蘇 強，楊 微，王秋根

(1.同濟大學經(jīng)濟與管理學院，上海 201804；2.深圳大學管理學院，廣東 深圳 518060；3.上海市第一人民醫(yī)院創(chuàng)傷中心，上海 201620)

1 引言

急救醫(yī)學上，緊急事件發(fā)生后的十分鐘稱為急救白金十分鐘，十分鐘內(nèi)患者如果能夠得到有效的醫(yī)療處理，將大大提高患者的生存率。這就要求救護車應(yīng)盡快到達患者處，及時展開救治。為達到這一目的，有效地規(guī)劃急救站點布局是較為關(guān)鍵的[1]。在急救站選址問題研究上，學者們主要借鑒商業(yè)生產(chǎn)、軍事等領(lǐng)域的方法，如p—中心模型，p—中位模型、覆蓋模型等，然而急救站選址問題與其他選址問題相比，側(cè)重點略有不同，就是在注重效率、成本的同時，需要更加關(guān)注選址方案在實際應(yīng)用中的有效性、可靠性[2]。

近20年來，研究者們開始逐漸關(guān)注隨機因素影響下的急救站選址問題。Beraldi 和 Bruni[3]在其研究中闡述了建立穩(wěn)定、可靠的急救網(wǎng)絡(luò)的重要性，指出EMS系統(tǒng)運行于一個充滿隨機性的環(huán)境中，包括需求數(shù)量的隨機性、需求發(fā)生地址的隨機性、車輛行駛時間的隨機性等。這些隨機性的存在會顯著影響急救站點規(guī)劃的有效性。

現(xiàn)有研究主要探討需求數(shù)量隨機性和車輛行駛時間隨機性的影響，而針對急救需求發(fā)生的具體空間位置，相關(guān)的研究卻還不夠深入。主要原因之一是救護車配置方面的研究往往是在圖論(Graph Theory)方法基礎(chǔ)上進行的。研究者們通常將空間散布、隨時隨地可能發(fā)生的需求抽象為圖上的若干代表性的點，認為急救站覆蓋了該點即為覆蓋了整個區(qū)域，實際上，這樣處理存在較大的誤差，往往有較大一部分需求并未被真正覆蓋，尤其是在需求區(qū)域面積較大的情況下。雖然近期有研究將整個空間盡量細化成密集的矩形網(wǎng)格系統(tǒng)，仍然不能有效降低需求空間隨機分布的影響。一方面這種方法大大增加了計算量，使得原本復雜的問題更加復雜；同時每一個網(wǎng)格中的需求較為稀疏，受誤差影響很大，較難統(tǒng)計其數(shù)量和位置的分布規(guī)律，有的網(wǎng)格甚至幾個月都沒有需求產(chǎn)生，而且位于邊角處的網(wǎng)格也需要滿足覆蓋水平的約束，往往需要配置更多的資源；另一方面，對于爭分奪秒的救護車而言，每一個小矩形仍然是一個較大的區(qū)域，即便是邊長2km的小網(wǎng)格，以城市車速40km/h計算，行駛整個網(wǎng)格也要約3分鐘的時間，而3分鐘對于急救響應(yīng)時間而言，是難以忽視的。而如果選取面積稍大的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格中需求的空間分布也是難以刻畫的，因為網(wǎng)格是人為劃分的，在一個特定的矩形區(qū)域內(nèi)，雖然可以應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法來擬合其內(nèi)部復雜的需求分布情況，但很難保證擬合出來的分布能夠在長時間內(nèi)仍然保持穩(wěn)定。

