白 磊，李 擎，劉仍奎，趙新勇，王福田

(1.北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2.北京全路通信信號研究設計院集團有限公司，北京 100073；3.北京易華錄信息技術股份有限公司，北京 100043)

鐵路鋼軌是鐵路軌道設備的重要部件，具有承載輪重、橫向上引導車輪、提供光滑的運行表面等功能，它的強度和狀態(tài)直接關系到鐵路運輸?shù)陌踩?、平穩(wěn)和暢通。鐵路鋼軌維修規(guī)劃的優(yōu)化編制，對合理配置維修資源，降低維修成本，有效減少“過維修”“欠維修”等維修活動，保障行車安全等具有重要意義。

文獻[1]對鐵路軌道年度維修計劃、月度維修計劃、日維修計劃等有明確規(guī)定。鐵路現(xiàn)場缺少較長時間范圍軌道維修規(guī)劃的相關管理規(guī)章。決策者常以年為基本單位，按照百分比的形式，確定管轄范圍內的維修與大修任務量，缺乏對維修規(guī)劃的統(tǒng)籌編制。

鐵路軌道設備維修規(guī)劃、維修計劃編制建模大多采用組合優(yōu)化方法[2-9]。如Caetano等[2-3]提出了多目標的鐵路軌道維修規(guī)劃編制模型，分別選取了以軌道可靠性最大、成本最小相權衡的目標函數(shù)組，以及以軌道不可用度最小、成本最小相權衡的目標函數(shù)組。郭然等[6]提出了一個面向區(qū)域路網(wǎng)的鐵路軌道維修計劃編制模型，該模型采用整數(shù)規(guī)劃方法實現(xiàn)。周宇等[7]提出了一個以軌道狀態(tài)最優(yōu)為優(yōu)化目標的綜合維修計劃編制模型，該模型采用0-1整數(shù)規(guī)劃方法實現(xiàn)。李海峰等[8]提出了一個基于文獻[1]鐵路軌道綜合維修計劃編制模型。許玉德等[9]采用整數(shù)規(guī)劃方法，提出了一個以年度TQI平均值最小為目標函數(shù)的鐵路軌道綜合維修計劃編制模型。

以上研究在編制軌道設備維修規(guī)劃時，忽略了軌道設備狀態(tài)劣化的不確定性，均假設提出的軌道設備狀態(tài)劣化模型能準確預測未來的狀態(tài)。隱形馬爾科夫決策過程方法(Latent Markov Decision Process，LMDP)能以觀測概率矩陣的形式描述不同檢查方式的檢查誤差，以狀態(tài)轉移概率的形式表達設備狀態(tài)劣化的不確定性，確定出規(guī)劃周期內的檢查策略、維修策略。目前，LMDP的研究多集中在道路路面的維修規(guī)劃編制問題，鐵路軌道設備維修規(guī)劃編制問題的直接研究較少[10-12]。

依據(jù)鐵路基礎設施網(wǎng)格化管理思想[13]，本文按照一定長度把線性、連續(xù)的鋼軌設備，分割為相鄰、長度相同的小區(qū)段，稱之為鋼軌網(wǎng)格(Railway Rail Grids，RRG)。依據(jù)文獻[1]，線路是否需要采取更換鋼軌大修作業(yè)的重要依據(jù)是，每公里的鋼軌重傷根數(shù)是否達到閾值，故本文鋼軌網(wǎng)格的整體狀態(tài)采用每公里鋼軌重傷根數(shù)進行度量。

本文將鋼軌網(wǎng)格作為維修規(guī)劃的基本編制對象，構建一種新的基于LMDP的鋼軌設備維修規(guī)劃編制模型(LMDP-based Optimal Repair Planning Model for Railway Rail Grids，LMDP-ORPM)。該模型在解決鋼軌設備維修規(guī)劃編制問題時，采用了LMDP方法，將鋼軌劣化狀態(tài)的不確定性、不同檢查方式的檢測誤差不同等因素考慮在內；提出模型將鋼軌狀態(tài)劣化的異質性特征考慮在內，針對每個鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)劣化規(guī)律進行個性化地表達，準確評估鋼軌網(wǎng)格的使用壽命，故編制出的維修規(guī)劃更符合實際情況，更具針對性、指導性。

1 基于LMDP的鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修規(guī)劃編制模型

LMDP-ORPM以鋼軌網(wǎng)格為基本研究對象，由兩個子模型構成：鐵路鋼軌網(wǎng)格化狀態(tài)劣化規(guī)律子模型，用于預測鋼軌網(wǎng)格的未來狀態(tài)；鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修決策子模型，用于確定鋼軌網(wǎng)格的檢查規(guī)劃、維修規(guī)劃。

