅霞 吳桐桐 冷雪亮

摘 ?要： 粗糙集理論是一種新型的處理含糊不確定知識的數(shù)學工具，善于分析隱藏在數(shù)據(jù)中的事實而不需要關于數(shù)據(jù)的任何附加知識，粗集理論不僅為信息科學和認知科學提供了新的科學邏輯和研究方法，而且為智能信息處理提供了有效的處理技術。聚類是作為數(shù)據(jù)挖掘系統(tǒng)中的一個模塊，既可以作為一個單獨的工具以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)分布的深層信息，也可以作為其他數(shù)據(jù)挖掘分析算法的一個預處理步驟。模糊聚類算法忽略了聚類邊界不確定的問題和復雜數(shù)據(jù)問題從而導致聚類效果不理想。本文提出了將粗糙集和模糊聚類算法相結合，利用粗糙集中上近似集和下近似集的概念得到相似性度量來改進模糊聚類算法。實驗證明，改進的算法能夠得到更好的聚類效果。

關鍵詞：?粗糙集;模糊聚類;上近似;下近似

中圖分類號： TP301.6????文獻標識碼：?A????DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.09.036

本文著錄格式：張紅霞，吳桐桐，冷雪亮. 基于粗糙集理論的模糊聚類算法研究[J]. 軟件，2019，40（9）：156-163

Research on Fuzzy Clustering Algorithm Based on Rough Set Theory

ZHANG Hong-xia，?WU Tong-tong，?LENG Xue-liang

（College of Computer and Information， Shandong University of Science and Technology， Qingdao?266000，?China）

【Abstract】： Rough set theory is a new mathematical tool for dealing with vague and uncertain knowledge. It is good at analyzing the facts hidden in the data without any additional knowledge about the data. Rough set theory not only provides new scientific logic and research methods for information science and cognitive science， but also provides effective processing technology for intelligent information processing. Clustering is a module in the data mining system. It can be used as a separate tool to discover the deep information of data distribution in the database， or as a pre-processing step of other data mining analysis algorithms. The fuzzy clustering algorithm ignores the problem of cluster boundary uncertainty and complex data problems， which leads to the unsatisfactory clustering effect. This paper proposes to combine the rough set and the fuzzy clustering algorithm， and use the concept of the approximate set and the lower approximation set on the rough set to obtain the similarity measure to improve the fuzzy clustering algorithm. Experiments show that the improved algorithm can get better clustering effect.

【Key words】： Rough set; Fuzzy clustering; Upper approximation; Lower approximation

0??引言

聚類分析按照不同的標準有不同的劃分，按照數(shù)據(jù)樣本隸屬度的取值范圍劃分，可以將聚類分析方法分為兩類，一類叫硬聚類分析，另一類叫軟聚類分析，也叫模糊聚類分析。硬聚類是一種嚴格地劃分，旨在將每一個數(shù)據(jù)樣本劃分到一個確定的簇中，劃分機制非常明確，其隸屬度只有兩個值0和1，也就是說，一個樣本只能完全屬于某一個類或者完全不屬于某一個類。例如，將小于或者等于40歲的人劃分為年輕，大于40歲的人劃分為不年輕，那么不管是39歲還是9歲，都屬于年輕類，這就是典型的“硬隸屬度”概念，這種聚類方法過于嚴格，對于一些位于邊界處的數(shù)據(jù)對象不是很友好，容易產(chǎn)生誤差。軟聚類對于數(shù)據(jù)對象的劃分比較寬容，它是依據(jù)數(shù)據(jù)樣本隸屬度的大小，將其劃分到不同的簇。比如30歲，可能屬于年輕這類的隸屬度值為0.7，而屬于不年輕這個類的值為0.3，這樣劃分就比較合理。另外，當隸屬度的值只取0或1時，模糊聚類就變成了硬聚類。通過介紹，可以看到模糊聚類獲得的聚類結果具有不確定性，它將聚類結果進行了模糊化，這樣就能夠對現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)劃分問題進行更加客觀的描述，因此模糊聚類分析已成為聚類研究的主流方向之一。

本文算法結合了粗糙集^[1-3]等理論，提出了基于粗糙集理論的模糊聚類算法。該算法是通過粗糙集理論最終得到一個隸屬值，然后，用表示的抑制率乘以非獲勝者所屬類簇的隸屬度值，以修改模糊隸屬度，從而在一定程度上增加獲勝者的隸屬度值。通過實驗表明該算法能夠解決原始算法中的缺點，并且還能提高聚類的準確率和減少花費的時間。

