（沈陽鼓風(fēng)機集團股份有限公司）

0 引言

振動水平是衡量壓縮機產(chǎn)品質(zhì)量的一個重要指標(biāo)。壓縮機的廠內(nèi)試車過程是檢驗壓縮機性能和質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)，同時也是產(chǎn)品交予用戶前的一道關(guān)鍵的安全保障。當(dāng)振動問題發(fā)生時，用戶及現(xiàn)場人員更加關(guān)注的是產(chǎn)品本身是否存在問題。聯(lián)軸器作為機組驅(qū)動機與被驅(qū)動機的連接/保護部件，一方面承擔(dān)扭矩傳遞的功能，一方面為轉(zhuǎn)子安全運行提供保護作用[1-8]。如果聯(lián)軸器固有頻率與機組本身的轉(zhuǎn)動頻率接近，就會引起機組的振動停車。國內(nèi)對于聯(lián)軸器的研究主要局限于具體產(chǎn)品的設(shè)計改進，多采用有限元法進行分析[9-12]，近年來對壓縮機用聯(lián)軸器動力學(xué)分析的理論研究也比較少見。

本文以一款聯(lián)軸器為案例入手，開展其動力學(xué)分析。通過參考梁的固有頻率理論計算方法[13-14]進行研究和計算，隨后針對實體簡化模型進行了有限元分析和相互比對驗證，最終給出聯(lián)軸器的固有頻率簡化計算方法以及適用范圍，以便于后續(xù)的工程應(yīng)用。

1 理論計算

以一款聯(lián)軸器（型號HS8370）案例入手，其結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)如圖1所示，聯(lián)軸器廠家提供的一階固有頻率為7 909rpm，長度2.374m，外徑φ0.24m，中段的長度與外徑比值為8.3（以下簡稱中段長徑比），中段長度為總長的83.8%，中段質(zhì)量為總質(zhì)量的64.9%。由圖1可知聯(lián)軸器主要由三個部分組成：驅(qū)動側(cè)（52kg）、中間段（192kg）、被驅(qū)動側(cè)（52kg）。其截面剛度也如此區(qū)分。則可將其力學(xué)模型簡化為如圖2的結(jié)構(gòu)形式。

圖1 聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structural diagram of the coupling

圖2 聯(lián)軸器理論計算簡化模型Fig.2 Simplified model of the coupling

根據(jù)簡化后的理論計算模型應(yīng)用結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論公式進行求解計算。其計算方法如下：

假定其驅(qū)動側(cè)、中間段、非驅(qū)動側(cè)的質(zhì)量分別為M1，M2，M3，在三個質(zhì)量等效位置處加載后的豎向變形分別為Y1，Y2，Y3，則根據(jù)柔度系數(shù)δij與變形關(guān)系可以獲得如下關(guān)系式：

其中（i=1，2，3）

其柔度系數(shù)δij可寫成矩陣形式：

假定變形Yi的通解為：

代入關(guān)系式（1），可以得到如下結(jié)果：

整理后可得關(guān)于Ai的三元一次方程組：

Ai有非零解，所以其方程組的系數(shù)行列式應(yīng)等于零：

對于聯(lián)軸器的簡化模型而言，質(zhì)量Mi是已知的，為求解系統(tǒng)固有頻率，則需要首先求解柔度系數(shù)δij，其求解方法可根據(jù)梁的撓度公式進行求解，單位力分別作用于不同的質(zhì)量點位置，分別計算在單位力作用下的不同質(zhì)量點位置的撓度（連接處變截面剛度需要考慮在內(nèi)）。

聯(lián)軸器的固有頻率理論計算過程中，突出需要解決的有兩個問題，一個為撓度矩陣的計算，一個為一元三次方程組的解法。

考慮變截面梁的撓度疊加問題，以圖3模型為例，其撓度產(chǎn)生主要為集中力產(chǎn)生的撓度和彎矩產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角，撓度采用懸臂梁公式的疊加方式，其中心處的撓度公式為：

圖3 梁撓度理論計算簡化模型Fig.3 Simplified model for the deflection's calculation

由此疊加法可以計算出撓度矩陣的各項值。而根據(jù)矩陣運算后會生成一個一元三次方程組，其解為結(jié)構(gòu)的固有頻率。而一元三次方程組的解法可根據(jù)卡丹公式獲得，其公式如下：

有：

經(jīng)計算本文中聯(lián)軸器的撓度系數(shù)矩陣結(jié)果如下：

將已知的Mi，δij代入關(guān)于Ai方程組的系數(shù)行列式，并假定，就可獲得關(guān)于X的一元三次方程組：

求得：

即求得固有角頻率ω：

計算獲得聯(lián)軸器的一階彎曲固有頻率為119.4Hz（7 162r/min）。

為考察理論計算的適用性，對該聯(lián)軸器開展有限元分析，進行固有頻率結(jié)果的比對工作。

2 有限元分析

首先根據(jù)聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)特點進行三維有限元建模與簡化，其簡化的結(jié)構(gòu)模型如圖4所示。將簡化后的三維實體模型導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS進行有限元模型的建立，以10節(jié)點4面體單元SOLID187為主，建立單元數(shù)為63 140、節(jié)點數(shù)117 918的有限元模型，如圖5所示。

