陳鑫 姚宏 趙靜波 張帥 賀子厚 蔣娟娜

(空軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部,西安 710051)

設(shè)計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,該結(jié)構(gòu)利用了空氣和薄膜的耦合振動,一方面將剛性壁轉(zhuǎn)變?yōu)槿嵝员?降低了一階振動時的等效剛度,使第一帶隙下限分別低于同參數(shù)下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,另一方面基于局域共振原理,由于薄膜的出現(xiàn)和腔口空氣通道長度的增加,使得結(jié)構(gòu)在低頻范圍內(nèi)存在多個振動模態(tài),從而將原有一個帶隙擴展為多個帶隙.將該結(jié)構(gòu)帶隙上下限分別等效為環(huán)形系統(tǒng)和串聯(lián)系統(tǒng),用傳遞矩陣法和有限元法兩種方法計算了其低頻帶隙范圍,兩種方法結(jié)果吻合良好.通過調(diào)整參數(shù)對帶隙調(diào)控規(guī)律進行了進一步分析,結(jié)果顯示,在低頻范圍內(nèi),既可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關(guān)的參數(shù),在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調(diào)整其他帶隙;也可以通過調(diào)整內(nèi)外腔體積,對所有帶隙進行調(diào)控.

1 引 言

自聲子晶體提出以來[1],其一直是聲學(xué)領(lǐng)域國內(nèi)外學(xué)者研究重點之一[2?7],另一方面,Helmholtz共振腔這種聲學(xué)器件在聲學(xué)超材料中有著廣泛的應(yīng)用[8?12].近年來,利用Helmholtz共振原理構(gòu)建的聲子晶體及超材料已逐漸由簡單疊加結(jié)構(gòu)[13,14]逐漸發(fā)展為長開口[15]、多腔[16]、多開口[17,18]、嵌套[19]、多層復(fù)合[20]等結(jié)構(gòu).

由于空氣密度的限制,僅利用空氣的振動往往無法進一步提升聲子晶體的性能,與此同時,薄膜作為一種輕質(zhì)材料,其在低頻方面也具有較好的隔聲性能[21?23].能否利用兩種結(jié)構(gòu)的耦合,構(gòu)建出低頻隔聲性能更好的聲子晶體,就成為值得探討的問題.實際上,近年來已有關(guān)于含薄膜的Helmholtz腔仿真研究[24,25],腔體與薄膜耦合[26?28]以及薄膜與穿孔板?腔耦合[29]等結(jié)構(gòu)的研究出現(xiàn).但薄膜與Helmholtz腔耦合結(jié)構(gòu)的理論計算與聲子晶體帶隙研究仍較少.

本文在之前Helmholtz腔與固/固型聲子晶體的耦合研究[30]基礎(chǔ)上,設(shè)計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,對其帶隙機理進行了詳細分析,用傳遞矩陣法(transfer matrix method,TMM)和有限單元法(finite element method,FEM)計算了其低頻帶隙上下限.該結(jié)構(gòu)第一帶隙下限分別低于同參數(shù)下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,且質(zhì)量小于同尺寸傳統(tǒng)Helmholtz型聲子晶體,進一步提高了Helmholtz腔在小尺寸、輕結(jié)構(gòu)下控制大波長的能力,提高了其在工程上的應(yīng)用價值.

2 結(jié)構(gòu)設(shè)計及其帶隙特性

帶薄膜壁的Helmholtz結(jié)構(gòu)橫截面如圖1所示,其晶格常數(shù)為a,腔體框架邊長為l,腔壁厚度為b,在腔右側(cè)由懸臂梁形成“W”型開口,其空氣通道總長度為l1=n× (l－b) +b,寬度為s,其中n為懸臂梁的個數(shù).將腔體左側(cè)壁更換為厚度為br的硅橡膠薄膜,并在其上黏附有長hs、厚bs的鋁制質(zhì)量塊,薄膜受到y(tǒng)方向張力T的作用.因框架材料一般為金屬,其聲阻抗一般在空氣的105倍以上,薄膜材料的103倍以上,對帶隙的影響較小,故將其設(shè)定為固定約束狀態(tài).

圖1 帶薄膜壁的Helmholtz結(jié)構(gòu)橫截面Fig.1.Cross section of Helmholtz resonator structure with a membrane wall.

