江蘇省射陽縣陳南初級(jí)中學(xué) 倉 猛

最近筆者有機(jī)會(huì)參加一次初三專題復(fù)習(xí)研討活動(dòng)，研究課的課題是“函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系”，由于該課題內(nèi)容過于寬泛、指向不夠精準(zhǔn)，所以幾位上課教師課堂的一個(gè)顯著不同就是在“教什么”上有較大的差異，有些課例開課情境像新授課的情境導(dǎo)入，有些課例大多的教學(xué)時(shí)間用在一些全國各地中考較難題的講評(píng)上.可見復(fù)習(xí)課“教什么”確實(shí)是一個(gè)值得深入研究的教研話題.為此，筆者經(jīng)過認(rèn)真思考，將這節(jié)課的功能定位為一節(jié)復(fù)習(xí)課.聚焦二次函數(shù)內(nèi)容，將課題明確為“二次函數(shù)與一元二次方程”的復(fù)習(xí)課，以下本著教學(xué)研討的興趣愛好，先給出這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，再提出復(fù)習(xí)課的“三個(gè)關(guān)注”（關(guān)注目標(biāo)、教材及地區(qū)“考試風(fēng)向”），供研討.

一、“二次函數(shù)與一元二次方程”復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 定義出發(fā)

問題1：一元二次方程的一般形式是什么？二次函數(shù)的一般形式是什么？你覺得它們之間有怎樣的聯(lián)系？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生很快能說出ax2＋bx＋c=0（a≠0），y=ax2＋bx＋c（a≠0）.進(jìn)一步梳理它們之間的關(guān)系，如一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)），知道拋物線與x軸的三種位置關(guān)系對應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況.

還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧梳理出一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac的不同取值，對應(yīng)著方程根的情況與對應(yīng)的拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 基礎(chǔ)過關(guān)

問題2：不畫圖像，判斷下列函數(shù)的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)，如果有，寫出公共點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）y=x2＋2x＋3；（2）y=x2-2x-3.

問題3：下列情形中，如果a＞0，拋物線y=ax2＋bx-3的頂點(diǎn)在什么位置？

（1）方程ax2＋bx=3有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

（2）方程ax2＋bx=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）方程ax2＋bx=3無實(shí)數(shù)根.

教學(xué)預(yù)設(shè)：問題2改編自蘇科版教材習(xí)題，問題3改編自人教版教材習(xí)題，學(xué)生思考之后在小組內(nèi)先交流核對，然后選派代表上臺(tái)講解，教師追問其他學(xué)生是否理解，必要時(shí)進(jìn)行復(fù)述，防止重要內(nèi)容“一帶而過”（見參考文獻(xiàn)［1］）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 變式探究

問題4：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y=mx2-6x＋1的頂點(diǎn)恰落在x軸上，求m的值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：對于問題4，學(xué)生應(yīng)該能很快由根的判別式為0解出，接著在PPT上出示問題4的兩種不同的設(shè)問呈現(xiàn)方式，引導(dǎo)學(xué)生感受一題多變、多題歸一.

變式1：若二次函數(shù)y=mx2-6x＋1的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值.

變式2：若拋物線y=mx2-6x＋1的最低點(diǎn)恰在x軸上，求m的值.

講評(píng)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)理解變式1、2與問題4本質(zhì)上是“一樣的問題”.

變式3：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2＋2x＋m2＋2m＋2與x軸有公共點(diǎn)，求m的值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由題意知Δ=22-4（m2＋2m＋2）=-4（m＋1）2≥0.則（m＋1）2≤0.又（m＋1）2≥0，解得m=-1.這道習(xí)題學(xué)生一開始運(yùn)算時(shí)可能誤認(rèn)為只能求出m的取值范圍，隨著運(yùn)算變形的深入，會(huì)配方出現(xiàn)一個(gè)完全平方式的相反數(shù)形式，于是就能確定m的值.

問題5：已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）.

（1）小洲經(jīng)過演算發(fā)現(xiàn)：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).請判斷小洲的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

（2）當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題改編自2018年南京中考數(shù)學(xué)卷第24題.對于第（1）問，只要令y=0，得方程2（x-1）（x-m-3）=0.解得x1=1，x2=m＋3.所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).當(dāng)然，也可以將二次函數(shù)整理成一般式，再計(jì)算根的判別式.對于第（2）問，當(dāng)x=0時(shí)，y=2m＋6，即該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m＋6.當(dāng)2m＋6＞0，即m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.這里提到了不等式，接下來就以不等式問題拓展學(xué)生的理解.

