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        例談數(shù)學思想方法的滲透
        ——以“有理數(shù)”的章節(jié)教學為例

        2019-11-13 14:04:10江蘇省南通市崇川學校薛海林
        中學數(shù)學雜志 2019年22期
        關鍵詞:有理數(shù)代數(shù)式數(shù)軸

        江蘇省南通市崇川學校 薛海林

        基于初中數(shù)學教育教學的視角,筆者認為,數(shù)學課程的內容一方面需符合社會的需求和學科的特質,另一方面還需與學生的認知規(guī)律相統(tǒng)一,它需囊括數(shù)學結論、結論的形成過程及數(shù)學思想方法.數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質認識,源自知識與方法,卻又高于具體的知識與方法,也就是對數(shù)學知識的一種抽象概括.學生在動手實踐、自主探究和合作學習的過程中,不斷積累數(shù)學經驗,領悟數(shù)學思想.因此,對于初中數(shù)學教育教學而言,數(shù)學思想的滲透應融合在教與學的過程中.

        初中生已有知識結構不夠完善,認知水平也較為薄弱,這就要求教師在數(shù)學教學中找尋適宜的切入點不斷滲透和提煉,使之既能成為教與學的有效指導,又能有效促進初中生的有效發(fā)展.本文中,筆者以“有理數(shù)”這一章節(jié)的教學為媒介,以實踐探究為手段,在數(shù)學思想方法方面做些嘗試性闡述.

        一、分類思想

        所謂分類思想,就是基于事物本質屬性的差異,把問題分為不同類別.換句話說,就是根據(jù)教學對象的共性與異性,將相同屬性的歸為一類,不同屬性的歸為另一類.分類思想是初中數(shù)學中運用較為廣泛的一種重要數(shù)學思想,教材中不少問題的處理都是采用分類思想加以敘述的.本章節(jié)中引入了新知識“比0小的數(shù)——負數(shù)”,數(shù)的范圍也擴展到了有理數(shù).字母a可以表示任何一個有理數(shù),探究數(shù)a則需恰當運用所學知識按照數(shù)的性質進行分類.

        例1若a為有理數(shù),-a一定為負數(shù)嗎?

        解:(1)當a>0時,-a<0;

        (2)當a=0時,-a=0;

        (3)當a<0時,-a>0.

        分析:從解題過程可以看出,后兩種情況中-a都不為負數(shù).這一問題作為代數(shù)分類思想的“出發(fā)點”,教師要引導學生建構分類意識.

        例2當|a|=3時,a的值為多少?

        解:(1)當a>0時,由|a|=3,得a=3;

        (2)當a<0時,由|a|=3,得a=-3.

        例3若a、b是有理數(shù),且ab≠0,請試著確定代數(shù)式的值有幾種情況.

        解:(1)當a>0、b>0時,代數(shù)式的值為3;

        (2)當a<0、b<0時,代數(shù)式的值為-1;

        (3)當a>0、b<0或a<0、b>0時,代數(shù)式的值為-1.

        所以,代數(shù)式的值共有兩個.

        分析:絕對值的概念是初中概念中需要重點掌握的概念之一,其代數(shù)定義是分段出示的.在上述情況下,學生在解決與絕對值相關的問題時需要求絕對值,那么就需要從絕對值的定義出發(fā),進行分類討論.在進行分類時,需統(tǒng)一標準,克服思維的片面性,要滿足不重復和無遺漏的原則,讓分類中的每個對象僅屬于其中的一類.

        二、數(shù)形結合思想

        恩格斯曾這樣定義數(shù)學:數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學.因此,數(shù)形結合思想完美展現(xiàn)了數(shù)學的和諧統(tǒng)一.它是借助“形”的直觀、整體、與幾何性質相關等優(yōu)勢,以及“數(shù)”的精確和良好的運算數(shù)學及代數(shù)背景,有效地轉化問題,實現(xiàn)解決問題的一種思想方法.其實質就是將問題中抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形結構相融合,進而找尋解題思路的一種思想方法.

        在學習完利用數(shù)軸表示有理數(shù)這一內容后,建構了“數(shù)”與“形”之間的橋梁,賦予了抽象數(shù)學關系直觀意義.在教學“有理數(shù)”這一內容時,就可以進行數(shù)形結合思想方法的滲透.

        例4有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的大概位置如圖1所示,請試著化簡:|a-b|和|a+b|.

        圖1

        分析:此例中充分運用數(shù)軸可以將絕對值的幾何意義表達清楚.再如,在有理數(shù)加法法則和乘法法則的教學中,教師也可通過數(shù)軸形象、直觀地幫助學生去理解和掌握概念的本質.

        三、化歸思想

        所謂化歸思想,即面對要解決的問題,通過某種手段或策略,將問題轉化為基于思想的方法.化歸思想本著化繁為簡、化難為易、化高次為低次的“層層剝筍式”原則,使問題轉化為自己能解決的問題.基本過程如圖2所示:

        圖2

        ①有理數(shù)的大?。涸诜诸惡螅梢詫⑾嗤柕膬蓚€數(shù)轉化成其絕對值(即正有理數(shù))再比較兩個數(shù)的大?。虎谟欣頂?shù)的加法、乘法、乘方:確定結果的符號后,根據(jù)小學階段學生熟悉的非負有理數(shù)確定結果的絕對值;③有理數(shù)的減法:改變減數(shù)的符號后,將其轉化成有理數(shù)的加法,使計算更為簡單;④有理數(shù)的除法:首先將除數(shù)改為倒數(shù),然后將其轉化為有理數(shù)的乘法,簡化運算.

        綜上所述,解決數(shù)學問題的過程其實就是將新知轉化為舊知,實現(xiàn)問題解決的過程.

        四、方程思想

        在初中數(shù)學教學中,學生開始實現(xiàn)轉型,由記憶型向理解型逐步轉化,學生的理解水平也穩(wěn)步提升,在這個階段,教師需逐步訓練學生的理解能力,而方程思想的滲透對學生學好數(shù)學起著關鍵性的作用.方程思想就是利用方程去解決一個問題.

        例5若a-3和b+5互為相反數(shù),請嘗試求出代數(shù)式7-3a-3b的值.

        在解決此問題時,從已知條件出發(fā),可以找出與a和b相關的關系式,也就是方程:(a-3)+(b+5)=0.由此得出a+b=-2.

        7-3a-3b=7-3(a+b).將a+b=-2整體代入后,即可得出代數(shù)式的值.

        “有理數(shù)”這一章中,涉及多個數(shù)學思想的滲透,在這里不再一一列舉了.

        作為一名初中教師,課堂教學就是引領學生思維活動的教學,也是滲透數(shù)學思想方法的過程.數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精華.因此,在教學中,教師需要找到滲透數(shù)學思想方法的途徑,使學生在學習數(shù)學知識的同時,能啟發(fā)學生的思維,揭示數(shù)學的本質.只有經過反復訓練和持續(xù)改進的過程,學生才能形成自己的數(shù)學思想方法運用意識,建構自己的數(shù)學思想方法系統(tǒng).只有這樣,才能充分發(fā)揮數(shù)學的內在動力,為學生的發(fā)展謀取長期利益,才能讓學生學得輕松、學得扎實、學得有條理,持續(xù)適應將來的發(fā)展和需求.

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