本研究創(chuàng)新性地將高斯混合模型 (GMM，Gaussian Mixed Model)聚類方法應(yīng)用于急救需求空間隨機性的刻畫上，將大量空間隨機分布的急救需求分解為多組高斯分布的混合，從而解決了急救需求分布復雜、難以描述的問題。提出了從現(xiàn)實數(shù)據(jù)出發(fā)，重新聚類并劃分需求區(qū)域的理念，首先應(yīng)用上海市松江區(qū)2013年全年急救數(shù)據(jù)進行聚類分析，將聚類結(jié)果作為選址規(guī)劃模型的輸入，建立了考慮空間隨機需求的機會約束規(guī)劃模型，最后應(yīng)用松江區(qū)2014年全年急救數(shù)據(jù)對選址方法的實用性進行了驗證。

2 模型分析與假設(shè)

選址問題研究中，覆蓋模型是最重要的模型之一。第一個急救資源選址覆蓋模型是由Toregas等[4]提出的選址集合覆蓋問題(Location Set Covering Problem)，其目標是用最少的站點覆蓋規(guī)劃空間內(nèi)所有的需求。然而由于資源稀缺性的限制，全覆蓋在現(xiàn)實中往往是很難實現(xiàn)的。鑒于此，Church和ReVelle[5]提出了一個最大覆蓋選址問題(Maximal Covering Location Problem)，模型的目標是在給定有限數(shù)量的站點的情況下，最大化需求的覆蓋水平。上述兩種模型中，如某個站點只有一輛救護車，且處于執(zhí)行急救服務(wù)任務(wù)過程中，則之前認為被該站點覆蓋的需求將不再被覆蓋，即出現(xiàn)“偽覆蓋”的情況。為減小“偽覆蓋”現(xiàn)象對急救系統(tǒng)的影響，Gendreau等[6]提出了雙覆蓋模型(Double Standard Model)，假設(shè)每個站點有大、小兩個覆蓋半徑標準，該模型保證選取的站點在較大的覆蓋半徑情況下覆蓋所有需求點，同時最大化被較小半徑覆蓋至少兩次的需求數(shù)量，從而實現(xiàn)站點之間的聯(lián)動，減少“偽覆蓋”現(xiàn)象的產(chǎn)生。本文提出的選址模型假設(shè)站點有大小兩個覆蓋半徑，其理念思想與雙覆蓋模型較為類似。近年來研究者們不斷對雙覆蓋模型進行拓展，來解決更復雜的選址問題。例如Liu Yi等[7]改進了傳統(tǒng)的雙覆蓋模型，探討了具有一般生命支持系統(tǒng)和高級生命支持系統(tǒng)兩類救護車的選址問題。Dibene等[8]考慮了不同的時間段急救需求的數(shù)量變化情況，開發(fā)了一個考慮不同時段需求情況的雙覆蓋選址模型。Liu Ming等[9]提出了一個新的雙覆蓋模型選址模型，其模型認為，急救站選址不僅要考慮救護車從急救站到現(xiàn)場的過程，同時還應(yīng)考慮救護車從現(xiàn)場到醫(yī)院的轉(zhuǎn)運過程。

在上述經(jīng)典的覆蓋模型基礎(chǔ)上，近年來研究者們開始關(guān)注隨機環(huán)境下的救護車配置問題，Beraldi等[3]闡述了建立穩(wěn)定急救網(wǎng)絡(luò)的重要性，在其研究中考慮了需求數(shù)量的隨機性，建立了相應(yīng)隨機規(guī)劃模型。張玲等[10]建立了魯棒優(yōu)化模型，研究了需求數(shù)量不確定情況下救災(zāi)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建問題。Torres等[11]將粗糙集相關(guān)方法應(yīng)用于雙覆蓋選址模型中，考慮了救護車行駛速度的隨機性，探討了急救站的最大覆蓋問題。更多引入隨機性的救護車運營問題的研究可以參考Aringhieri等[12]和Li Xueping等[13]的綜述文章。