問題6：畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，并借助圖像分析不等式x2-2x-3＜0的解集.

教學(xué)預(yù)設(shè)：前面教學(xué)過程中一直都沒有要求學(xué)生先畫圖訓(xùn)練，這里開始安排學(xué)生畫出圖像，通過觀察圖像能直接看出圖像的哪一段在x軸下方，對應(yīng)著自變量x的取值范圍.這個(gè)問題解決之后，可給出變式問題.

變式1：借助函數(shù)圖像分析不等式x2-2x-3＞0的解集.

變式2：借助函數(shù)圖像分析不等式x2-2x＞3的解集.

變式3：借助函數(shù)圖像分析不等式x2＞2x＋2的解集.

教學(xué)預(yù)設(shè)：變式1、2都能直接轉(zhuǎn)化為問題6“讀”出解集.對于變式2，還可引導(dǎo)學(xué)生在同一平面直角坐標(biāo)系中分析拋物線y=x2-2x與直線y=3相交的情況，分析出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1、3，也可結(jié)合圖像直觀寫出解集.變式3有一定的難度，學(xué)生可能會(huì)有如下轉(zhuǎn)化方式，比如，將不等式x2＞2x＋2轉(zhuǎn)化為求x2-2x-2＞0，可以分析拋物線y=x2-2x-2與x軸的公共點(diǎn)，然后觀察該拋物線在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值范圍.也可以分析y=x2-2x與直線y=2相交（如圖1），相應(yīng)的，找出拋物線y=x2-2x在直線y=2上方時(shí)對應(yīng)的自變量的取值范圍.還可分析y=x2與直線y=2x＋2相交（如圖2），相應(yīng)的，找出拋物線在直線上方時(shí)對應(yīng)的自變量的取值范圍.這里比較抽象晦澀，多數(shù)學(xué)生可能理解上有困難，需要讓能理解的學(xué)生到黑板上進(jìn)行演示、講解，既加深這些學(xué)生的理解，又能促進(jìn)其他學(xué)生的理解.

圖1

圖2

一道開放題：在二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c中，x與y的部分對應(yīng)值如表1所示：

表1

你能解讀出哪些信息？

教學(xué)預(yù)設(shè)：二次函數(shù)的解析式可以求出來，然后就能判定圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等.在學(xué)生交流之后可預(yù)設(shè)如下說法，參與辨析正誤，并說明理由.

（1）圖像開口向下；（2）圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；（3）當(dāng)x=4時(shí)，y的值為-3；（4）-1是方程ax2＋bx＋c＋3=0的一個(gè)根；（5）不等式ax2＋bx＋c＋3＞0的解集為x＜-1或x＞4.

設(shè)計(jì)意圖：本題改編自該地區(qū)近年來中考二模試卷的一道選擇把關(guān)題，（2）是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)；（4）、（5）對應(yīng)著本課復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)生判斷正誤之后，要安排學(xué)生上臺(tái)畫圖示意、演示講解，教師“相機(jī)追問”（見參考文獻(xiàn)［2］），讓更多學(xué)生學(xué)會(huì)“形數(shù)互助”解決這類問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)梳理本課主要內(nèi)容，得出如下歸納：

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0的實(shí)數(shù)根對應(yīng)著二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖像與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）一元二次方程ax2＋bx=k的實(shí)數(shù)根對應(yīng)著拋物線y=ax2＋bx與直線y=k的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）一元二次方程ax2=kx＋b的實(shí)數(shù)根對應(yīng)著拋物線y=ax2與直線y=kx＋b的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

學(xué)情反饋練習(xí)：已知二次函數(shù)y=x2-（m＋2）x＋2m-1.

（1）求證：不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).

（2）若該函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)（0，3），

①求圖像與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)0＜x＜5時(shí)，分析y的取值范圍；

③當(dāng)y＜0時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍.

教學(xué)組織：這道反饋練習(xí)題安排10分鐘（不一定占用課堂時(shí)間，也可是學(xué)生課后作業(yè)）讓學(xué)生限時(shí)獨(dú)立解答，然后收交批閱，反饋學(xué)生在該課所學(xué)的達(dá)成度.

