☉上海市建平中學(xué) 李傳峰

2014 年3 月的《數(shù)學(xué)通報(bào)》在首篇位置刊登了汪曉勤教授的文章《“奇、偶函數(shù)”考源》，文中提到學(xué)生在學(xué)習(xí)“函數(shù)的奇偶性”概念時(shí)，總會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：為什么具有性質(zhì)f（-x）=f（x）的函數(shù)叫“偶函數(shù)”，具有性質(zhì)f（-x）=-f（x）的函數(shù)叫“奇函數(shù)”？汪曉勤老師把該問(wèn)題叫“歷史上的為什么”.作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，筆者頗有感觸，教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中通常更關(guān)注如何把數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)內(nèi)涵講透徹、講明白，而忽視數(shù)學(xué)概念最早是怎么形成的.這會(huì)造成學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中產(chǎn)生障礙和困惑.筆者以為，應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史，講清“歷史上的為什么”.

文［1］中考證了“奇、偶函數(shù)”概念最初源于冪函數(shù)f（x）=xn，當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)f（-x）=f（x），把這樣的函數(shù)叫偶函數(shù)；當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)f（-x）=-f（x），把這樣的函數(shù)叫奇函數(shù).后來(lái)，通過(guò)歷史的不斷演變，為了敘述簡(jiǎn)便，我們教材直接把在定義域上具有性質(zhì)f（-x）=f（x）的函數(shù)叫偶函數(shù)；在定義域上具有性質(zhì)f（-x）=-f（x）的函數(shù)叫奇函數(shù).這樣使“奇、偶函數(shù)”的名稱(chēng)與內(nèi)涵發(fā)生分離，從而造成以后學(xué)習(xí)者對(duì)概念名稱(chēng)來(lái)源的困惑.

基于此，筆者重新設(shè)計(jì)了“奇、偶函數(shù)”概念課的教學(xué)引入.

一、筆者的教學(xué)引入設(shè)計(jì)

（一）函數(shù)求值.

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

（四個(gè)學(xué)生在黑板上做）

（二）觀察求值結(jié)果，歸納函數(shù)特點(diǎn).

結(jié)論1：函數(shù)（1）、（3）有f（-x）=f（x）；函數(shù)（2）、（4）有f（-x）=-f（x）.

（三）推廣1：（1）函數(shù)f（x）=x2n（n∈Z）對(duì)定義域內(nèi)任意的x 滿足f（-x）=f（x）；

（2）函數(shù)f（x）=x2n+1（n∈Z）對(duì)定義域內(nèi)任意的x 滿足f（-x）=-f（x）.

（四）結(jié)論2：（1）把函數(shù)f（x）=x2n（n∈Z）稱(chēng)為偶函數(shù)；

（2）把函數(shù)f（x）=x2n+1（n∈Z）稱(chēng)為奇函數(shù).

（五）把（一）中有關(guān)函數(shù)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在坐標(biāo)系中畫(huà)出來(lái).

（六）畫(huà)下列函數(shù)的圖像：

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

圖1

（七）結(jié)論3：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

（八）推廣2：凡是圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)都稱(chēng)為偶函數(shù)；凡是圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)都稱(chēng)為奇函數(shù).

…

筆者放棄了使用多媒體設(shè)備，以傳統(tǒng)的粉筆、黑板為主陣地，通過(guò)學(xué)生計(jì)算、描點(diǎn)、畫(huà)圖等活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中自然地獲得概念的產(chǎn)生、發(fā)展與形成.

從課后對(duì)學(xué)生的訪談和測(cè)試成績(jī)來(lái)看，學(xué)生對(duì)“函數(shù)的奇偶性”概念的認(rèn)識(shí)是深刻的、本質(zhì)的，沒(méi)有學(xué)生再問(wèn)那個(gè)“為什么”.由于跳出了高度抽象化的“函數(shù)的奇偶性”概念表述，因此，學(xué)生對(duì)y=x5、y=x6、y=x-x3、y=x2+x4等類(lèi)型函數(shù)的奇偶性判定有很好的直覺(jué)效果.甚至到后面學(xué)習(xí)更復(fù)雜的復(fù)合型函數(shù)奇偶性時(shí)，學(xué)生由于了解“函數(shù)的奇偶性”概念由來(lái)的“歷史上的為什么”，也可以比較輕松的理解和運(yùn)用.