取a=53 mm,l=50 mm,b=1 mm,n=2(l1=99 mm),s=1 mm,br=1 mm,hs=5 mm,bs=1 mm,T=1 × 106N/m2,先將其按照第一布里淵區(qū)進行掃描,再將其沿縱向?qū)?個元胞結(jié)構(gòu)進行串聯(lián),分別計算得出其在1700 Hz以下的結(jié)構(gòu)能帶圖和隔聲量曲線如圖2所示.從圖2可以看出,其在1700 Hz以下存在3個完全帶隙(灰色區(qū)域),分別為88.40－119.06 Hz,302.09－533.03 Hz和772.31－891.44 Hz (各帶隙起止點已在圖中標(biāo)出),與此同時出現(xiàn)了多個平直帶;其對應(yīng)隔聲量曲線分別在各帶隙下限處出現(xiàn)了40 dB以上的隔聲峰.若將薄膜也設(shè)定為固定約束狀態(tài),則該結(jié)構(gòu)變?yōu)槠胀ǘSHelmholtz結(jié)構(gòu),用同樣的方法計算得出的結(jié)構(gòu)能帶圖和隔聲量曲線如圖3所示,其在1700 Hz以下范圍只存在1個完全帶隙(116.60－318.34 Hz),最大隔聲峰為36 dB.同時,通過FEM計算得出其在相同條件下的薄膜基頻為240.59 Hz.

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn),將Helmholtz型聲子晶體的一個剛性壁換為帶分布質(zhì)量的張緊膜后,其低頻隔聲性能得到了提升.具體表現(xiàn)為： 第一帶隙下限得到進一步降低,且同時低于同條件下的普通Helmholtz結(jié)構(gòu)和薄膜結(jié)構(gòu);出現(xiàn)了新的隔聲峰,且高度高于原有結(jié)構(gòu);雖然第一帶隙的寬度減小,但在低頻范圍內(nèi)出現(xiàn)了新的帶隙,使得總帶隙寬度得到提升.

3 帶隙機理及等效模型

為研究薄膜與Helmholtz腔的耦合作用,取該結(jié)構(gòu)前3個帶隙起止點處聲壓場和薄膜振型進行分析,如圖4所示,其中純灰色部分為薄膜振型(位移經(jīng)放大),右側(cè)圖例為聲壓場數(shù)值,單位為Pa.

圖2 帶薄膜壁的Helmholtz結(jié)構(gòu) (a) 帶隙圖;(b) 隔聲曲線Fig.2.Band diagram (a) and transmission spectrum (b) of the Helmholtz resonator structure with a membrane wall.

圖3 普通Helmholtz結(jié)構(gòu)的(a)帶隙圖和(b)隔聲曲線Fig.3.Band diagram (a) and transmission spectrum (b) of the ordinary Helmholtz resonator structure.

圖4 (a) 模態(tài)A (88.40 Hz)、(b) 模態(tài)B (119.06 Hz)、(c) 模態(tài)C (302.09 Hz)、(d) 模態(tài)D (533.03 Hz)、(e) 模態(tài)E (772.31 Hz)、(f) 模態(tài)F (891.44 Hz) 的薄膜振型和聲場壓力圖Fig.4.Vibration mode of the membrane and sound pressure distribution diagrams of point A (88.40 Hz) (a),B (119.06 Hz) (b),C(302.09 Hz) (c),D (533.03 Hz) (d),E (772.31 Hz) (e),and F (891.44 Hz) (f).

從圖4可以看出,在模態(tài)A,C,E處,結(jié)構(gòu)聲壓場變化規(guī)律完全相同,均為內(nèi)腔聲壓最大,并通過腔口空氣通道逐漸過渡到外腔.外腔左右兩部分聲壓呈反對稱分布,其中薄膜側(cè)為正,腔口側(cè)為負,且這種差異隨著帶隙階數(shù)的增大而增強,但外腔聲壓和均為零.此時聲波被完全局域在內(nèi)腔中,振動與外腔無關(guān),與其對應(yīng)于帶隙下限相匹配.而在模態(tài)B,D,F處,結(jié)構(gòu)聲壓場分布與前述相反,內(nèi)腔聲壓最小,且為負值,通過腔口空氣通道過渡至外腔,外腔聲壓最大.此時振動與內(nèi)腔外腔都有關(guān),聲波可以在腔外傳播,對應(yīng)于帶隙上限.

