首先,對任意M＞1的自然數(shù),令T=,要通過微積分嚴(yán)格證明X=TTT…(無窮多個T)的寫法是成立的。用微積分的術(shù)語來說,TTT…是存在極限的,令a1=T,a2=TT,…,an=TT…T(即n個T重次方),對于數(shù)列a1,a2,…,an來說,先證明數(shù)列是單調(diào)遞增的,因為所以an=TT…T＞TT…1=an-1(TT…1指前面n-1個次方都是T,最后一個次方等于1)。

以上說明數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的,又因為所以an=TT…T＜TT…M=M,(TT…M指前面n-1個次方都是T,最后一個次方為M),所以數(shù)列{an}是上方有界的,上方有界且單調(diào)遞增序列必有極限,而當(dāng)n趨于無窮時,恰為TTT…,這就證明TTT…是存在極限的。也就是x=TTT…的寫法是有意義的,而且因為T＞1,所以x≥1。那么極限x必須滿足即,很顯然單純從這個方程來看,x=M是方程的的一個根。而前面采用簡單數(shù)學(xué)方法推理存在的問題,一是不嚴(yán)謹(jǐn),沒有證明TTT…極限的存在,就默認(rèn)它存在,二是想當(dāng)然地認(rèn)為當(dāng)時,x只能等于M。滿足只是x等于TTT…的必要條件,而不是充分條件,如果根在(1,+∞)上唯一,確實只能是x=M,如果根不唯一,則還需要在眾多根中找出唯一符合條件的那個根。

圖1

由圖中可以看出,當(dāng)x＞1時,曲線的最高坐標(biāo)為曲線在(1,e)區(qū)間上時較為陡峭,在(e,+∞)上時則相對平緩,并且當(dāng)x趨于無窮時,函數(shù)的曲線以y=1為漸近線,因此對于,都與曲線有二個交點,特別是當(dāng)時恰與曲線在點(e,相切。

當(dāng)M取特殊值e,時,同樣可以證明x=TTT…存在極限,恰滿足由于因為f(x)在(0,1)上遞增,因此f(x)在(0,1)上都小于0,同樣在(e,+∞)上也小于0,因此在(1,+∞)上只有唯一根e,也就是說(即無窮多個次方),對任意M＞1的自然數(shù),T=,因為T＜e,所以x=TTT…＜eee…=e,所以TTT…的極限x必定符合且x＜e,所以TTT…這個極限只能是方程的左根,右根雖然滿足但卻大于TTT…,只能是TTT…=αM。而當(dāng)M=2時,x=2滿足條件2＜e,且因此成立,而對于M＞的多窮多個次方不等于M,而是等于一個存在于(1,e)之間,滿足的左根αM,這個αM未必有M的確定數(shù)學(xué)表達(dá)式形式,但肯定唯一存在。

很明顯,αM是一個由M確定的數(shù),進(jìn)一步的研究可以得出,對任意二個自然數(shù)M＞N＞e,函數(shù)在(e,+∞)上遞減,所以所以很容易得出αM＜αN,這與前面類比方法得出等于M這個結(jié)論是恰好相反的,即的無窮多個次方隨著M的增大,這個極限數(shù)據(jù)是越來越小的,但都大于1。