1 ?相關工作

1.1模糊C均值聚類算法原理

模糊C均值聚類算法是目前應用最廣泛的軟聚類^[4-5]算法之一，該算法利用目標函數(shù)來解決數(shù)據(jù)樣本的聚類問題，把聚類的過程轉化成帶約束的優(yōu)化問題，因此可以借助數(shù)學領域中經(jīng)典的非線性規(guī)劃理論對其進行求解。

假設數(shù)據(jù)樣本集合，是樣本個數(shù)，已知該數(shù)據(jù)集共有類，聚類任務就是希望把中的所有數(shù)據(jù)對象劃分到個類中，每個類都有一個唯一的聚類中心，聚類中心集合為。那么，模1糊C均值聚類算法可以表示為下面的數(shù)學規(guī)劃問題：

（1）

且滿足：

（2）

其中，是數(shù)據(jù)樣本屬于某一類的隸屬度。隸屬度的值越大則說明數(shù)據(jù)樣本屬于類的可能性越大，反之則可能性越小。是模糊劃分矩陣，從模糊劃分矩陣^[6]-[8]中可以找到每個數(shù)據(jù)樣本相對于每個類簇的隸屬度值;樣本與第個類類中心的相似性大小，用歐氏距離計算，記為;是模糊權重指數(shù)，也稱為模糊因子，改變它的取值能對模糊類之間的分享程度進行調節(jié)。模糊聚類算法的聚類過程就是目標函數(shù)公式（1）的求解過程。目標函數(shù)中有兩個未知的量，分別是和，采用拉格朗日乘數(shù)法和求導公式對式（1）求解，可以得到下面的結果：

（3）

（4）

觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，與是相互關聯(lián)的，彼此包含對方。在模糊聚類算法開始的時候，通常人為賦值給或者其中的一個，只要數(shù)值滿足約束條件即可，然后就可以根據(jù)公式開始迭代更新。例如，假設給賦值，有了就可以計算，得到后又可以根據(jù)此去計算新的，如此反反復復。在這個過程中，目標函數(shù)J一直在變化，最后逐漸趨向穩(wěn)定值。那么，當J不再變化的時候就認為算法收斂到一個比較好的結果?？梢钥吹?img alt="" height="23" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml6628＼wps65.png" width="18"/>和在目標函數(shù)J下構成了一個迭代更新的過程。

假設計算數(shù)據(jù)樣本中的樣本1到各個類中心的隸屬度，此時j=1，，在式（3）中，分母求和公式里的分子表示的是數(shù)據(jù)樣本1相對于某一類的類中心距離，而求和公式的分母是這個數(shù)據(jù)樣本1相對于所有類的類中心的距離的和，因此它們的商表示的就是數(shù)據(jù)樣本1到某個類中心的距離，在樣本1到所有類中心的距離和的比重。當越小，說明數(shù)據(jù)樣本屬于類的可能性越大，公式1的值就越大，對應的就越大，數(shù)據(jù)樣本就越屬于這個類。

通過上述分析可以知道，當類確定后，式4的分母求和是一個常數(shù)，根據(jù)式（4）可以得到聚類中心的更新公式：

（5）

對于式（5）通俗的解釋就是，類確定后，將所有數(shù)據(jù)樣本點到該類的隸屬度求和，然后對每個點，用其隸屬度除以這個和再乘以，就是這個點對于這個類的貢獻值。

1.2模糊C均值聚類算法步驟

模糊C均值聚類算法首先需要事先確定聚類^[9-11]中心，再計算每個數(shù)據(jù)樣本屬于每個聚類中心的隸屬程度，得到一個隸屬度矩陣;然后根據(jù)隸屬度的大小對所有數(shù)據(jù)樣本進行劃分，得到每個數(shù)據(jù)樣本的聚類情況，根據(jù)最新的劃分，再重新計算每個類的聚類中心。模糊C均值聚類的過程就是通過迭代聚類中心和隸屬度矩陣，直到算法收斂為止。

算法1-1??模糊C均值聚類算法

輸入：數(shù)據(jù)集

輸出：隸屬度矩陣和聚類中心

Step1：對參數(shù)進行初始化。給定聚類數(shù)目;模糊因子m=2;隸屬度矩陣，并使其滿足式（2）;=0，用來記錄迭代次數(shù);

Step2：根據(jù)式（6）更新聚類中心;

（6）

Step3：根據(jù)式（7）更新隸屬度矩陣;