由于膜的振動是各階主振型疊加的結(jié)果,通過振型圖僅能推斷某階主振型占主要地位,在后續(xù)分析中,將占主要地位的某階主振型稱為其某階振動.從振型圖可以看出,隨著頻率的升高,薄膜振動逐漸由低階轉(zhuǎn)向高階,但在帶隙上下限處均沒有發(fā)現(xiàn)反對稱振型(該種振動模態(tài)下薄膜上下位移呈反對稱分布,平均位移為零)的參與.

對于出現(xiàn)多個平直帶的原因,與之前研究得出的結(jié)論相同[30],是由薄膜的反對稱振型造成的,這里不再進行討論.

另外,對于模態(tài)A,可以看出膜與腔口空氣做同向振動,這樣實際上減小了內(nèi)腔空氣彈簧剛度,導(dǎo)致第一帶隙下限下降;與此類似,模態(tài)B中內(nèi)腔空氣彈簧剛度增大,外腔減小,但由于兩者體積變化比例不同,其總體剛度是減小的,導(dǎo)致其第一帶隙上限也會下降.

經(jīng)過以上分析可看出,對于該結(jié)構(gòu)在1700 Hz以下產(chǎn)生的多個帶隙,其不同帶隙上限或下限處聲壓場分布規(guī)律均是相同的,只是薄膜振動模態(tài)不同,但各帶隙上限和下限的聲壓場分布規(guī)律不同.

在此對上下限分別構(gòu)建等效系統(tǒng),如圖5所示,其中X1表示薄膜平均位移;X2表示腔口通道內(nèi)空氣質(zhì)心位移;N1和N2分別為內(nèi)腔、外腔對薄膜的總壓力,采用TMM與連續(xù)體振動相結(jié)合的方法進行計算.

將腔口通道內(nèi)空氣視為均質(zhì)彈性桿,其傳遞矩陣[31]為

其中m1=sρal1,ρa為空氣密度,c為在空氣中的聲速,ω為角頻率.設(shè)內(nèi)外腔內(nèi)空氣在振動過程中壓強均勻,則內(nèi)腔空氣傳遞矩陣為

外腔空氣的傳遞矩陣為

其中V2,V4分別表示內(nèi)腔和外腔體積;lr=l－ 2b,為薄膜的長度.

對于薄膜的縱向振動,采用Rayleigh?Ritz法[32]求解,同時考慮張力和彈性模量的影響,其強迫振動方程為

其中Er和ρr分別表示硅橡膠彈性模量和密度;Jr為截面對中性軸的慣性矩;p為薄膜收到的外力.

取基礎(chǔ)函數(shù)為?i=1 － cos(2πnx/lr),這種取法計算簡便,但舍棄了反共振振型,故不能計算出平直帶的振動頻率.考慮薄膜上質(zhì)量塊的分布作用,此時其等效剛度矩陣和等效質(zhì)量矩陣中各元素為

圖5 (a) 帶隙下限系統(tǒng)示意圖;(b) 帶隙上限系統(tǒng)示意圖Fig.5.(a) System corresponding to starting frequency of band gaps;(b) system corresponding to cut?off frequency of band gaps.

由此可解出特征值矩陣Λ和其對應(yīng)的特征向量矩陣A.

振動時,薄膜在空氣的作用下,相當(dāng)于受到周期性均布激振力的作用,設(shè)均布力為psinωt,則正則廣義力為

此時方程(4)可寫為

其解為

其中Bi是ATQ(t)的第i個元素除以psinωt后的結(jié)果.令η=Aξ,則薄膜在空氣作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

則其在振動過程中對空氣造成的最大體積改變量為

其中αij為A中各元素,Ωi為矩陣Λ中對角線元素.

通過各傳遞矩陣及(11)式,可分別對帶隙上下限對應(yīng)的系統(tǒng)進行求解.