除了上述隨機因素，急救需求的空間隨機性影響也是近年來一個熱點的研究問題。Wei Ran[14]指出現(xiàn)有的覆蓋模型由于使用了“覆蓋—未覆蓋”的假設(shè)，可能不適用于存在空間隨機需求的問題上。即便近年來提出的部分覆蓋模型也只是考慮了覆蓋水平隨距離的增加而降低，而并沒有考慮在某一區(qū)域內(nèi)需求的具體空間分布形式。Altnel等[15]考慮了一個多工廠的韋伯選址問題，假設(shè)在一個需求區(qū)域內(nèi)需求在空間上服從簡單的二項分布形式，然而在一個給定的區(qū)域內(nèi)需求的空間分布往往較為復雜，簡單認為服從二項分布會造成較大的誤差。Beraldi和Bruni[16]提出了一個概率模型來優(yōu)化急救站點選址，然而在研究中只是通過一個隨機參數(shù)來簡單描述需求可能被覆蓋的情況，沒有詳細探討空間隨機性的具體分布影響。Degel等[17]采用網(wǎng)格系統(tǒng)的方法將空間分散的急救需求劃分為若干網(wǎng)格，分別對網(wǎng)格中的需求數(shù)量進行探討，進而解決考慮空間隨機性影響的救護車配置問題。Chen等[18]將網(wǎng)格系統(tǒng)和GIS系統(tǒng)結(jié)合，從而較為精確的分析網(wǎng)格內(nèi)的空間分布情況。然而網(wǎng)格系統(tǒng)也存在明顯的缺陷，一個網(wǎng)格沒有任何具體的物理意義，不是醫(yī)院、社區(qū)或事故高發(fā)區(qū)，因此需求分布的規(guī)律較難獲得，即便找到網(wǎng)格內(nèi)的分布情況，也難以保證分布的穩(wěn)定性。樊博[19]應(yīng)用k-means聚類算法來解決應(yīng)急設(shè)施選址問題，認為應(yīng)將應(yīng)急設(shè)施建于聚類質(zhì)心點處，但k-means聚類得到的并不是能夠揭示空間隨機性規(guī)律的概率分布，而只是對現(xiàn)有數(shù)據(jù)的一種關(guān)系描述，因此獲得的選址方案并不能確保在長期內(nèi)仍然有效。而且對于急救站點選址問題，聚類質(zhì)心點處往往不一定存在醫(yī)院或急救中心，而新建急救中心的成本往往是很高的。

較為準確地描述急救需求的空間分布，是解決空間隨機需求影響下的選址問題的基礎(chǔ)，在相關(guān)研究中，主要是從統(tǒng)計學的角度對每個區(qū)域的需求進行描述和估算。半?yún)?shù)貝葉斯混合模型經(jīng)常被用于解釋急救需求空間密度的不均勻性。如Kottas和Sanso[20]應(yīng)用二元Beta混合分布來對空間中散布點的分布形式進行描述。與其類似，Ji Chunlin等[21]應(yīng)用高斯混合模型進行了空間點過程的定量描述。Zhou Zhengyi等[22]將其拓展到多時段急救需求的空間分布描述中。由于上述研究主要關(guān)注急救需求空間分布的統(tǒng)計意義，大多是用混合模型的方法來描述急救需求的空間分布規(guī)律。但混合模型的各個組分在空間上存在重疊和交叉的情況，且每一組分空間跨越度可能較大，空間距離非常遠的兩個需求也可能來自于同一個組分，從而導致獲得的結(jié)果難以應(yīng)用到救護車配置或指派相關(guān)的問題上。

綜上所述，在急救站點選址問題研究中，對需求空間分布隨機性的影響探討尚不夠深入，現(xiàn)有的空間隨機性描述方法難以為救護車配置研究提供有力的幫助。需要一種空間分布描述方法，既能夠?qū)崿F(xiàn)對需求分布的準確描述，又能將其描述結(jié)果方便地應(yīng)用于配置優(yōu)化模型。

