要想尋找函數(shù)零點就需要用到漸近線,在早些年的高中數(shù)學(xué)教材里,漸近線是以簡單要求出現(xiàn)的；近十幾年,新課標(biāo)教材為減少課業(yè)負(fù)擔(dān),把這一內(nèi)容刪除了。然而我們在日常的數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn),漸近線卻是時常出現(xiàn)的。

一、司空見慣的漸近線概念

圖1

在高一數(shù)學(xué)中,有一個函數(shù)由于圖像存在漸近線而顯得很重要,它就是雙鉤函數(shù),即其中ab≠0。它有兩條漸近線,即y軸直線和方程為y=ax的直線。

圖2

圖3

二、漸近線總是伴隨著圖像變換

倒數(shù)變換是常見的圖像變換,在倒數(shù)變換中,漸近線是伴隨品,要認(rèn)識變換后的圖像性質(zhì),必須重視相應(yīng)的漸近線存在。同學(xué)們在研究下面的四個例子時,也請注意原函數(shù)的零點或者趨向于無窮大的情況在倒數(shù)變換后的作用與變化。

1.從f(x)=x2+x+1到f(x)=,如圖4所示,其中,x軸是漸近線。

圖4

2.從f(x)=到如圖5所示,其中,直線x軸與直線是漸近線。

圖5

3.從f(x)=x2+x-2到f(x)=,如圖6所示,其中,直線x軸與直線x=-2、x=1等三條直線都是漸近線。

圖6

4.從f(x)=lnx到,如圖7所示,其中,x軸、x=1兩條直線是漸近線,原點是空點。

另外,對漸近線的分類,人們習(xí)慣從它與x軸的相對關(guān)系角度去看待,可以分成三類：(1)水平的漸近線；(2)鉛直的漸近線；(3)斜漸近線。

圖7

三、總結(jié)

有了倒數(shù)變換的這一基礎(chǔ)知識后,碰到一些分母含有變量分子為常數(shù)的函數(shù),我們就可以考慮從分母這個基礎(chǔ)函數(shù)出發(fā),進(jìn)行倒數(shù)圖像變換,達(dá)到認(rèn)識目標(biāo)函數(shù)的目的了。

在圖像的倒數(shù)變換時,即分子是常數(shù)且分母是含有變量的函數(shù),或可以化成這樣的函數(shù),需要重視原來函數(shù)的零點和函數(shù)值趨向于無窮大的情況,它們都能產(chǎn)生漸近線,這些漸近線對我們畫出陌生函數(shù)的圖像,認(rèn)識其性質(zhì),進(jìn)而解決問題都有很大用處。