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        一道蘭州市一診數(shù)學選擇題中體現(xiàn)的立體幾何思想方法

        2019-11-08 03:14:02
        關(guān)鍵詞:補角異面棱錐

        2019年3月的蘭州市一診數(shù)學試卷中選擇題第10題是這樣的:在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,AB=1,PD=2,則異面直線PA與BD所成角的余弦值為()。

        方法一:平移思想之中位線定理的應(yīng)用

        圖1

        分析:異面直線PA與BD所成的角,需平移其中的一條直線和另外一條相交,或者平移其中的兩條到相交。我們通過中位線定理可以做到平移,取AD,AB,PD的中點E,F,G,連接EF,EG,FG,如圖1,由中位線定理可得EF∥BD,EG∥AP,EF=BD,EG=AP,則AP與BD所成的角即為∠FEG,由題給條件可得由于異面直線所成的角是銳角或直角,故所求的角其實是∠FEG的補角,故答案是選D。

        方法二:補形的思想,將要求的幾何體補成我們熟悉或者簡單的幾何體

        分析:由于本題有條件PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,所以我們將四棱錐P-ABCD補成長方體PA′B′C′-DABC(如圖2所示),則容易看出AP∥BC′,AP與BD所成的角即為∠C′BD,由題意可得在△C′BD中由余弦定理可得cos∠C′BD

        圖2

        方法三:延展平面

        圖3

        分析:將底面ABCD延展為矩形D′C′CD(如圖3所示),使得D′D=2,D′C′=1,連接AC′,則可以看出AC′∥DB,AC′=BD,這時異面直線AP與BD所成的角即為∠PAC′的補角,在△C′PA中通過計算可得

        方法四:向量法

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