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        例談數(shù)學(xué)思想方法的滲透
        ——以“有理數(shù)”的章節(jié)教學(xué)為例

        2019-11-13 14:04:10江蘇省南通市崇川學(xué)校薛海林
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年22期
        關(guān)鍵詞:有理數(shù)代數(shù)式數(shù)軸

        江蘇省南通市崇川學(xué)校 薛海林

        基于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的視角,筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一方面需符合社會(huì)的需求和學(xué)科的特質(zhì),另一方面還需與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相統(tǒng)一,它需囊括數(shù)學(xué)結(jié)論、結(jié)論的形成過(guò)程及數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),源自知識(shí)與方法,卻又高于具體的知識(shí)與方法,也就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種抽象概括.學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中,不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.因此,對(duì)于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)而言,數(shù)學(xué)思想的滲透應(yīng)融合在教與學(xué)的過(guò)程中.

        初中生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)不夠完善,認(rèn)知水平也較為薄弱,這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中找尋適宜的切入點(diǎn)不斷滲透和提煉,使之既能成為教與學(xué)的有效指導(dǎo),又能有效促進(jìn)初中生的有效發(fā)展.本文中,筆者以“有理數(shù)”這一章節(jié)的教學(xué)為媒介,以實(shí)踐探究為手段,在數(shù)學(xué)思想方法方面做些嘗試性闡述.

        一、分類思想

        所謂分類思想,就是基于事物本質(zhì)屬性的差異,把問題分為不同類別.換句話說(shuō),就是根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共性與異性,將相同屬性的歸為一類,不同屬性的歸為另一類.分類思想是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用較為廣泛的一種重要數(shù)學(xué)思想,教材中不少問題的處理都是采用分類思想加以敘述的.本章節(jié)中引入了新知識(shí)“比0小的數(shù)——負(fù)數(shù)”,數(shù)的范圍也擴(kuò)展到了有理數(shù).字母a可以表示任何一個(gè)有理數(shù),探究數(shù)a則需恰當(dāng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)按照數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類.

        例1若a為有理數(shù),-a一定為負(fù)數(shù)嗎?

        解:(1)當(dāng)a>0時(shí),-a<0;

        (2)當(dāng)a=0時(shí),-a=0;

        (3)當(dāng)a<0時(shí),-a>0.

        分析:從解題過(guò)程可以看出,后兩種情況中-a都不為負(fù)數(shù).這一問題作為代數(shù)分類思想的“出發(fā)點(diǎn)”,教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)分類意識(shí).

        例2當(dāng)|a|=3時(shí),a的值為多少?

        解:(1)當(dāng)a>0時(shí),由|a|=3,得a=3;

        (2)當(dāng)a<0時(shí),由|a|=3,得a=-3.

        例3若a、b是有理數(shù),且ab≠0,請(qǐng)?jiān)囍_定代數(shù)式的值有幾種情況.

        解:(1)當(dāng)a>0、b>0時(shí),代數(shù)式的值為3;

        (2)當(dāng)a<0、b<0時(shí),代數(shù)式的值為-1;

        (3)當(dāng)a>0、b<0或a<0、b>0時(shí),代數(shù)式的值為-1.

        所以,代數(shù)式的值共有兩個(gè).

        分析:絕對(duì)值的概念是初中概念中需要重點(diǎn)掌握的概念之一,其代數(shù)定義是分段出示的.在上述情況下,學(xué)生在解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題時(shí)需要求絕對(duì)值,那么就需要從絕對(duì)值的定義出發(fā),進(jìn)行分類討論.在進(jìn)行分類時(shí),需統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),克服思維的片面性,要滿足不重復(fù)和無(wú)遺漏的原則,讓分類中的每個(gè)對(duì)象僅屬于其中的一類.