3 基于高斯混合模型的需求空間分布描述

本文從現(xiàn)實數(shù)據(jù)出發(fā)，通過對上海市松江區(qū)急救需求數(shù)據(jù)進行分析，來獲取急救需求的空間分布規(guī)律。急救需求在城市、街道、村鎮(zhèn)內(nèi)隨機地發(fā)生，其地理位置體現(xiàn)出較強的隨機性，圖1中顯示了上海市松江區(qū)2013和2014年急救需求的地理分布情況，黑色的點代表發(fā)生的急救需求，H表示急救站點的布局。通過對數(shù)據(jù)進行初步分析可以發(fā)現(xiàn)，急救需求的分布呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，在城鎮(zhèn)或街道的中心、一些特定的路段、事故的高發(fā)區(qū)，急救需求較為密集。另外，一些社區(qū)、醫(yī)院、養(yǎng)老院等人口老齡化比較嚴重，急救需求也較為集中。而在周邊一些地區(qū)，急救需求較為分散，發(fā)生頻率較低。

圖1 上海市松江區(qū)2013、2014年急救需求空間分布圖

以往研究常用行政區(qū)域來劃分急救需求，如一個村鎮(zhèn)、街道代表一個需求點，但這種劃分方法存在明顯的弊端。首先每一個行政區(qū)域的面積一般較大，受需求空間分布隨機性的影響更加顯著；其次，行政區(qū)域是人為劃分的，很難在其中找出需求空間分布的規(guī)律。通過上述分析得出，用行政區(qū)域來劃分需求給問題的解決造成了不必要的麻煩。急救系統(tǒng)在一定程度上并不依賴行政區(qū)域，因此本研究突破行政區(qū)域思想的束縛，采用高斯混合模型聚類方法來刻畫需求的分布情況，將整個規(guī)劃區(qū)域重新聚類為若干服從高斯分布的需求區(qū)域。

3.1 應(yīng)用高斯混合模型聚類的合理性

本研究用高斯混合模型聚類方法來分析急救需求空間分布的主要依據(jù)是：

(1)任何復雜的分布形式都可以用多個高斯分布的混合來近似[23]。急救需求在一個村鎮(zhèn)的中心可能較為集中，但同時在村鎮(zhèn)的某些街道上，急救需求的分布又看似獨立于其他地區(qū)，高斯混合模型可以將這些復雜的分布形式分解為多個簡單高斯分布的混合，從而解決需求分布隨機性的定量描述問題[24]。當預(yù)測一個需求發(fā)生時，可以根據(jù)混合高斯分布函數(shù)，獲取其出現(xiàn)在不同地理位置的概率情況。

(2)觀察上海市松江區(qū)2014年急救需求的空間分布情況，可以發(fā)現(xiàn)，不同年份間急救需求的空間分布較為相似，2013年需求比較密集的區(qū)域在2014年仍有類似的體現(xiàn)，證明急救需求的空間分布具有一定的穩(wěn)定性，應(yīng)用高斯混合模型聚類方法得到的結(jié)果不僅反映了當下急救需求的分布情況，也能夠揭示未來急救需求的發(fā)生規(guī)律。

3.2 GMM聚類在急救需求分布刻畫上應(yīng)用

根據(jù)信號處理理論，任何復雜的隨機信號都可以通過傅里葉轉(zhuǎn)換，分解為若干個正弦波的組合。同理，在二維地理空間隨機分布的急救需求也可以分解為若干標準分布的組合。本文應(yīng)用高斯混合模型來描述急救需求的空間隨機分布。假設(shè)某一混合模型由K個高斯分布組成，則混合模型的概率密度函數(shù)為：

(1)

式(1)中，x是經(jīng)緯度坐標組成的二維隨機變量；πk為混合系數(shù)，表示每一個需求區(qū)域出現(xiàn)需求的概率；N(x|μk,Σk)為每一個高斯分布的密度，μk表示第k個需求區(qū)域的經(jīng)緯度坐標均值；Σk為協(xié)方差矩陣。其中二維高斯分布的密度函數(shù)：

(2)

