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        圓的巧用

        2019-11-12 07:39:12郭健
        關(guān)鍵詞:三角形

        郭健

        [摘 ? 要]圓有很多幾何性質(zhì).巧妙應(yīng)用圓的性質(zhì)能快速解決很多問題.引入圓的常見方式有:三角形(內(nèi)切圓、外接圓)、定長(圓的定義)、線段之比(阿氏圓)、定角(圓?。┑?引入圓后轉(zhuǎn)化直線與圓的位置、點與圓的位置、圓與圓的位置關(guān)系、圓的參數(shù)方程等處理問題.

        [關(guān)鍵詞]圓;三角形;定長;線段之比;定角

        [中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2019)26-0015-02

        圓是最美的圖形.以圓為背景的題目,常常用到圓的相關(guān)性質(zhì);不是以圓為背景的題目,也能引入圓,巧用圓的性質(zhì).那么,哪些問題能引入圓,應(yīng)用圓的性質(zhì)巧解問題呢?如何引入圓,體現(xiàn)新課標(biāo)中倡導(dǎo)的“創(chuàng)新意識”?

        一、三角形引圓巧求角最大

        任意一個三角形都有外接圓和內(nèi)切圓.當(dāng)題目中出現(xiàn)三角形時,可以考慮引入圓,應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.其中,著名的足球射門問題,恰能體現(xiàn)圓的巧用.

        [題1](足球射門問題)在綠茵場上,足球隊員甲帶球沿邊線直線進(jìn)攻.已知球門框A、B到足球場地邊線的距離分別為[a,b(b>a>0)],問:球員甲在邊線的什么位置射門,進(jìn)球的可能性最大(即對球門[AB]的張角[∠ACB]最大)?

        分析:這道題常釆用兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式來求解(跨模塊的綜合方法).實際上,我們換個角度,完全可以從直線與圓的位置關(guān)系切入,選擇點到直線的距離和兩點間的距離公式求解.

        解法一:以AB所在直線為y軸,以AB與足球場地邊線的交點為原點,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,a),B(0,b),設(shè)C(x,0).△ABC的外接圓M與射線x軸正半軸有公共點C.當(dāng)圓M與射線x軸正半軸相切時,[∠ACB]最大,此時C為切點,點M在AB的垂直平分線[y=a+b2]上,所以圓M的半徑[r=a+b2=][x2+a-b22],解得[x=ab].故隊員甲在距底線[ab]處射門,進(jìn)球的可能性最大.

        解法二:依題意知,過A、B的圓M與x軸正半軸有公共點C.圓心M在AB的垂直平分線[y=a+b2]上,設(shè)[Mm,a+b2],則[a+b2][≤x2+a-b22],即[m≥ab].

        由正弦定理得[sin∠ACB=b-a2m2+a+b22≤b-ab+a],當(dāng)且僅當(dāng)[m=ab]時取等號.∵∠ACB為銳角,∴當(dāng)[m=ab]時,∠ACB取最大值,此時CM⊥x軸,C為切點,∴C([ab],0).故隊員甲在距底線[ab]處射門,進(jìn)球的可能性最大.

        評注:上述兩種解法都是應(yīng)用圓來求解,比用兩角差的正切公式計算更簡潔,體現(xiàn)了圓的巧用.

        二、圓的定義引圓巧求線段長最小

        到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.當(dāng)題目中出現(xiàn)“距離相等”這一條件時,可考慮應(yīng)用圓的定義引入圓,再利用圓的性質(zhì)求解.

        [題2][2019·新課標(biāo)模擬(理),16]如圖1所示,面積為[34]的等邊△[ABC]中,點[M,N]分別在線段[AB,AC]上,現(xiàn)將△AMN沿線段[MN]進(jìn)行翻折,得到如圖2所示的圖形,翻折后的點[A]在線段[BC]上,則線段[AM]的最小值為 ? ? ? ? ? ? ? ? .

