李友明

四川省江油實驗學(xué)校 621700

引言：所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)，教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法。

認(rèn)識數(shù)a 可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。

講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

2、根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類

學(xué)習(xí)一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程，用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0 這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。

例1、解關(guān)于x 的不等式：ax+3＞2x+a

分析通過移項不等式化為（a-2）x＞a-3 的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2＞0，a-2=0，和a-2＜0 三種情況分別解不等式。

當(dāng)a-2＞0，即a＞2 時，不等式的解是x＞(a-3)/（a-2）

當(dāng)，a-2=0，即a=2 時，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1

因為0＞-1，所以不等式的解是一切實數(shù)。

當(dāng)a-2＜0，即a＜2 時，不等式的解是x＜(a-3)/（a-2）

3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例2、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是？

分析：根據(jù)題意，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

例3、已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m 是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x 軸只有一個交點，求m 的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0 和m-1≠0 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m=l 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1，它與x 軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng)m≠1 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=（m-1）x+（m-2）x-1

當(dāng)△=（m-2）+4（m-1）=0，得m=0.

拋物線y=-x-2x-1，的頂點（-1，0）在x 軸上.

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的效果。