給定一組數(shù)據(jù)，直接獲得混合高斯分布密度p(x)是較為困難的。因此，這里引入一個K維0-1向量z，向量中的元素zk滿足zk∈{0,1}，且∑kzk=1。對于某一個數(shù)據(jù)點xn有一個zk與之對應(yīng)，表明了xn所在的高斯需求區(qū)域。從而可以定義一個聯(lián)合分布p(x, z)，則邊緣分布p(z)和條件概率p=(x|z)與式(1)中πk和N(x|μk,Σk)相對應(yīng)，有：

(3)

(4)

從而根據(jù)加法乘法法則可以得到混合高斯分布密度：

(5)

在聚類過程中，我們關(guān)心某一個急救需求屬于某一區(qū)域的概率，據(jù)此才能將急救需求歸入不同的區(qū)域中，并通過迭代估計每個高斯區(qū)域的坐標均值和協(xié)方差。這一概率可以根據(jù)貝葉斯理論計算：

(6)

在評價數(shù)據(jù)擬合程度時，采用最大化對數(shù)似然函數(shù)：

E=lnp(x|π,μ,Σ)

(7)

其中N表示樣本數(shù)量。

經(jīng)典的高斯混合聚類方法是EM算法(Expectation Maximization Algorithm)，可以參考文獻[24]。而傳統(tǒng)聚類方法并不完全適用于急救需求刻畫的特殊問題上?？紤]到急救需求特點，本文將EM方法進行如下改進：

(1)在經(jīng)典的EM算法中，聚類數(shù)目K的值需要提前給定，如果K值定的過大，劃分的需求區(qū)域較多，區(qū)域內(nèi)的需求量較少，會造成過擬合。而如果劃分的數(shù)量過少，擬合效果會較差，每個區(qū)域的面積較大，空間分布的隨機性影響會增大。需要注意的是，GMM聚類的目的不僅僅是提供一個較為準確的擬合曲面，同時這個分布應(yīng)當能夠在一段時間內(nèi)都能保持良好的擬合效果，符合需求發(fā)生的規(guī)律。因此，本研究提出一個評價K值的指標函數(shù)，假設(shè)有T期可用數(shù)據(jù)，可以用第T期數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，而剩余T-1期數(shù)據(jù)可以用來幫助確定K值。計算多期對數(shù)似然函數(shù)：

(8)

其中，0<γ<1為折扣因子，該式表示近期數(shù)據(jù)的擬合效果對K值選擇的影響大于遠期數(shù)據(jù)的擬合效果。除以當期數(shù)據(jù)數(shù)量NT-t是為了消除每期數(shù)據(jù)數(shù)量不同的影響。由于數(shù)據(jù)限制，在本文中應(yīng)用2013年的數(shù)據(jù)來進行均值和方差的參數(shù)估計，然后再計算聚類結(jié)果對2014年數(shù)據(jù)的擬合效果，從而確定一個合適的K值。

(2)將事故高發(fā)區(qū)、養(yǎng)老院、人口密集社區(qū)等地段選擇為初始聚類質(zhì)心點，這樣既可以反映問題本身特點又可以提高聚類算法的效率。

(3)考慮救護車的響應(yīng)時間限制(根據(jù)國際慣例，站點和需求點之間的距離應(yīng)小于15分鐘的車程)，按照城市行駛平均速度為40km/h，那么每個站點的覆蓋半徑應(yīng)該小于10km。因此，聚類得到的每一個需求區(qū)域應(yīng)小于這個覆蓋面積。在算法中我們通過調(diào)整某一個點xn屬于某一個高斯分布的概率p(zk=1|xn)的值來實現(xiàn)對聚類面積的控制。

改進的EM算法具體步驟如下：

步驟0 初始化過程

各類參數(shù)初始值的選取會影響聚類的效果和效率。為提高算法效率，本研究首先應(yīng)用K-means聚類的方法獲得每一類的初始μk、Σk、πk，并計算初始E值，給定一個K值。