二、值得重視的復(fù)習(xí)課“三個(gè)關(guān)注”

（一）復(fù)習(xí)課需要關(guān)注和明辨復(fù)習(xí)目標(biāo)與重點(diǎn)

我們知道，有些復(fù)習(xí)課只是簡單地羅列知識(shí)點(diǎn)，“復(fù)制”或選編一些各地區(qū)貌似相關(guān)的考題.這類復(fù)習(xí)課的主要問題是對復(fù)習(xí)課的課時(shí)目標(biāo)沒有想清辨明，就匆忙選題，所選習(xí)題也缺少深入思考，對習(xí)題的內(nèi)容效度、解法要領(lǐng)沒有達(dá)到深刻理解，所以容易出現(xiàn)偏離復(fù)習(xí)目標(biāo)或復(fù)習(xí)主線的現(xiàn)象.以本文中的課例來說，復(fù)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程，就需要認(rèn)真思考這節(jié)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)如何確定，教材上此前學(xué)習(xí)時(shí)涉及了哪些內(nèi)容，是面面俱到地重復(fù)教材，還是有的放矢并重點(diǎn)突出，需要全面考慮、果斷決策.從上面的課例可見，復(fù)習(xí)重點(diǎn)是二次函數(shù)與一元二次方程之間的“對應(yīng)”關(guān)系（特別是基于“根的判別式”之間的聯(lián)系），并從“常數(shù)”系數(shù)拓展到含參數(shù)系數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的研究路徑.

（二）復(fù)習(xí)課選題要關(guān)注教材經(jīng)典例題和習(xí)題

當(dāng)前，不少專家、名師都在批判“離開教材搞教學(xué)”的現(xiàn)象，對于過分依賴使用所謂“習(xí)題單式導(dǎo)學(xué)案”開展新授課教學(xué)有一定的警示作用.然而復(fù)習(xí)課“離開教材”開展習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)象更加普遍.我們認(rèn)為，復(fù)習(xí)課更要重視教材上相關(guān)經(jīng)典問題的選編，因?yàn)閺?fù)習(xí)的目的一方面是防止遺忘、深化理解，另一方面是為“備考應(yīng)試”，各地中考、地區(qū)期末考試或?？级紡?qiáng)調(diào)要重視回歸教材，如果在復(fù)習(xí)課上忽略對教材上經(jīng)典問題的變式再練，顯然選題的內(nèi)容效度、復(fù)習(xí)效率也難有保證.這也是在上面課例中選編“問題2～3”的主要教學(xué)立意.

（三）應(yīng)試教學(xué)背景下復(fù)習(xí)要關(guān)注本地區(qū)中考

應(yīng)試備考是當(dāng)前繞不開的一個(gè)現(xiàn)實(shí)話題，這也要求我們在復(fù)習(xí)課備課時(shí)要充分關(guān)注“考向”（即地區(qū)考試風(fēng)向），特別是本地區(qū)的“考向”.因?yàn)楦鞯貐^(qū)的中考試卷常常風(fēng)格差異很大，如果備考師生盲目使用或依賴市場上面向全國發(fā)行的一些所謂的教輔資料，則師生都會(huì)“掉進(jìn)題?！?、痛苦不堪，因?yàn)檫@類資料通常為了適合全國、發(fā)行面更廣，于是選題就“面向”全國各地幾百套中考試卷進(jìn)行試題選編，有很多試題的呈現(xiàn)方式、考查難點(diǎn)或題型并不是本地區(qū)的命題要求.所以，教師在備課時(shí)需要認(rèn)真研究本地區(qū)中考近年來的考試“風(fēng)向”，然后在選題改編時(shí)有針對性地開展精準(zhǔn)選題，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)備考.上面課例中的問題4～6，包括各個(gè)問題后面的系列變式問題，還有學(xué)情反饋練習(xí)，都是圍繞著本地區(qū)近年來中考命題“風(fēng)向”進(jìn)行選編的.想來，基于精準(zhǔn)選題的復(fù)習(xí)備考也應(yīng)該成為切實(shí)減輕學(xué)生過重課業(yè)負(fù)擔(dān)的重要方式之一吧.