☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 姚振飛

集算理、算法、計(jì)算、推理、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法于一體的運(yùn)算能力對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)都是極為關(guān)鍵的，但很多高中生對(duì)運(yùn)算能力的忽視導(dǎo)致其運(yùn)算能力低下并最終影響到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體效果.教師應(yīng)該能夠注意到運(yùn)算能力對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要影響，并在實(shí)際教學(xué)中關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的訓(xùn)練.

一、運(yùn)算能力的涵義和層次

運(yùn)算能力這一綜合性能力是不可能獨(dú)立于其他能力而獨(dú)立存在與發(fā)展的，和記憶能力、理解能力、表達(dá)能力、邏輯推理能力、解題能力相互滲透與支持的運(yùn)算能力在發(fā)展上應(yīng)與其他能力同步進(jìn)行，教師應(yīng)充分關(guān)注到這一點(diǎn)，并在教學(xué)中恰當(dāng)滲透培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的教學(xué)以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)步.

運(yùn)算能力其實(shí)包含著很多方面的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)算理、公式、法則的記憶、理解和正確運(yùn)用是運(yùn)算能力的最基本的內(nèi)容，對(duì)數(shù)、式、方程、映射、向量等進(jìn)行運(yùn)算與變形屬于更高層次的運(yùn)算，除此以外，尋求并設(shè)計(jì)合理而簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑、估算或近似計(jì)算及數(shù)據(jù)處理、思維能力與思想方法在運(yùn)算中的滲透、運(yùn)算品質(zhì)與心理素質(zhì)、運(yùn)算速度等都是包含在運(yùn)算能力范疇內(nèi)的內(nèi)容.

運(yùn)算能力具有一定的層次性，理解、記憶及運(yùn)用算理、公式和法則是屬于最低層次；掌握數(shù)、式、方程、映射、向量的運(yùn)算、變形的基本技能屬于運(yùn)算能力三個(gè)層次中的第二層次；計(jì)算中發(fā)揮思維作用并尋求、設(shè)計(jì)合理而簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，具備較高的運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率及穩(wěn)定的心理素質(zhì)則屬于最高層次.

由此可見(jiàn)，運(yùn)算能力是從低層次向高層次發(fā)展的，教師在學(xué)生的運(yùn)算能力訓(xùn)練中應(yīng)著眼于基礎(chǔ)，縱觀全局并結(jié)合知識(shí)水平與其他能力的發(fā)展進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，使學(xué)生能夠在循序漸進(jìn)的反復(fù)訓(xùn)練中獲得各層次的運(yùn)算能力的發(fā)展.

二、培養(yǎng)途徑

對(duì)運(yùn)算能力的發(fā)展過(guò)程進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的途徑主要有以下三個(gè)方面：

1.在算理、公式、法則的理解、記憶和運(yùn)用上進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)和訓(xùn)練

充分認(rèn)識(shí)、理解算理和法則是提升學(xué)生運(yùn)算能力中最基本的一個(gè)步驟，因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力上首先應(yīng)關(guān)注到以下兩點(diǎn)：

第一，提出公式、例示運(yùn)用的教學(xué)模式在算理、公式、法則的理解與記憶教學(xué)中并不具備特別的價(jià)值，重視算理、公式、法則的形成過(guò)程并引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)其本質(zhì)能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上產(chǎn)生牢固的記憶.

例1試求（1-2x+3x2）6展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù).

分析：如果運(yùn)用二項(xiàng)式定理和通項(xiàng)公式對(duì)此題進(jìn)行直接求解將會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)煩瑣的運(yùn)算過(guò)程，但如果能夠領(lǐng)會(huì)并運(yùn)用組合原理來(lái)求解x5項(xiàng)的系數(shù)則會(huì)簡(jiǎn)捷許多.

解：展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)有（-2x）5，（-2x）3·（3x2），（-2x）·（3x2）2這三種類(lèi)型.根據(jù)組合原理，展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)為因此（1-2x+3x2）6展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù)為-2712.

第二，引導(dǎo)學(xué)生在靈活運(yùn)用算理、公式、法則中加深理解與記憶.比如：

教師在實(shí)際教學(xué)中重視此類(lèi)運(yùn)算的訓(xùn)練才能令學(xué)生對(duì)兩角和與差的公式產(chǎn)生更好的理解與記憶.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

運(yùn)算能力發(fā)展成為運(yùn)算基本方法與技能意味著運(yùn)算能力已經(jīng)發(fā)展到了中級(jí)水平，這一過(guò)程隱含著數(shù)學(xué)思想方法所起到的積極意義與作用，等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合就是這一過(guò)程中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想方法.