定義3.2 ?給定一個論域和論域上的一個等價關系，模糊聚類過程中 產(chǎn)生的聚類結果構成一個劃分，是與聚類中心劃分為一類的數(shù)據(jù)樣本的集合，則集合的上近似集為：

（10）

下近似集為：

（11）

邊界域為：

（12）

集合的下近似集為：

（13）

上近似集為：

（14）

邊界域為：

（15）

假設數(shù)據(jù)樣本集合，數(shù)據(jù)樣本個數(shù)為n，模糊聚類算法要將中的所有數(shù)據(jù)對象劃分到c個類中，每個類都有一個唯一的聚類中心，c個聚類中心的集合為。那么RS-SFC算法可以表示為下面的數(shù)學規(guī)劃問題：

（16）

其中：

（17）

（18）

表示樣本屬于某一類i的隸屬度，參數(shù)和分別表示第i個簇的近似精度和粗糙度，滿足。

RS-SFC算法基于下近似集和邊界域的加權平均，定義了新的模糊質心更新公式，使其同時考慮模糊隸屬度和上近似集、下近似集的影響。通過對求解式（16），得到新的模糊聚類中心計算公式為：

（19）

其中：

（20）

（21）

為提高聚類的速度，本文借鑒文獻^[75]中提出到的抑制因子來提高RS-SFC算法的速度，抑制因子通過引入競爭機制，在保持良好的聚類精度的同時以提高收斂速度。RS-SFC算法在每次迭代更新隸屬度矩陣后，對對象進行抑制，步驟如下：

對于每個數(shù)據(jù)對象，在獲得其新的模糊隸屬度矩陣后，找到模糊隸屬度矩陣中最大的模糊隸屬度，并宣布第k個類為獲勝者，獲得了數(shù)據(jù)對象。這樣，每個數(shù)據(jù)對象都有一個屬于自己的類簇，且不依賴任何其他數(shù)據(jù)點。然后，用表示的抑制率乘以非獲勝者所屬類簇的隸屬度值，以修改模糊隸屬度，從而在一定程度上增加獲勝者的隸屬度值。因此，RS-SFC算法有以下隸屬度計算公式：

（22）

這些修改后的隸屬度值被用來計算新的聚類 ?中心。

2.2算法步驟

RS-SFC算法的過程是迭代更新公式（19）和公式（3）的過程，直到式（16）趨于穩(wěn)定，迭代停止。根據(jù)上述定義和分析，基于粗糙集的抑制模糊聚類算法的步驟如下：首先，隨機選擇C個數(shù)據(jù)對象作為C個簇的聚類中心，然后根據(jù)式（3）和（22）計算所有數(shù)據(jù)樣本的模糊隸屬度，根據(jù)每個樣本相對聚類中心的大小對數(shù)據(jù)樣本進行劃分。根據(jù)得到的新的劃分，用式（19）更新聚類中心，然后再根據(jù)新的聚類中心求解新的隸屬度矩陣，如此循環(huán)，當聚類結果趨于穩(wěn)定后，該算法終止。

算法2-2 ?基于粗糙集的抑制模糊聚類算法

輸入：數(shù)據(jù)集

輸出：隸屬度矩陣和聚類中心

Step 1：初始化相關參數(shù)。給定聚類中心的個數(shù)c，設置模糊因子m=2.0，停止閾值，迭代計數(shù)，初始化隸屬度矩陣，使其滿足約束條件;設置抑制因子（0<<1）;

Step 2：根據(jù)隸屬度矩陣，使用式（4.19）計算聚類中心;

Step 3：根據(jù)式（4.3）、（4.22）更新隸屬度矩陣，迭代計數(shù);

Step 4：如果，則算法終止;否則轉至Step 2。

3 ?實驗結果與分析

本節(jié)將通過實驗對RS-SFC算法進行研究。首先對實驗中所用數(shù)據(jù)集進行描述，并對數(shù)據(jù)集進行預處理;然后將RS-SFC算法同其他兩個常用的聚類算法進行比較，以分析該算法的有效性。最后在對實驗結果進行分析的基礎上，總結RS-SFC算法的優(yōu)缺點，為以后的研究指明方向。

本次實驗一共分為兩部分，一是測試本文提出RS-SFC算法的聚類效果。將該算法與模糊C均值聚類算法、K-means聚類算法同時應用在8個數(shù)據(jù)集上，并計算每個數(shù)據(jù)集的準確率、F1值和互信息，以對聚類效果進行對比;二是測試RS-SFC算法的收斂速度。分別記錄RS-SFC算法和模糊C均值聚類算法在對數(shù)據(jù)集進行聚類時的迭代次數(shù)。每個算法運行30次，最后取平均值。模糊C均值聚類算法在上文中已有介紹，K-means聚類算法是在現(xiàn)實生活中應用十分廣泛的聚類算法，它是一種基于距離的聚類方法，具體描述見參考文獻。

