江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林分校初中部 曹玉梅

進(jìn)入九年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生面臨的重要任務(wù)就是備考，一線教師也倍感壓力，怎樣才能做好中考備考引領(lǐng)工作？我校數(shù)學(xué)備課組成員群策群力，將備考專題進(jìn)行了細(xì)致分解，在集體備課的基礎(chǔ)上要求每位同仁都要分析整理一個(gè)中考試題類型.筆者整理的類型是分類討論型試題.筆者認(rèn)真分析了2018年江蘇各地中考試題，尋找適合的試題，研究出一些相關(guān)的解題策略，讓學(xué)生在備考中對(duì)這類試題進(jìn)行再思考、再運(yùn)用.

一、由分類討論中考試題說(shuō)起

例1（2018年南通市中考試題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-2（k-1）x+k2-k（k為常數(shù)）.

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，k2），求k的值.

（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2k，y1）和點(diǎn)（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍.

（3）將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值-，求k的值.

思路分析：第（1）、（2）問(wèn)不是分類討論，暫且略去.

對(duì)于第（3）問(wèn)，首先利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化求出平移后拋物線的解析式，再將對(duì)稱軸的位置和二次函數(shù)的增減性融合在一起，分三種情況討論.

由拋物線y=x2-2（k-1）x+k2-，將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的解析式為y=（x-k）2-即可得出新拋物線的對(duì)稱軸為直線x=k.

通過(guò)上述討論，可知k的值為1或3.

例題2：（2018年萊蕪市中考試題）如圖1，邊長(zhǎng)為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為1的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時(shí)向右移動(dòng)（a的起始位置為點(diǎn)B），速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直到b到達(dá)點(diǎn)C停止.在a和b向右移動(dòng)的過(guò)程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖像大致為（ ）.

圖1

圖2

思路分析：由題意知a和b同時(shí)向右移動(dòng)，可以分三種情況進(jìn)行討論，分別求得函數(shù)解析式.

如圖3，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，BG=t-1，CE=2-t.可以計(jì)算出

圖3

圖4

通過(guò)以上函數(shù)圖像的判斷，所求圖像由三段拋物線構(gòu)成，分別是開(kāi)口向上、開(kāi)口向下、開(kāi)口向上的三段拋物線.因此，本題選擇B.

二、對(duì)分類討論中考試題的思考

在初中階段解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須采取科學(xué)、快捷的做法，確保試題能夠得到精準(zhǔn)、完整解答，這就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).為了在中考試卷中突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，命題時(shí)會(huì)結(jié)合初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，考查一些需要進(jìn)行多角度思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其回答過(guò)程需要采取分類討論的思路.

1.對(duì)案例的分析

回顧前面的案例，例1的第（3）問(wèn)首先要找出k值的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，因?yàn)榈玫降亩魏瘮?shù)是，曲線是拋物線，對(duì)稱軸為直線x=k，進(jìn)行分段討論時(shí)就必須從二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸x=k入手討論取值區(qū)間，結(jié)合題干給出的信息1≤x≤2，再思考在整個(gè)取值區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的最值情況.

例2 考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖像判斷，函數(shù)圖像是典型的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.其分類討論的起點(diǎn)是B，終點(diǎn)是C，關(guān)鍵點(diǎn)是A，以點(diǎn)A作為直線a和b運(yùn)動(dòng)的分界點(diǎn)，直線a到點(diǎn)A的時(shí)間t=1，直線b到點(diǎn)A的時(shí)間t=2.找到了時(shí)間節(jié)點(diǎn)，答案自然就出來(lái)了.

通過(guò)以上兩個(gè)案例不難發(fā)現(xiàn)，作為涉及的不同層面或不同多角度的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，只有經(jīng)過(guò)分類討論，才能夠做到精準(zhǔn)，才能使得答案更加簡(jiǎn)便、完整.

2.分類討論試題的解題策略

教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，分類討論是數(shù)學(xué)題型中的?？?，也是學(xué)生得分率較低的一種題型，因?yàn)槌踔猩闹悄芴攸c(diǎn)使得做小題時(shí)經(jīng)常忽視分類討論，做大題時(shí)經(jīng)常在討論中丟三落四.在集體備課或者與學(xué)生交流時(shí)發(fā)現(xiàn)，許多成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生也會(huì)栽在這種題型上，總是或多或少出現(xiàn)問(wèn)題，因此在備考的過(guò)程中需要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣：

第一，樹(shù)立分類討論的意識(shí).很多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是分類討論的載體，可以將這些這些知識(shí)點(diǎn)羅列出來(lái)，增強(qiáng)學(xué)生的敏感性，警鐘長(zhǎng)鳴才能不落俗套.

第二，對(duì)分類討論進(jìn)行建模，不要抓住芝麻丟掉西瓜，通過(guò)建模讓討論在節(jié)點(diǎn)上具有連續(xù)性.這就要求學(xué)生做到：分類的標(biāo)準(zhǔn)是一致的，分類中的每一區(qū)間是相互獨(dú)立的，分類討論是逐級(jí)有序進(jìn)行的.

第三，要求學(xué)生完整地列出所有需要討論的可能性，然后仔細(xì)分析每種可能性是否都會(huì)存在，進(jìn)行關(guān)鍵性的取舍.同樣，對(duì)于某些問(wèn)題，還需要注意是否有些討論結(jié)果重復(fù)，相同的部分需要合并處理.

總之，分類討論是一種十分重要的解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路.在解決這種類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，唯有教師針對(duì)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)情，進(jìn)行合理建模，幫助學(xué)生熟練掌握分類討論的解題思路；也唯有學(xué)生針對(duì)題目進(jìn)行科學(xué)解答，及時(shí)有效地采取分類討論，才能夠清楚地分辨出數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同所在，才能夠及時(shí)采取有效的解答問(wèn)題的方案，才能使科學(xué)建模為我所用.