步驟1 E過程(Expectation)

根據(jù)現(xiàn)有的μk、Σk、πk，計算每個數(shù)據(jù)屬于每類的概率，每個數(shù)據(jù)暫時歸于概率最大的類。

步驟2 M1過程(Modification)

如果樣本xn和質(zhì)心k的距離大于10km，則修正概率p(zk=1|xn) = 10-10從而保證該樣本不會被歸于第k個高斯。

步驟3 M2過程(Maximization)

根據(jù)聚類結(jié)果，更新相關(guān)參數(shù)：

(9)

(10)

(11)

其中N為樣本量，Nk為第k類高斯組成中的樣本數(shù)。

步驟4 計算并評估對數(shù)似然函數(shù)值

計算對數(shù)似然函數(shù)值，評估其改進情況，確定是否停止。本研究設(shè)置的標準為聚類算法連續(xù)300次迭代對數(shù)似然函數(shù)改進幅度小于0.01‰時，認為算法收斂，若不滿足，返回步驟1。

步驟5 計算2014年數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度

計算得到的分布與2014年數(shù)據(jù)的符合程度，然后令K=K+1。循環(huán)結(jié)束后，挑選出最優(yōu)的K值。

得到聚類結(jié)果如圖2所示。其中同一顏色的點代表屬于同一需求區(qū)域的急救需求，黑色三角形為需求區(qū)域的聚類質(zhì)心點。

圖2 高斯混合模型聚類結(jié)果

4 考慮空間隨機需求的站點選址模型

4.1 模型的建立

在GMM聚類獲取急救需求的空間分布基礎(chǔ)上，本節(jié)建立整數(shù)規(guī)劃模型來解決空間隨機需求影響下的急救站點選址問題。

在以往研究中，大多數(shù)模型沒有指明被多重覆蓋的需求優(yōu)先被哪一個站點服務(wù)，而是僅以覆蓋或未覆蓋作為評判標準，使得服務(wù)響應(yīng)時間難以達到最優(yōu)。因此，本研究提出考慮服務(wù)優(yōu)先級的選址規(guī)劃模型，該模型假設(shè)：

(a)一個需求區(qū)域有且僅有一個主站點為其優(yōu)先提供服務(wù)；(b)一個需求區(qū)域有且僅有一個備用站點提供后備服務(wù)；(c)一個需求區(qū)域的主站點和備用站點不是同一個站點；(d)一個需求區(qū)域的主站點可以是另一個需求區(qū)域的備用站點，反之亦然；(e)每個需求區(qū)域到其主站點的距離均值小于到其它已啟用站點的距離均值。(f)各個需求區(qū)域內(nèi)的需求相互獨立；(g)假設(shè)站點的救護車數(shù)量能夠滿足相應(yīng)的急救需求。

定義如下符號：

αij：0-1決策變量，站點j是需求區(qū)域i的主站點則αij=1，否則αij=0；

βij：0-1決策變量，站點j是需求區(qū)域i的備用站點則βij=1，否則βij=0；

yj：0-1變量，備選站點j被啟用則yj=1，否則yj= 0；

K：需求區(qū)域的總數(shù)量；

M：備選站點的總數(shù)量；

W：啟用的站點的集合；

λi：需求區(qū)域i中產(chǎn)生的需求的數(shù)量；

tsr：主站點到其服務(wù)的需求區(qū)域的理想行駛時間；

ts1：主站點到其服務(wù)的需求區(qū)域需要滿足的最大行駛時間；

ts2：備用站點到其服務(wù)的需求區(qū)域需要滿足的最大行駛時間

目標函數(shù)為最小化啟用站點的數(shù)量：

(12)

模型需滿足如下約束條件：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

αij+βij≤yj，?i

(18)

(19)

(20)