3.1數(shù)據(jù)集描述

由于本實驗需要計算聚類準確率，以對算法的聚類效果進行分析，因此實驗中采用帶有屬性標簽的數(shù)據(jù)集。實驗中所用到的數(shù)據(jù)集的信息如表1所示，其中包含經(jīng)典的人工數(shù)據(jù)集和UCI上的真實數(shù)據(jù)集。這些數(shù)據(jù)集在屬性數(shù)量、類簇數(shù)量上有一定的區(qū)分度。

在進行聚類之前，先對數(shù)據(jù)進行預處理。使用本文第三章中提出的MIMR屬性約簡算法，對表1中的數(shù)據(jù)集進行屬性約簡，以剔除數(shù)據(jù)集中沒有用的列，減少數(shù)據(jù)集的規(guī)模。經(jīng)過屬性約簡后，得到表2所示的實驗數(shù)據(jù)集。

3.2評價指標

本文通過計算聚類結果的準確率（Accuracy），F(xiàn)-measure和互信息（NMI），來評價聚類結果的質量，通過算法迭代次數(shù)評價收斂速度。

聚類結果的準確率類定義如下：

（23）

其中，為數(shù)據(jù)集類簇的數(shù)量，表示正確分類到類中的樣本數(shù)量，為全體數(shù)據(jù)樣本。

F-measure又稱F-score：

（24）

其中，，表示屬于類簇但被錯誤分類到其它簇的樣本數(shù)量。當參數(shù)取1時，就是常見的F1值。

標準化互信息是描述變量之間相互依賴性大小的度量。

（25）

其中，和表示隨機變量，它們之間的互信息定義如下：

（26）

和分別表示X與Y的熵：

（27）

（28）

3.3實驗結果及分析

3.3.1??聚類效果比較

為了驗證本文提出的RS-SFC算法的有效性，將RS-SFC算法與模糊C均值算法和K-means聚類算法進行對比。為了評價算法的聚類效果，實驗對每個數(shù)據(jù)集在三個算法上取得的聚類結果的準確率、F1值和互信息進行了比較。每個算法在每個數(shù)據(jù)集上一共運行30次，最后取平均值。

（1）聚類準確率比較

表3是三種算法在數(shù)據(jù)集上取得的聚類結果準確率，每個表的最后一行是這8個數(shù)據(jù)集獲得的平均值。表中加黑的單元格數(shù)據(jù)表示這一行中的最 ?優(yōu)值。

從準確率的平均值來看，本文的RS-SFC算法在這8個數(shù)據(jù)集上取得的準確率最高，比K-means算法和模糊C均值算法都有明顯的提高。為了更直觀的比較三個算法的優(yōu)劣，將表3用折線圖進行展示，如圖2所示。

從單個數(shù)據(jù)集來看，K-MEANS聚類算法對于Dp1數(shù)據(jù)集的聚類結果最差，模糊C均值和RS-SFC算法在Dp1數(shù)據(jù)集上都取得了很高的聚類準確率;

對于wine數(shù)據(jù)集來說，K-means算法取得了最高的準確率，本文的RS-SFC算法雖然沒有取得最大值，但是比K-means算法的準確率僅低3.4%，并且仍然高于模糊C均值算法。在hepatitis數(shù)據(jù)集上，三個算法的準確率都不高，沒有超過80%。通過分析發(fā)現(xiàn)，hepatitis數(shù)據(jù)集是一個不平衡性數(shù)據(jù)集，準確率評價指標在數(shù)據(jù)劃分相對平衡的數(shù)據(jù)集上，能夠更好的說明聚類效果。在其他幾個數(shù)據(jù)集上，RS-SFC算法都能得到較高的準確率，尤其在類簇數(shù)量比較多的數(shù)據(jù)集上取得了不錯的表現(xiàn)，如glass數(shù)據(jù)集和Heart-disease數(shù)據(jù)集。綜上所述，RS-SFC算法的聚類準確率遠于其他兩個對比算法相比，具有明顯的優(yōu)勢。

（2）F1值比較

表4和圖3展示的三個算法聚類結果的F1值。在表4中，最后一行是對每一列數(shù)據(jù)求均值得到的平均數(shù)。表中加黑的單元格數(shù)據(jù)表示這三個算法在同一個數(shù)據(jù)集上取得的最優(yōu)值。F1值評價指標在評價聚類效果時更加全面，它不僅考慮了聚類結果的準確率，還考慮了召回率，因而能夠更好的描述不平衡數(shù)據(jù)的聚類效果。