        分析:這是一道以三角形為背景,以折疊為手段,考查解三角形的好題.集動靜于一題,集數(shù)形于一題,集抽象與具體于一題,是一道創(chuàng)新題.由對稱可以得到兩條線段相等,從而引入圓,再應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

        解析:∵將△AMN沿線段[MN]進(jìn)行翻折,翻折后的點[A]在線段[BC]上,∴MA=MA′,A在線段BC上,∴以M為圓心,以MA′為半徑的圓與線段BC有公共點.欲使AM最小,則該圓必與BC相切.此時,∠MAB=90°.

        設(shè)AM=y,則BM=1[-y],[y∈[0,1]],由[∠B]=60°得[y=(1-y)sin60°=32(1-y)],解得y=[23-3],∴[AM]有最小值[23-3].

        評注:題2的求解是運用圓的定義:到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.題1是運用任意三角形必有唯一的外接圓.相同之處,都是轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系——直線與圓有公共點.

        三、距離之比為常數(shù)引入阿氏圓求面積最大

        滿足到兩個定點的距離之比為常數(shù)(常數(shù)為1)的點的軌跡是圓,即動點C滿足AC =[λ]BC([λ>0]且[λ≠1])時的軌跡是阿波羅尼斯圓.當(dāng)題設(shè)條件中有距離之比為常數(shù)時,可以引入圓,應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

        [題3](2008·江蘇)滿足條件AB = 2,AC = BC的△ABC的面積的最大值是____.

        分析:滿足AC = BC的點C的軌跡是圓,從而將△ABC的面積的最大值問題轉(zhuǎn)化為C到直線AB的距離的最大值問題.

        解析:以AB所在直線為x軸,以AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A ([-1],0),B (1,0),設(shè)C [(x,y)],則[(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]],即[(x-3)2+y2=8],∴C到AB的距離的最大值為[22],∴△ABC的面積的最大值[12×AB×yCmax][=22].

        評注:應(yīng)用圓,很容易求得C到AB的距離的最大值,既有形的直觀,又有數(shù)的簡算.本題的求解方法有很多,但以圓的解法為最簡潔.

        四、定線段的張角為定值引入圓求范圍

        圓的同弧或同弦所對的圓周角處處相等.因此,當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)定角時,可以考慮引入圓,應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

        [題4]在[△ABC]中,[∠C=45°],[O]是三角形外心,若[OC=mOA+nOB(m,n∈R)],則[m+n]的取值范圍為________.

        分析:由[∠C=45°]可知點C的軌跡是圓弧.可通過圓的參數(shù)方程,巧求[m+n]的取值范圍.

        解析:設(shè)AB=2,以AB所在直線為x軸,以AB的垂直平分線為y軸,原點記為[O′],建立直角坐標(biāo)系,則A([-1],0),B (1,0),設(shè)C [(x,y)],∵[∠C=45°],∴點C的軌跡是以AB為弦,AB所對的圓周角為45[°]的圓弧(優(yōu)?。?可求得圓心[O](0,1),半徑為[2],∴點C的軌跡方程為:[x2+(y-1)2=2 ? ? ? ? ? , ? ? ?y≥0 ] .

        設(shè)[C(2cosθ,1+2sinθ) ,-π4≤θ≤5π4],由[OC=mOA+nOB]得[m+n=-2sinθ][∈][[-2,1)].

        評注:圓的引入,為坐標(biāo)計算帶來方便,再結(jié)合三角函數(shù)的有界性,輕松解題.

        通過以上幾道題目的求解,我們能體會到圓在解題中的巧用.圓的表現(xiàn)形式是多樣的,要根據(jù)題目的特點靈活選擇,而最關(guān)鍵的是想到圓.那么,哪些問題涉及圓呢?常見的有:①三角形——外接圓及內(nèi)切圓;②圓的定義——一個點到若干個點的距離相等;③一個點到兩個定點的距離之比為非1的正常數(shù)——阿氏圓;④一條線段所對角為定值——圓周角,從而是圓弧或圓(包括斜率乘積為-1,向量的數(shù)量為某常數(shù)等).通過對知識的正確解讀,想到圓,就能應(yīng)用圓的性質(zhì)巧解題目了.

        (責(zé)任編輯 黃春香)

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