1.1 鐵路鋼軌網(wǎng)格化狀態(tài)劣化規(guī)律子模型

本模型將以鋼軌網(wǎng)格為基本研究對象，采用多階段Markov模型，綜合考慮各類異質性因素影響，充分利用鋼軌設備的歷史相關數(shù)據(jù)，個性化評估鋼軌網(wǎng)格的使用壽命，準確描述其狀態(tài)劣化規(guī)律，為鋼軌維修規(guī)劃的優(yōu)化編制奠定基礎。

根據(jù)文獻[14]，鋼軌設備的傷損病害等級分為4級，分別為不到輕傷、輕傷、重傷和折斷。隨著上道服役時間的增長，在不采取維修活動的條件下，鋼軌設備傷損狀態(tài)會逐步惡化，傷損等級會由輕傷發(fā)展為重傷，甚至折斷。鋼軌設備在不同生命周期階段的劣化速度不同，在生命周期階段初期，其劣化速度較慢，而在生命周期階段末期，其劣化速度逐漸加快[15]。因此本模型將鋼軌設備質量狀態(tài)劃分為若干等級，劣化過程細分為若干階段。

影響鋼軌設備狀態(tài)劣化的異質性因素都與空間位置緊密相關，不同空間位置處的異質性因素一般不同。為充分反映各類異質性因素對鋼軌設備狀態(tài)劣化規(guī)律的影響，個性化把握鐵路鋼軌狀態(tài)劣化趨勢，本模型以鋼軌網(wǎng)格為基本研究對象，采用Markov隨機過程理論，描述鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級在相鄰兩次檢查間變化的不確定性；各個狀態(tài)劣化階段的鋼軌網(wǎng)格壽命分布規(guī)律，利用不同的壽命分布函數(shù)表達，其相應的失效率由網(wǎng)格內的異質性因素確定。

鋼軌網(wǎng)格在日期tA的狀態(tài)等級X(tA)=i，則在日期tB的X(tB)=j的Markov轉移概率為

prob[X(tB)=j|X(tA)=i]=πij

(1)

式中：tA、tB分別為該鋼軌網(wǎng)格相鄰兩次檢查日期，鋼軌網(wǎng)格檢查周期Z=tB-tA。

本文采用多階段指數(shù)Markov模型[16-17]確定狀態(tài)轉移概率πij(i≤j；i=1,2,…,S-1；j=2,3,…,S)，S為狀態(tài)等級的總數(shù)，則πij為

πij=prob[X(tB)=j|X(tA)=i]=

(2)

同時

(3)

(4)

(5)

θi=χβi

(6)

式中：θi為鋼軌網(wǎng)格由狀態(tài)等級i劣化到i+1的失效率，i=1,2,…,S-1；χ為鋼軌網(wǎng)格的異質性因素；βi為χ對鋼軌網(wǎng)格由狀態(tài)等級i劣化到i+1的影響程度，i=1,2,…,S-1，可采用鋼軌歷史數(shù)據(jù)計算得到。

1.2 鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修決策子模型

本模型將在準確把握鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劣化規(guī)律的基礎上，采用隱形馬爾科夫決策過程方法LMDP，構建鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修決策子模型，以期望總成本最小為優(yōu)化目標，確定出規(guī)劃周期內的最優(yōu)的檢查規(guī)劃、維修規(guī)劃。

依據(jù)以下兩點分析，選擇采用隱形馬爾科夫決策過程方法LMDP：(1)隱形馬爾科夫決策過程LMDP強調，系統(tǒng)在下一個日期的狀態(tài)，只與當前日期的狀態(tài)、當前日期采取的行動有關，與之前日期的狀態(tài)無關，且這種關系是以概率的形式描述的；(2)隱形馬爾科夫決策過程LMDP中的系統(tǒng)狀態(tài)細分為兩類：真實狀態(tài)(或隱藏狀態(tài))、觀測狀態(tài)，且以概率的形式描述真實狀態(tài)與觀測狀態(tài)的關系。

1.2.1 模型的關鍵要素

基于狀態(tài)的鐵路鋼軌維修策略模型，采用隱形馬爾科夫決策過程LMDP進行構建，其關鍵要素為

(7)