對帶隙下限,設(shè)傳遞順序為內(nèi)腔?腔口,則有

并且,根據(jù)薄膜平均位移在TMM和Rayleigh?Ritz法下計算結(jié)果應(yīng)相同,可得

聯(lián)立(13)和(14)式可得

同樣,對帶隙上限,設(shè)傳遞順序為內(nèi)腔?腔口?外腔,則有

聯(lián)立(17)和(18)式可得

根據(jù)(15)與(19)式可分別計算出帶隙下限與帶隙上限的頻率.從這兩式可以看出,在低頻范圍內(nèi),式子左端取得零值的主要因素有式中的V(ω)和其他含ω項,其中V(ω)與薄膜的振動模態(tài)有關(guān),其他含ω項均來自于彈性桿傳遞矩陣.這說明隨著頻率的增大,每當(dāng)薄膜或腔口空氣的振動模態(tài)發(fā)生改變時,都將出現(xiàn)一個新的帶隙,亦即產(chǎn)生了一種新的局域共振模態(tài).另外,由于兩者的耦合性及內(nèi)外腔空氣的作用,帶隙的上下限將不會出現(xiàn)在原固有頻率處,而是發(fā)生一定的偏移.

4 低頻帶隙影響因素研究

為驗證理論計算方法的適用性,并進一步研究帶隙形成規(guī)律,用FEM和TMM計算其帶隙上下限頻率隨參數(shù)改變的變化情況,并取其前三個帶隙進行分析.在此,除研究的參數(shù)外,其余參數(shù)與上文中相同.從(15)和(19)式可以看出,影響該結(jié)構(gòu)帶隙的主要參數(shù)有V2,V4,l1,s以及與薄膜相關(guān)的函數(shù)V(ω),在此僅有針對性的選取個別參數(shù)進行分析,其中誤差項是以FEM所得結(jié)果作為真實值計算得出.

從上文理論計算可發(fā)現(xiàn),薄膜受到張力T、重物質(zhì)量及分布、薄膜長度lr等因素會并且只會影響薄膜相關(guān)的函數(shù)V(ω),在此首先選取了重物長度ls作為變量進行分析,結(jié)果如表1所列.同時,作為比較,采用FEM計算了同條件下附加金屬片薄膜的縱向振動固有頻率(不含反共振頻率),結(jié)果如表2所列.從表1和表2可以看出,增大ls,薄膜一階固有頻率下降,二階固有頻率增大,而結(jié)構(gòu)第二、第三帶隙變化趨勢與之完全相同,變化幅度也很接近,而結(jié)構(gòu)第一帶隙向低頻方向移動,但變化幅度較小.該現(xiàn)象說明此結(jié)構(gòu)在1700 Hz以下新出現(xiàn)的第二、三帶隙分別是由于薄膜出現(xiàn)了前兩階振動模態(tài)引起的.而第一帶隙由于仍然對應(yīng)于腔口空氣的振動,通過增大ls的方式增加等效質(zhì)量是一種間接的調(diào)控方式,對于該帶隙的優(yōu)化效果并不理想.

另外,當(dāng)ls較小時,兩種計算結(jié)果接近,但當(dāng)ls＞ 10 × 10－3m后,誤差開始顯著增大,這是由于在用Rayleigh?Ritz法對薄膜進行處理時,僅通過(6)式對分布質(zhì)量進行了處理,而忽略了附加金屬片對薄膜等效剛度的影響.隨著ls增大,這種影響逐漸增大,導(dǎo)致了誤差不斷增大.

表3顯示的是薄膜張力對帶隙的影響,可以看出,隨著薄膜張力的增大,其各帶隙上下限均有增大的趨勢,但第二、三帶隙的增長幅度大于第一帶隙,這與上文中所得出第二、三帶隙對應(yīng)于薄膜的振動模態(tài)產(chǎn)生和改變相一致.對于第一帶隙,由于其對應(yīng)的是腔口空氣的振動模態(tài),可在分析時忽略薄膜質(zhì)量的影響,此時隨著張力增大,結(jié)構(gòu)趨向于剛性壁,其帶隙上下限逐漸與無薄膜結(jié)構(gòu)接近.當(dāng)張力增大到108N/m2后,其第一帶隙上下限已基本與無薄膜結(jié)構(gòu)一致,且1700 Hz以下已無其他完整帶隙.

表1 薄膜附加金屬片長度l s對低頻帶隙的影響Table 1.Effect of the parameter l s on low?frequency band gaps.

表2 薄膜附加金屬片長度l s對薄膜固有頻率的影響Table 2.Effect of the parameter l s on natural frequency of membrane.