約束(13)為救護站點選址問題中的一個經(jīng)典約束，即期望φ比例的需求能夠在tsr時間內(nèi)得到主站點服務(wù)，其中Pr(tij≤tsr)表示j站點到i需求點的行駛時間小于某標準tsr的概率，可以通過GMM聚類獲得的參數(shù)計算其具體值，這一約束往往被政府部門用來評估醫(yī)療急救中心的運營績效；約束(14)(15)分別要求主站點和備用站點到其服務(wù)的需求區(qū)域的行駛時間不高于標準時間ts1和ts2；約束條件(16)(17)要求每一個需求區(qū)域有且僅有一個主站點和一個備用站點，需要注意的是，我們在現(xiàn)實應(yīng)用情況中發(fā)現(xiàn)，即便某一處急救需求無法得到其主站的及時服務(wù)，大部分需求的首個備用站點即能夠及時滿足該需求，當然如果放松約束，也可以實現(xiàn)為某一需求區(qū)域配備多個備用站點；約束條件(18)(19)保證j站點作為主站或備站啟用時，yj=1；約束條件(20)對應(yīng)假設(shè)(e)。

4.2 隨機變量的計算處理方法設(shè)計

在隨機環(huán)境中，政府和公眾期望急救服務(wù)系統(tǒng)可以在較大的概率下仍然保持穩(wěn)定、有效，因此本研究采用機會約束規(guī)劃方法對模型進行求解。首先將含有隨機變量的約束條件(14)、(15)寫為機會約束形式：

(21)

(22)

θ1、θ2為風險參數(shù)，式(21)表示需求區(qū)域i中的需求能夠在ts1時間內(nèi)得到主站點服務(wù)這一約束條件被滿足的概率為1-θ1，式(22)類似。

·αij≥1-θ1

(23)

·βij≥1-θ2

(24)

其中，

(25)

其中，μiu和μiv分別為第i個需求區(qū)域中需求橫縱坐標的均值，σiu和σiv為標準差，ρi為相關(guān)系數(shù)，其取值在高斯混合模型聚類中獲得。

將約束(14)、(15)寫為式(23)、(24)的形式，問題即轉(zhuǎn)化為二次約束規(guī)劃問題，可以應(yīng)用成熟數(shù)學規(guī)劃軟件，如Cplex、Lingo等進行規(guī)劃求解。

5 上海松江區(qū)急救算例分析與討論

本研究應(yīng)用上海市松江區(qū)2013-2014年的急救網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)對上文提出的選址方法進行驗證，在第二章首先利用2013年的數(shù)據(jù)進行高斯混合模型聚類，來獲取需求空間分布的概率描述，再應(yīng)用2014年的數(shù)據(jù)對隨機模型的選址效果進行驗證，應(yīng)用2014年數(shù)據(jù)進行驗證是為了說明基于GMM的方法可以較好地揭示需求空間分布規(guī)律，在一定時期內(nèi)都能夠保證選址方案的有效性。

為了增加可行解空間，本研究在松江區(qū)原有8個急救站點的基礎(chǔ)上，依照上海市120醫(yī)療急救中心對建立救護車站點的規(guī)定，另外增加7家三級醫(yī)院和較大的二級醫(yī)院作為備選站點。15個備選站點的分布情況如圖3所示，其中空心十字為后添加的備選站點，三角形表示30個需求區(qū)域的聚類質(zhì)心點。

圖3 備選站點和需求區(qū)域質(zhì)心點分布圖

選址模型的參數(shù)取值如表1所示，其中tsr和ts1的取值依據(jù)以往類似研究[6]，ts2的取值出于上海市基礎(chǔ)設(shè)施條件的考慮。

表1 模型參數(shù)的取值

本文關(guān)注于探討急救需求空間隨機性對急救站選址方案有效性的影響，因此將本文建立的空間隨機模型與不考慮空間隨機性的選址模型進行對比。在不考慮空間隨機性的模型中，用均值取代隨機的距離和行駛時間，因此稱之為均值模型，原模型中約束(13)～(15)用以下約束代替：

(26)