(3)ηik(e)為鋼軌網(wǎng)格在日期t采取檢測活動Ct=e時，其真實狀態(tài)為i且觀測狀態(tài)為k的概率，見式(8)。若不采取檢查活動，Ct=0，對于真實狀態(tài)為j的鋼軌網(wǎng)格，其觀測狀態(tài)為任意狀態(tài)的概率是相等的，即鋼軌網(wǎng)格的各個狀態(tài)都有相同的概率被觀測到[12]，見式(9)。

(8)

(9)

(5)πij(a)表示鋼軌網(wǎng)格在日期t的真實狀態(tài)為i，采取維修活動At=a后，在日期t+1真實狀態(tài)為j的概率，見式(10)。不同維修活動At的相應的狀態(tài)轉移概率πij(At)不同。

πij(a)=P(Xt+1=j|Xt=i,At=a)

(10)

(11)

πij(a)≥0

(12)

(6)ξ1(Xt,At)為鋼軌網(wǎng)格在日期t采取維修活動At的成本；ξ2(Ct+1)為在日期t+1采取檢查活動Ct+1的成本；Rt為ξ1(Xt,At)與ξ2(Ct+1)之和，即

Rt=g(Xt,At,Ct+1)=ξ1(Xt,At)+

ξ2(Ct+1)t=1,2,…,T-1

(13)

式中：T為規(guī)劃周期結束日期。

RT為鋼軌網(wǎng)格在日期T采取維修活動AT的成本ξ1(XT,AT)，即

RT=ξ1(XT,AT)

(14)

其中，維修成本ξ1(Xt,At)由鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)Xt、采取的維修活動At的決定。若在日期t不采取維修活動，At=0，ξ1(Xt,0)表示由鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)Xt持續(xù)劣化導致的損耗。檢查成本ξ2(Ct)由采取的檢查活動Ct決定，當在日期t不采取檢查活動，Ct=0，相應的檢查成本ξ2(0)=0。

(7)δ為隨時間變化的折扣率，表示采取相同檢查與維修活動時日期t的成本Rt與日期t-1的成本Rt-1的比值，δ=Rt/Rt-1。δ越小，表明當前成本與未來相比價值越高。

1.2.2 模型的決策變量

模型LMDP-ORPM在整個規(guī)劃周期內的決策變量包括兩部分：(1)維修決策：決定在日期t采取維修活動At(1≤t≤T)的類型；(2)檢查決策：決定在日期t+1是否采取檢查活動Ct+1(2≤t≤T)。

假設鋼軌網(wǎng)格初始狀態(tài)X1已知，鋼軌網(wǎng)格在一個規(guī)劃周期內的維修決策過程示意圖見圖1。在日期t，決策者根據(jù)鋼軌網(wǎng)格的Xt，決定采取的At與Ct+1；在日期t+1，根據(jù)狀態(tài)轉移概率πij(At)，鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)由Xt轉移到Xt+1，決策者根據(jù)鋼軌網(wǎng)格的Xt+1，決定采取的At+1與Ct+2；然后以此類推一直循環(huán)到日期T，決策者根據(jù)鋼軌網(wǎng)格的XT，決定采取的AT，整個維修決策過程結束。在上述整個維修決策過程中，每個日期t都會產(chǎn)生相應的檢查、維修成本Rt(1≤t≤T)。

圖1 鋼軌網(wǎng)格在給定規(guī)劃周期內的檢查與維修決策過程示意圖

1.2.3 模型的目標函數(shù)

模型LMDP-ORPM的目標函數(shù)是整個規(guī)劃周期內的期望總成本函數(shù)最小，期望總成本函數(shù)由以下兩部分構成：(1)檢查、維修活動的成本Rt;(2)規(guī)劃周期結束時的鋼軌網(wǎng)格剩余價值GT+1，見圖 1。其中，Rt=g(Xt,At,Ct+1)，由鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)Xt、維修活動At、檢查活動Ct+1的決定。GT+1=u(XT+1)，表示規(guī)劃周期結束時的該鋼軌網(wǎng)格里程范圍內全部鋼軌的使用價值，由該鋼軌網(wǎng)格里程范圍內全部鋼軌的狀態(tài)決定。規(guī)劃期結束時的鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)越好，相應的剩余價值越大。

vt(It)為從日期t開始至規(guī)劃周期結束時的最小期望總成本。It(1≤t≤T+1)為鋼軌網(wǎng)格從初始時刻到日期t的跨度內，由維修活動、檢查活動、觀測狀態(tài)等元素構成的集合，可通過式(15)～式(17)遞歸得到，如IT+1的具體集合形式，見式(18)。

(15)

I1={X1}

(16)

IT+1={IT,AT}

(17)