表3 薄膜張力T對低頻帶隙的影響Table 3.Effect of the parameter T on low?frequency band gaps.

腔口空氣通道長度l1對低頻帶隙的影響如表4所列,可以看出,隨著l1的增大,第一帶隙上下限均向低頻方向移動,而第二帶隙下限變化不大,這與上文提出的對應(yīng)關(guān)系相符合.

但第二帶隙上限也不斷下降,特別是當(dāng)l1大于246 mm后,第三帶隙上下限急劇下降.從帶隙圖分析發(fā)現(xiàn),腔口空氣二階振動對應(yīng)的帶隙(第四帶隙)隨著l1的增大不斷向低頻方向移動,壓縮了第三帶隙及第二帶隙上限.直至l1=295 mm后,腔口空氣二階振動對應(yīng)的帶隙下降到薄膜二階振動對應(yīng)帶隙以下,成為第三帶隙,如圖6所示,腔口空氣表現(xiàn)為中間壓強最大,兩端最小.該現(xiàn)象說明隨著l1的增大,腔口空氣在1700 Hz以下范圍內(nèi)的振動模態(tài)增多,固有頻率下降.實際上,當(dāng)l1=344 mm時,該結(jié)構(gòu)在1700 Hz以下已有6個帶隙,其分別對應(yīng)于腔口空氣一階振動、薄膜一階振動、腔口空氣二階振動、薄膜二階振動、腔口空氣三階振動和腔口空氣四階振動.

表4 腔口空氣通道長度l1對低頻帶隙的影響Table 4.Effect of the parameter l1 on low?frequency band gaps.

圖6 l1=295 mm時(a) 第三帶隙下限和(b) 第三帶隙上限的聲場壓力圖Fig.6.Sound pressure distribution diagrams at starting frequency (a) and cutoff frequency (b) of the 3th band gap when l1=295 mm.

表5 內(nèi)腔體積V2對低頻帶隙的影響Table 5.Effect of the parameter V2 on low?frequency band gaps.

由(15)式可以看出,外腔體積V4不影響帶隙下限,而由(19)式可以看出,對帶隙上限,內(nèi)腔體積V2與外腔體積V4的作用完全相同,故只對內(nèi)腔體積V2進行分析,如表5所列.從表5可以看出,隨著V2的增大,各帶隙上下限均向低頻方向移動,這是由于腔體積增加會減小其等效剛度.另外,在此減小V2的方式是在內(nèi)腔中增加剛性填充物,這種方法會使得內(nèi)腔形狀不規(guī)則,腔內(nèi)聲壓不均勻,導(dǎo)致誤差上升.但即便剛性填充物占內(nèi)腔比例達到66% (此時內(nèi)腔體積為7.07 × 10－4m3),最大誤差仍較小,說明本文采用的理論計算方法也適用于其他較為復(fù)雜結(jié)構(gòu).

從整體上看,該種帶薄膜壁的Helmholtz結(jié)構(gòu)可變參數(shù)很多,且各參數(shù)對不同帶隙的影響程度不盡相同.因此,在低頻范圍內(nèi),既可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關(guān)的參數(shù),在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調(diào)整其他帶隙;也可以通過調(diào)整內(nèi)外腔體積,對所有帶隙進行調(diào)控.

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種含薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,建立了系統(tǒng)等效模型,通過研究發(fā)現(xiàn)：1)該結(jié)構(gòu)第一帶隙下限分別低于同參數(shù)下的普通Helmholtz型聲子晶體和薄膜,且在1700 Hz以下范圍內(nèi)將原有一個帶隙擴展為多個帶隙;2)利用TMM與Rayleigh?Ritz法相結(jié)合的方式可以較為精確地計算出其帶隙上下限;3)該結(jié)構(gòu)的各帶隙分別對應(yīng)于腔口空氣和薄膜的各階振型,因此可以通過改變與腔口空氣通道或薄膜相關(guān)的參數(shù),在保證其中某些帶隙變化不大的情況下,單獨調(diào)整其他帶隙;與此同時,內(nèi)外腔體積對所有帶隙均有影響,故可通過調(diào)整其體積對所有帶隙進行調(diào)控.這些結(jié)論對構(gòu)建Helmholtz腔與薄膜耦合聲學(xué)超材料具有指導(dǎo)意義,有利于推動低頻隔聲技術(shù)的發(fā)展.