教師應(yīng)該能夠關(guān)注到轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)算中的具體體現(xiàn)形式并幫助學(xué)生獲得切實(shí)的掌握，一般來(lái)講，其中重要的技能有下述幾種.

（1）配湊（配方）變形.

例2求tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值.

解析：將原式變形為：

從此題的求解過(guò)程可以看出，配湊（配方）變形在解題中起到了特別重要的作用.

（2）適當(dāng)換元.

例3求函數(shù)的值域.

解析：令，則x-1=t2（t≥0），故y=t2-2t+4=（t-1）2+3，因此函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）.

（3）整體代換.

例4已知等比數(shù)列{an}，若公比q≠±1，S10=8.試求的值.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決一些運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)運(yùn)算式中的幾何意義進(jìn)行充分的挖掘.

例5若實(shí)數(shù)x，y 滿(mǎn)足x2+y2-2x-4=0，則u=2x+y 的最大值為多少？

解析：對(duì)此題的幾何意義進(jìn)行充分挖掘，可知x2+y2-2x-4=0 表示圓心為（1，0）、半徑為的圓，u=2x+y 即2x+y-u=0 表示斜率是-2 的直線(xiàn)，而且圓與直線(xiàn)存在公共點(diǎn)，則圓心至直線(xiàn)的距離應(yīng)滿(mǎn)足，即|u-2|≤5，解得-3≤u≤7.故umax=7.

3.突出“思維”的作用

為了培養(yǎng)出學(xué)生又快又準(zhǔn)的運(yùn)算能力，教師還應(yīng)在運(yùn)算途徑上進(jìn)行設(shè)計(jì)，運(yùn)算途徑的探尋是建立在思維活動(dòng)的基礎(chǔ)上的，因此，教師首先應(yīng)突出思維活動(dòng)在運(yùn)算中的價(jià)值與意義并引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中養(yǎng)成探求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑的意識(shí)和習(xí)慣.

例6試求函數(shù)的值域.

分析：常用的求值域的方法在此題的求解中顯然都是不可行的，因此，教師在此題的教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，對(duì)有效的解題途徑進(jìn)行思考與探求.

思路1：聯(lián)想斜率，則可看成點(diǎn)（2，-1）和圓x2+y2=1 上的點(diǎn)（cosx，sinx）連線(xiàn)的斜率，然后在數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用下進(jìn)行解題，此題得以求解，雖令人欣喜，但以下方法卻在解題思路上表現(xiàn)得更加簡(jiǎn)捷.

思路2：由的形式聯(lián)想asinx+bcosx=sin（x+θ），則有ycosx-sinx=2y+1，可得·sin（x+θ）=2y+1，即，則有即（2y+1）2≤y2+1，解得因此函數(shù)的值域?yàn)?/p>

例7直線(xiàn)l：3x-y+4=0 和圓D：x2+y2+2x=0 相交于點(diǎn)A 和點(diǎn)B，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△ABO 的面積.

分析：如圖1，若根據(jù)常規(guī)思路來(lái)解決此題，一般都會(huì)先求|AB|的長(zhǎng)，再求點(diǎn)O 到AB 的距離，最后再求出△ABO 的面積.常規(guī)思路雖然一樣能令此題得解，但運(yùn)算對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)卻存在不小的難度.我們不妨換一種解題思路，設(shè)l 與y 軸相交于C點(diǎn)，則S△ABO=S△ACO-S△BCO，如此求解顯然簡(jiǎn)便很多.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)l和y軸相交于點(diǎn)C（0，4）.

圖1

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)離不開(kāi)運(yùn)算的效率、合理、靈活、簡(jiǎn)捷、正確等多方面的支撐.因此，教師首先應(yīng)在思想上重視學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，并在教學(xué)中進(jìn)行針對(duì)性的引導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣及驗(yàn)算習(xí)慣，使學(xué)生能夠在充分理解記憶公式、法則的基礎(chǔ)上獲得有意義的訓(xùn)練.同時(shí)，教師還應(yīng)關(guān)注到運(yùn)算能力與數(shù)學(xué)其他能力之間的聯(lián)系與滲透關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算面前開(kāi)展積極的思維，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法尋求更加合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法，只有這樣，學(xué)生才能在針對(duì)性的訓(xùn)練中獲得數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的不斷提升.