(18)

整個規(guī)劃周期內的最小期望總成本vt(It)可通過式(19)、式(20)遞歸得到。當1≤t≤T-1時，vt(It)由檢查、維修活動的成本Rt，及日期t+1的vt+1(It+1)決定，見式(19)；當t=T時，vT(IT)由檢查、維修活動的成本RT，及規(guī)劃周期結束時的鋼軌網(wǎng)格剩余價值GT+1決定，見式(20)。式中EY|W[·]表示在給定W條件下，所有可能Y相應[·]的平均值。

(19)

(20)

2 實例驗證

2.1 背景介紹

為驗證模型LMDP-ORPM的有效性，作者采集了47 304條隴海鐵路6年(2010年1月到2016年1月)中K1397+000～K1720+000上下行區(qū)段內的鋼軌傷損數(shù)據(jù)。為便于模型LMDP-ORPM的分析結果與鐵路現(xiàn)場實際情況進行對比，本實例中鋼軌網(wǎng)格的長度設置為1 km，故上述里程范圍內的鋼軌網(wǎng)格數(shù)量為648個。本實例將研究這些鋼軌網(wǎng)格個性化的狀態(tài)劣化趨勢，最優(yōu)化以10年為規(guī)劃周期的鋼軌網(wǎng)格檢查與維修策略。規(guī)劃周期的基本單位為年，時間范圍為10年，即T=10年。成本隨時間推移的折扣率δ取0.9。

表1 隴海線鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級劃分標準及其大修策略

另外，鋼軌網(wǎng)格在本實例中的檢查方式有兩類：(1)鋼軌探傷檢查，C=1，相應的鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)觀測概率ηik(1)，見式(21)；(2)不采取檢查活動，C=0。依據(jù)式(9)，相應的鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)觀測概率ηik(0)，見式(22)。蘭州局一般按照1次/月的頻率，定期地組織安排隴海線的鋼軌探傷檢查活動。在本實例中，若第t年的檢測活動的檢測方式Ct=1，表明第t年內的各月都采取鋼軌探傷檢查活動。

(21)

(22)

鋼軌網(wǎng)格在本實例中的維修活動類型有兩類：(1)整體更換鋼軌大修，A=1，對應鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)轉移概率為πij(1)；(2)不采取維修活動，A=0，對應鋼軌網(wǎng)格的狀態(tài)轉移概率πij(0)。不同類型鋼軌維修活動的費用，可在隴海鐵路的現(xiàn)場調研中獲取。

2.2 模型結果分析

2.2.1 狀態(tài)劣化規(guī)律子模型結果分析

表2 影響隴海線鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)劣化的異質性因素標定系數(shù)

注：(·)中的值表示待估參數(shù)的標準差。

(23)

(24)

依據(jù)得到的待估參數(shù)β，根據(jù)式(23)、式(24)，可評估出本實例中隴海線各鋼軌網(wǎng)格的使用壽命。

圖2展示了鋼軌網(wǎng)格使用壽命隨里程的變化趨勢。圖中的鋼軌網(wǎng)格位于隴海線上下行1 560 ～1 610 km里程范圍內，是全部研究對象的一部分。由圖 2可知：(1)處于不同空間位置的鋼軌網(wǎng)格使用壽命不同、狀態(tài)劣化規(guī)律不同；(2)上行與下行鋼軌網(wǎng)格的使用壽命隨里程的變化趨勢基本一致。

圖2 隴海線上下行1 560～1 610 km里程范圍內網(wǎng)格使用壽命對比圖

本實例采用鋼軌上道服役日期、更換報廢日期數(shù)據(jù)，統(tǒng)計計算鋼軌的真實使用壽命。(1)鋼軌網(wǎng)格整體角度對比，計算出的全部研究對象的平均真實使用壽命是7.57年，模型LMDP-ORPM評估的出的全部研究對象的平均使用壽命是7.61年。(2)鋼軌網(wǎng)格個體角度對比，全部研究對象(648個鋼軌網(wǎng)格單元)中僅有94個鋼軌網(wǎng)格評估使用壽命與真實使用壽命差別在3年以上，占總體的14.5%。因此，上述計算結果表明，評估出的鋼軌網(wǎng)格壽命整體上非常接近真實值，可滿足鐵路現(xiàn)場鋼軌管理需求。

2.2.2 維修決策子模型結果分析

表3 RG-A的狀態(tài)轉移概率(不采取維修活動)

