☉江蘇省南通中學(xué) 陸王華

學(xué)生解題時一般都會順著某個方向?qū)栴}展開探索，事物之間的雙向性與可逆性往往被學(xué)生輕易拋諸腦后，解題思維自然會遇到重重波折.因此，教師在實際教學(xué)中應(yīng)有意識地對學(xué)生進行逆向思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生學(xué)會理順知識的內(nèi)在聯(lián)系，并因此使其加深對數(shù)學(xué)定義、定理、公式的理解，這對于學(xué)生的順利解題、知識鞏固來說大有裨益.

一、逆向思維的內(nèi)涵

從問題的反面或否定方面對問題進行思考繼而獲得解題方法的思路稱作逆向思維，很多不易解決的問題在運用逆向思維求解時往往會獲得意想不到的效果.這種和正向思維相反的創(chuàng)新型思維打破了常規(guī)的思維程序，從正向思維推理的相反方向?qū)栴}展開全新思維的分析繼而獲得解題.

逆向思維通常可以分為缺點型逆向思維、轉(zhuǎn)換型逆向思維和反轉(zhuǎn)型逆向思維這三種方法，具備異常性、普遍性、新穎性等顯著特點的逆向思維在解題中的運用往往能起到很好的作用與影響.

教師在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的實際教學(xué)中，首先應(yīng)全面掌握其類型與特點并因此為后續(xù)的具體應(yīng)用奠定基礎(chǔ).總之，從不同角度探析問題并將逆向思維與具體問題結(jié)合起來，往往能有效打破習(xí)慣性思維并順利獲得解題的突破，這對于提升學(xué)生的解題能力來說具有積極的意義.事實上，逆向思維在解題中的運用還能幫助學(xué)生更加深入地理解知識并掌握相關(guān)規(guī)律，使學(xué)生的原有思維得到創(chuàng)新并因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得更好的學(xué)習(xí)效果.

二、逆向思維的重要價值

根據(jù)思維過程的指向性可將思維分為正向思維與逆向思維兩種形式，正向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的運用雖然能夠取得很好的效果，但一味強調(diào)學(xué)生的正向數(shù)學(xué)思維，往往會令學(xué)生陷入思維的僵局并在特殊問題面前束手無策.因此，逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的運用也是相當(dāng)重要的，教師應(yīng)在具體教學(xué)中積極調(diào)動學(xué)生分析問題、解決問題的積極性并使其創(chuàng)新能力、逆向思維能力獲得提升，為數(shù)學(xué)解題增加更多的有效思維方向與途徑.

三、培養(yǎng)逆向思維的方式

1.公式的逆用

很多學(xué)生記憶數(shù)學(xué)公式的順向形式往往會得心應(yīng)手，但面對公式的逆向形式卻感覺記憶倍加困難，運用起來也就更加生澀了.因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力時首先可以著眼于公式的逆用，幫助學(xué)生學(xué)會逆用公式以提升其逆向思維能力.

例1已知，試求的值.

分析：三角式中的分母是sinα、cosα 的二次齊次式，分子為1，逆用公式sin2α+cos2α=1，將分子升冪成二次齊次式并將分子、分母同除以cos2α可得

2.公式、不等式的逆向證明

很多學(xué)生在證明等式或不等式時往往習(xí)慣于從左到右進行思考，但實際上，很多問題在自右向左的證明中體現(xiàn)出更加簡捷的思維與方法.

例2設(shè)x、y∈R，求證

分析：證明本題的方法不只一種，不過在利用|x+y|≤|x|+|y|并自右向左進行證明時，簡捷的思路令人耳目一新.

證明：若|x+y|=0，則所要證明的不等式成立是明顯的事實.

若|x+y|≠0，則：

3.由簡到繁的證明

很多證明題的推導(dǎo)過程都是由繁至簡的，但有些個別問題的證明在由簡到繁的證明中卻更顯簡捷性.

例3求證sin2α·tanα+cos2α·cotα+2sinα·cosα=tanα+cotα.

分析：運用由繁至簡的原則對此題進行從左到右的證明也是可行的，但從簡到繁地對此題進行證明卻更加別致而快捷.

4.分子有理化

很多學(xué)生因為思維定勢的原因只明白需要將分母有理化，但實際上，對分子有理化也是解決有些問題經(jīng)常會用到的獨特方法.

例4試求函數(shù)的值域.

分析：運用三角替換也可以求得該函數(shù)的值域，但相對復(fù)雜，如果聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性并將分子有理化則會令求解更為簡便.

解：當(dāng)x≤-2 時，y 是x 的增函數(shù)，所以y≤-2；

5.反面思考法

有些問題從正面思考往往會顯得復(fù)雜，但如果從反面進行思考會獲得令人耳目一新的簡捷方法.

例5某班共有學(xué)生45 名，如果將每位學(xué)生在一年365 天中任意一天出生的概率看作一樣，則該班至少有2 位學(xué)生生日相同的概率是多少？

解析：從正面對此題進行分析，需要考慮恰巧有2人、3 人、4 人…直到45 人生日都相同的情況，麻煩自不必說.但如果從反面展開思考，利用45 名學(xué)生中任兩人生日均不相同的可能情況來解題，題目就會簡單很多，任意兩人生日均不相同的概率為，則所求概率為

6.反證法

從正面直接證明相對困難時不妨試試反證法.

例6求證：方程x2-2019x+2021=0 不存在整數(shù)解.

分析：運用求根公式來證明此題雖然可行，但過程太過繁雜，顯然是不可取的.因此，不妨運用逆向思維，從反面對此題進行證明.

證明：設(shè)原方程存在整數(shù)根，因為Δ＞0，因此方程存在相異實根x1、x2，則：

由①可知，x1、x2不可能存在一個是整數(shù)根、一個是非整數(shù)根的情況.再根據(jù)②可知，x1、x2一定均為奇數(shù)，和①明顯矛盾了.

所以，該方程是不存在整數(shù)根的.

7.分析法

解題時應(yīng)盡量探索正確的解題方向，這也是解題的出路，因此，充分利用問題結(jié)論的指向作用并進行逆向思考，往往會令解題者從結(jié)論上分析獲得解題的方向.

例7求證

分析1：分析法并將分子進行有理化，即可得出：

分析2：分析法并結(jié)合移項、兩邊平方、化簡，可得：

所以原不等式成立.

總之，教師引導(dǎo)學(xué)生借助全新的視角對問題展開分析，引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)進行逆向思考，以及問題的分析與處理，幫助學(xué)生打破習(xí)慣性的思維定式并獲得更加靈活有效的解題方法，是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的有效思路與舉措，教師對學(xué)生逆向思維的關(guān)注與培養(yǎng)能使其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)得到有力的提升.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)牢牢把握高中學(xué)生思維發(fā)展的上升與成熟階段加強學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生在深入理解、分析數(shù)學(xué)知識的過程中對知識形成全面的理解，有效拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路，并使其掌握不同角度、方向進行問題分析與處理的方法，以促進學(xué)生逆向思維能力的提升.