        二、數(shù)形結(jié)合思想

        恩格斯曾這樣定義數(shù)學(xué):數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).因此,數(shù)形結(jié)合思想完美展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一.它是借助“形”的直觀、整體、與幾何性質(zhì)相關(guān)等優(yōu)勢(shì),以及“數(shù)”的精確和良好的運(yùn)算數(shù)學(xué)及代數(shù)背景,有效地轉(zhuǎn)化問題,實(shí)現(xiàn)解決問題的一種思想方法.其實(shí)質(zhì)就是將問題中抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)相融合,進(jìn)而找尋解題思路的一種思想方法.

        在學(xué)習(xí)完利用數(shù)軸表示有理數(shù)這一內(nèi)容后,建構(gòu)了“數(shù)”與“形”之間的橋梁,賦予了抽象數(shù)學(xué)關(guān)系直觀意義.在教學(xué)“有理數(shù)”這一內(nèi)容時(shí),就可以進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透.

        例4有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的大概位置如圖1所示,請(qǐng)?jiān)囍?jiǎn):|a-b|和|a+b|.

        圖1

        分析:此例中充分運(yùn)用數(shù)軸可以將絕對(duì)值的幾何意義表達(dá)清楚.再如,在有理數(shù)加法法則和乘法法則的教學(xué)中,教師也可通過(guò)數(shù)軸形象、直觀地幫助學(xué)生去理解和掌握概念的本質(zhì).

        三、化歸思想

        所謂化歸思想,即面對(duì)要解決的問題,通過(guò)某種手段或策略,將問題轉(zhuǎn)化為基于思想的方法.化歸思想本著化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化高次為低次的“層層剝筍式”原則,使問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題.基本過(guò)程如圖2所示:

        圖2

        ①有理數(shù)的大小:在分類后,可以將相同符號(hào)的兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成其絕對(duì)值(即正有理數(shù))再比較兩個(gè)數(shù)的大??;②有理數(shù)的加法、乘法、乘方:確定結(jié)果的符號(hào)后,根據(jù)小學(xué)階段學(xué)生熟悉的非負(fù)有理數(shù)確定結(jié)果的絕對(duì)值;③有理數(shù)的減法:改變減數(shù)的符號(hào)后,將其轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的加法,使計(jì)算更為簡(jiǎn)單;④有理數(shù)的除法:首先將除數(shù)改為倒數(shù),然后將其轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法,簡(jiǎn)化運(yùn)算.

        綜上所述,解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程其實(shí)就是將新知轉(zhuǎn)化為舊知,實(shí)現(xiàn)問題解決的過(guò)程.

        四、方程思想

        在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生開始實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)型,由記憶型向理解型逐步轉(zhuǎn)化,學(xué)生的理解水平也穩(wěn)步提升,在這個(gè)階段,教師需逐步訓(xùn)練學(xué)生的理解能力,而方程思想的滲透對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)起著關(guān)鍵性的作用.方程思想就是利用方程去解決一個(gè)問題.

        例5若a-3和b+5互為相反數(shù),請(qǐng)嘗試求出代數(shù)式7-3a-3b的值.

        在解決此問題時(shí),從已知條件出發(fā),可以找出與a和b相關(guān)的關(guān)系式,也就是方程:(a-3)+(b+5)=0.由此得出a+b=-2.

        7-3a-3b=7-3(a+b).將a+b=-2整體代入后,即可得出代數(shù)式的值.

        “有理數(shù)”這一章中,涉及多個(gè)數(shù)學(xué)思想的滲透,在這里不再一一列舉了.

        作為一名初中教師,課堂教學(xué)就是引領(lǐng)學(xué)生思維活動(dòng)的教學(xué),也是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精華.因此,在教學(xué)中,教師需要找到滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),能啟發(fā)學(xué)生的思維,揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).只有經(jīng)過(guò)反復(fù)訓(xùn)練和持續(xù)改進(jìn)的過(guò)程,學(xué)生才能形成自己的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用意識(shí),建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng).只有這樣,才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力,為學(xué)生的發(fā)展謀取長(zhǎng)期利益,才能讓學(xué)生學(xué)得輕松、學(xué)得扎實(shí)、學(xué)得有條理,持續(xù)適應(yīng)將來(lái)的發(fā)展和需求.

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