假設鋼軌網(wǎng)格RG-A在初始日期(t=1)前，剛采取了整體更換鋼軌大修作業(yè)，則在日期t=1時該鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)等級為1，不需要采取鋼軌探傷檢查活動。經(jīng)計算，10年規(guī)劃周期內的期望總成本最小值v1(I1)為232.64萬元，相應的檢查策略、維修策略如下。

(1)求解出的最優(yōu)檢查策略見式(25)和圖3(a)。鋼軌網(wǎng)格RG-A在{3,4,…,8}采取鋼軌探傷檢查活動，在 {1,2}∪{9,10}不采取檢查活動。

(25)

(2)求解出的最優(yōu)維修策略見式(26)和圖3(b)。鋼軌網(wǎng)格RG-A在第8年采取整體更換鋼軌大修活動，在{1,2,…,7}∪{9,10}不采取大修活動。

(26)

為驗證模型LMDP-ORPM的有效性，本實例將對比分析模型LMDP-ORPM與中國鐵路既有管理方法的計算結果。根據(jù)文獻[1]及蘭州鐵路局的實施細則，位于隴海線上行K1595+000～K1596+000里程范圍處的鋼軌網(wǎng)格RG-A，基本上是按照1次/月的檢查頻次，定期組織實施鋼軌探傷的檢查活動。相應的檢查策略見式(27)和圖 3(c)。

(27)

中國鐵路既有管理辦法判定是否成段更換鋼軌大修作業(yè)的重要依據(jù)是，鋼軌上道后至需要更換前的累計通過總重是否達到閾值。鋼軌網(wǎng)格RG-A的累計通過總重閾值為700 Mt，年平均通過總重為96.588 Mt，故其成段更換鋼軌大修周期為7.2年。相應的維修策略詳見式(28)和圖 3(d)。

(28)

通過對比式(25)與式(27)、式(26)與式(28)及分析圖 3可知，(1)模型LMDP-ORPM確定出的鋼軌網(wǎng)格RG-A的鋼軌探傷檢查活動次數(shù)為6次，少于中國鐵路既有的管理方法規(guī)定的檢查次數(shù)(10次)。(2)兩種方法編制出的整體更換鋼軌大修作業(yè)的次數(shù)是相同的，但模型LMDP-ORPM確定出的大修活動的實施時間，相較于中國鐵路既有的管理方法推遲了1年。(3)模型LMDP-ORPM確定出的鋼軌網(wǎng)格RG-A整體更換鋼軌大修活動規(guī)劃與中國鐵路既有的管理方法的區(qū)別是，前者是基于鋼軌網(wǎng)格個性化的狀態(tài)劣化規(guī)律和10年規(guī)劃周期內的總成本最小確定的，而后者則僅考慮了累計通過總重閾值。(4)若采用基于閾值的鐵路既有的管理方法，具有相同年平均通過總重的隴海線鋼軌網(wǎng)格的維修規(guī)劃是相同的，但模型LMDP-ORPM考慮了鋼軌狀態(tài)劣化的異質性、不確定性，故編制出的維修規(guī)劃是有差異的，更符合實際情況，更具針對性、指導性。

綜上分析，模型LMDP-ORPM在準確把握鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)個性化的劣化規(guī)律的基礎上，基于鋼軌狀態(tài)、成本，編制出鋼軌網(wǎng)格在一個較長規(guī)劃周期內的維修規(guī)劃，相較于基于閾值的中國鐵路既有管理方法，實現(xiàn)了維修資源的統(tǒng)籌配置、維修成本的節(jié)省。

圖3 不同方法編制出的鋼軌網(wǎng)格RG-A維修規(guī)劃圖

3 結論

本文研究構建了一種基于LMDP的鐵路鋼軌網(wǎng)格化維修規(guī)劃編制模型LMDP-ORPM。該模型依據(jù)鐵路基礎設施網(wǎng)格化管理思想，以鋼軌網(wǎng)格為研究對象，采用多階段Markov模型，個性化描述了鋼軌網(wǎng)格狀態(tài)變化規(guī)律；在此基礎上，采用隱形馬爾科夫決策過程方法LMDP，建立了基于狀態(tài)的維修策略模型，確定出一個較長規(guī)劃周期內的最優(yōu)檢查策略、維修策略。隴海線的實際案例表明，模型LMDP-ORPM編制出的10年鐵路鋼軌維修規(guī)劃，優(yōu)于既有的管理方法，優(yōu)化配置了維修資源。如何將編制出的維修規(guī)劃進一步細化到維修工序層面，構建鐵路鋼軌維修進度計劃編制模型，是作者下一步的研究方向。