需要說(shuō)明的是，由于在本節(jié)概念課的設(shè)計(jì)中“奇、偶函數(shù)”概念的內(nèi)涵是通過(guò)兩個(gè)階段逐漸給出的，從而拉長(zhǎng)了概念引入的時(shí)間.為了增加課堂教學(xué)的思維容量，該課堂引入中涉及的函數(shù)均是一題多用.

（1）以這些函數(shù)復(fù)習(xí)冪函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做好知識(shí)鋪墊；（2）自然引出“奇、偶函數(shù)”概念的歷史來(lái)源；（3）后面作為例題起到板書(shū)示范的功能；（4）也作為練習(xí)起到熟悉概念和鞏固概念的功能.

這樣，把引入部分的具體函數(shù)既作為引入背景，又作為例題和練習(xí)來(lái)鞏固概念，從而提高了課堂效率．

二、對(duì)教學(xué)實(shí)踐的體會(huì)

為什么學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)后有較好的學(xué)習(xí)效果？筆者以為，該教學(xué)引入的設(shè)計(jì)有利于呈現(xiàn)“奇、偶函數(shù)”概念的本質(zhì)屬性.

“奇、偶函數(shù)”概念的本質(zhì)屬性有兩個(gè)側(cè)面：“形”的特征和“數(shù)”的表示.前者表現(xiàn)為圖形特征的描述，即關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)（或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）；后者表現(xiàn)為函數(shù)性質(zhì)的形式化表示，即f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））.函數(shù)奇偶性的形式化實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念抽象性的特征，因而具有一定的難度.筆者設(shè)計(jì)了函數(shù)求值作為教學(xué)起點(diǎn)，這樣比用函數(shù)圖像引入更有利于學(xué)生從具體函數(shù)中歸納和抽象一般的代數(shù)形式的性質(zhì)結(jié)論.另外，筆者以為，函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)內(nèi)在的固有的規(guī)律，函數(shù)圖像是函數(shù)性質(zhì)的外在顯現(xiàn)，通過(guò)函數(shù)圖像歸納性質(zhì)固然是直觀性更好一點(diǎn)，但由于課堂教學(xué)中函數(shù)圖像的獲得正是運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)結(jié)合描點(diǎn)法得到的，這樣，通過(guò)圖像發(fā)現(xiàn)性質(zhì)就有點(diǎn)陷入循環(huán)論證的嫌疑.所以，筆者通過(guò)函數(shù)求值，把函數(shù)值外顯到坐標(biāo)系中，再通過(guò)圖像印證性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到形，再由形到數(shù)，力圖使概念抽象的過(guò)程更自然，使學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的把握更深刻全面.

三、對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的反思

當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀是：一方面，由于許多老師對(duì)數(shù)學(xué)概念存在“不準(zhǔn)”、“不精”、“不簡(jiǎn)”的問(wèn)題，同時(shí)受“應(yīng)試教育”的影響，對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)不重視，造成數(shù)學(xué)概念教學(xué)搞“一個(gè)定義，三個(gè)注意”.另一方面，部分重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)的老師只在如何理解概念的內(nèi)涵、本質(zhì)屬性、數(shù)學(xué)推理上下功夫，忽視了數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，忽視了數(shù)學(xué)概念的歷史演變.基于此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，恰當(dāng)引入數(shù)學(xué)史，同時(shí)考慮數(shù)學(xué)史實(shí)和概念本質(zhì)屬性兩方面因素來(lái)設(shè)計(jì)概念教學(xué)的過(guò)程，使學(xué)生自然地、水到渠成地實(shí)現(xiàn)“概念的形成”，不僅可以解決數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“邏輯上的為什么”，還可以解決“歷史上的為什么”.