由表4和圖3可發(fā)現(xiàn)，RS-SFC算法在數(shù)據(jù)集glass和heart-disease上得到的F1值要明顯的大于另外兩個算法，這個數(shù)據(jù)集的聚類數(shù)目分別是7和5，這說明RS-SFC算法在類簇數(shù)較多的數(shù)據(jù)集上也可以取得理想的效果。對于wine數(shù)據(jù)集來說，盡管K-means算法得到最高的F1值，但是在兩個軟聚類算法中，RS-SFC算法的F1值仍然高于模糊C均值算法。此外，在haberman數(shù)據(jù)集上，模糊C均值算法的F1值略高于其他兩個算法，但是相差不大。

整體上來看，RS-SFC算法在8個數(shù)據(jù)集上得到的平均F1值高于另外兩個算法，并且在四分之三的數(shù)據(jù)集中取得了最大值，這證明了RS-SFC算法的有效性和穩(wěn)定性。

（3）標準互信息比較

標準互信息（NMI）可以衡量兩個變量的之間的相關性，是一種常見的評價聚類效果的指標。在本章的實驗里，用標準互信息來衡量數(shù)據(jù)樣本的實際類別與聚類結果是否一致。

標準互信息的值域是（0，1），對于聚類算法來說，聚類效果越好，其值越接近于1，否則越接近0。圖4是根據(jù)表5所作的三個算法在8個數(shù)據(jù)集上得到的互信息折線圖。

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，RS-SFC算法求得的標準互信息的平均值要高于另外兩個算法。從單個數(shù)據(jù)集來看，在wine數(shù)據(jù)集上，與準確率和FI一樣，K-means算法的效果更好，但是在兩個軟聚類算法中，RS-SFC算法的標準互信息值較模糊C均值算法仍然有小幅度的提升。此外，在維度比較高的兩個數(shù)據(jù)集breast和Heart-disease上，本章的RS-SFC算法較另外兩個算法仍有較大幅度的提升。在其他數(shù)據(jù)集上，RS-SFC算法相對于另外兩個算法也有小幅度的提升。

綜合三個評價指標可以發(fā)現(xiàn)，本章提出的RS-SFC算法和模糊C均值算法在wine數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)較差，略遜色于K-means算法。這是由于K-means聚類算法屬于硬聚類算法，當一個數(shù)據(jù)集中，屬于同一個簇的數(shù)據(jù)樣本相似度很高，而屬于不同簇的數(shù)據(jù)樣本相似度明顯小的時候，這類算法具有明顯的優(yōu)勢。但對于噪聲樣本比較多、簇與簇之間邊界不清晰的數(shù)據(jù)集來說，RS-SFC算法則更加適用。另外，通過實驗可知，?RS-SFC算法在實驗中的大多數(shù)數(shù)據(jù)集上聚類效果都優(yōu)于對比算法，證明了RS-SFC算法的有效性。

3.3.2??迭代次數(shù)比較

在RS-SFC算法中，設置了一個抑制因子來加快算法的迭代速度。為了驗證該算法在收斂速度上是否有所提高，實驗中將RS-SFC算法和模糊C均值算法的最終迭代次數(shù)進行比較。實驗中為抑制因子設置了不同值，記錄了在不同的抑制因子下，RS-SFC算法和模糊C均值算法的迭代次數(shù)。

實驗結果如表6所示。

通過上表很明顯的可以看出，RS-SFC算法的迭代次數(shù)明顯少于模糊C均值聚類算法，且隨著抑制因子的增大，迭代次數(shù)也逐漸增多，驗證了RS-SFC算法在收斂速度上優(yōu)于模糊C均值算法。

4??結束語

本章首先介紹了模糊聚類的有關概念，對模糊C均值聚類算法的原理進行了解釋，描述了模糊C均值算法的算法步驟;然后將粗糙集理論引入到模糊C均值算法中，根據(jù)粗糙集理論中上、下近似集的思想，將模糊C均值算法中的聚類中心更新公式進行了改進，降低了簇邊緣噪聲數(shù)據(jù)對聚類效果影響，同時設置了一個抑制因子以提高算法的收斂速度，提出了一種基于粗糙集的抑制模糊聚類算法;最后通過實驗，在多個數(shù)據(jù)集上對RS-SFC算法進行了驗證。

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