圖4 三維分析用聯(lián)軸器模型Fig.4 Coupling model for 3D analysis

圖5 三維分析用有限元模型Fig.5 Finite element model for 3D analysis

針對聯(lián)軸器兩側(cè)的連接端面采用簡支的位移約束形式，采用BLOCK LANCZOS法對聯(lián)軸器有限元模型進行模態(tài)分析，獲得聯(lián)軸器的一階彎曲固有頻率為143.1Hz（8 586rpm）。其振型圖如圖6所示。

圖6 聯(lián)軸器一階彎曲振型圖Fig.6 First order bending mode shape of coupling

根據(jù)聯(lián)軸器圖紙所標(biāo)定的實測固有頻率，將聯(lián)軸器的理論計算和有限元分析獲得了聯(lián)軸器的一階彎曲固有頻率進行比對，計算結(jié)果比對如表1所示，由表1的對比可知，因模型簡化導(dǎo)致的有限元分析誤差也達到了8.6%，而理論計算的偏差為9.4%。一般在工程應(yīng)用中，動力學(xué)干涉評判的裕度選取10%到20%[15]，故此理論方法所計算得到的一階固有頻率，精度基本滿足工程需求。

為確定公式法的適用范圍，進一步的開展了多款聯(lián)軸器的應(yīng)用與結(jié)果的驗證。

表1 聯(lián)軸器計算結(jié)果比對Tab.1 Comparison of coupling calculation

3 公式法驗證

公式法在實際運用的過程中，需要輸入的參量主要包括：聯(lián)軸器簡化的三段質(zhì)量、質(zhì)心位置、三段截面內(nèi)外徑數(shù)據(jù)。

隨機選取額外11款聯(lián)軸器進行公式驗證和整理，其數(shù)據(jù)如表2所示。可以看出固有頻率的計算誤差與輸入?yún)?shù)的大體規(guī)律。

從表2數(shù)據(jù)以及圖7也可以看出，針對中段的長徑比大于3，中段的長度比總長大60%，且中段的質(zhì)量比總質(zhì)量大50%的聯(lián)軸器，理論計算能夠得到較低的偏差。滿足上述條件的聯(lián)軸器，理論計算結(jié)果偏差基本能控制在15%以內(nèi)?；究蓾M足固有頻率快速計算和現(xiàn)場問題排查的精度要求。

表2 聯(lián)軸器一階彎曲固有頻率計算結(jié)果Tab.2 Calculation results and error of coupling's first-order bending frequency

圖7 聯(lián)軸器理論計算誤差分布圖Fig.7 Calculation error distribution of coupling

針對聯(lián)軸器的一階彎曲固有頻率的理論計算，在AGMA 9104[15-16]中有相關(guān)的描述，其計算方法的簡化前提是等截面圓管，剛性支撐條件下的頻率計算。針對本文提及的12款聯(lián)軸器數(shù)據(jù)進行代入公式計算可以得到如表3的結(jié)果和對比。

表3 AGMA公式法計算結(jié)果Tab.3 Calculation results of AGMA formula method

其中，誤差定義為：

式中，F(xiàn)代表理論計算頻率；f代表實測頻率。產(chǎn)生誤差的根本原因在于理論計算過程中的質(zhì)量和剛性的簡化等效。本文的方法進一步的考慮聯(lián)軸器兩端的變截面屬性以及實際的質(zhì)量屬性，相比AGMA法的主要區(qū)別在于從單一質(zhì)量和剛度等效變?yōu)榉秩齻€區(qū)域進行剛度和質(zhì)量等效，故理論計算的誤差有所降低。

從表3可以看出，文中所提及的限定范圍內(nèi)的聯(lián)軸器，本文的方法能夠更好的預(yù)估聯(lián)軸器頻率，而范圍外的大部分聯(lián)軸器，文中方法與AGMA標(biāo)準(zhǔn)的計算結(jié)果相近。

4 結(jié)論

由以上計算過程和計算結(jié)果可得出以下結(jié)論：

1）通過理論計算得到的案例聯(lián)軸器的一階彎曲固有頻率偏差為9.4%；

2）針對中段的長徑比大于3，中段的長度比總長大60%，且中段的質(zhì)量比總質(zhì)量大50%的聯(lián)軸器，此理論計算方法能夠得到滿足工程應(yīng)用的精度需求；

3）提取聯(lián)軸器的關(guān)鍵幾何和質(zhì)量屬性數(shù)據(jù)，應(yīng)用此套理論方法，能夠快速得到限定條件下的聯(lián)軸器一階固有頻率。