(27)

(28)

此外，本研究還與松江區(qū)現(xiàn)有站點布局的績效進行了對比，松江區(qū)現(xiàn)有站點是按照行政區(qū)域進行鋪設(shè)的，基本上每一個行政區(qū)域都設(shè)有一個急救站點。本文通過模型獲得考慮和不考慮空間隨機需求的最優(yōu)選址方案，然后應(yīng)用2014年松江區(qū)急救數(shù)據(jù)進行數(shù)值驗證，實驗結(jié)果如表2所示，模型中限定了主站到需求區(qū)域的時間不超過10分鐘，因此表2中的延誤是指救護車的行駛時間超過10分鐘，超出10分鐘的時間即為延誤時間。每次響應(yīng)時間超過10分鐘的救護記為一次救護延誤。因為每天急救需求量較少，較難看出延誤的影響，因此本文觀察每周的延誤情況。

表2 實驗結(jié)果對比

從表2中可以看出，為了保證急救網(wǎng)絡(luò)的有效性，空間隨機模型啟用了更多的站點，但同時平均服務(wù)響應(yīng)時間也相應(yīng)縮短。均值模型沒有考慮急救需求的空間隨機性影響，因此產(chǎn)生了較多的救護延誤情況?？臻g隨機模型和現(xiàn)實布局雖然都啟用了8個站點，但8個站點的地理分布是不同的。顯然，從延遲時間、延誤時間和延誤次數(shù)上看，空間隨機模型得到的結(jié)果都明顯優(yōu)于現(xiàn)實布局，說明空間隨機模型的選址方案更加科學、有效。圖4、圖5對比了各種模型的每周延誤總時間和延誤次數(shù)。從圖4和圖5中可以看出，考慮需求空間分布的隨機性，應(yīng)用機會約束規(guī)劃模型進行求解，效果明顯優(yōu)于均值模型和現(xiàn)實的布局情況，延誤時間和延誤次數(shù)的差距顯著。

圖4 每周延誤總時間對比

圖5 每周延誤次數(shù)對比

約束條件(13)要求60%的需求在5分鐘內(nèi)得到服務(wù)，從圖10中可以看出，不考慮需求隨機性，應(yīng)用均值模型進行選址規(guī)劃，其效果遠差于模型的預(yù)期，5分鐘內(nèi)得到服務(wù)的需求幾乎全年都低于60%。而考慮了需求空間分布的隨機性后，服務(wù)水平得到了明顯的提升，全年均高于60%。

圖6 5分鐘內(nèi)得到服務(wù)的需求百分比對比

6 結(jié)語

本研究重點考慮了急救需求的空間隨機性影響，分別介紹了空間隨機需求的處理方法和急救站點選址規(guī)劃的隨機模型。提出對空間隨機需求的處理應(yīng)從實際數(shù)據(jù)出發(fā)，應(yīng)用高斯混合模型聚類的方法對急救需求的分布特征進行定量描述。在此基礎(chǔ)上，本研究建立了考慮需求空間隨機性的機會約束規(guī)劃模型，以期提高急救站點規(guī)劃的有效性。在算例分析中，以上海市松江區(qū)2013年的數(shù)據(jù)為例，本研究將急救需求拆解為30個高斯分布的混合，進而通過求解機會約束規(guī)劃模型得到站點布局方案，之后應(yīng)用2014年的真實數(shù)據(jù)對選址的效果進行了驗證。實驗結(jié)果表明，急救需求的空間隨機性對站點規(guī)劃有效性的影響是十分顯著的，應(yīng)用考慮空間隨機需求的規(guī)劃模型進行選址，周平均延誤時間從不考慮空間隨機性時的36.92分鐘降低到3.95分鐘，周平均延誤次數(shù)從24次減少至3.4次，且能夠保證60%的急救需求在5分鐘內(nèi)得到服務(wù)，實驗結(jié)果證明了方法的實用性和優(yōu)越性。