陳瑞華 曹柏楊

摘要：作為風(fēng)險(xiǎn)管理和財(cái)富管理的重要衍生工具，上證50ETF期權(quán)合約自2015年上市以來，已經(jīng)成為全球流動(dòng)性最好的期權(quán)品種之一，學(xué)術(shù)界對(duì)于其定價(jià)理論及其波動(dòng)率的研究也在日益深入。本文主要研究上證50ETF期權(quán)隱含波動(dòng)率的擬合問題，從SABR隨機(jī)波動(dòng)率模型出發(fā)，在剔除BorrowRate對(duì)于期權(quán)隱含波動(dòng)率的影響后，對(duì)上證50ETF期權(quán)波動(dòng)率進(jìn)行實(shí)證分析。同時(shí)，為提升SABR模型在參數(shù)優(yōu)化方面的效率與穩(wěn)定性，本文引入了遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。實(shí)證結(jié)果表明，SABR模型可以對(duì)當(dāng)前上證50ETF期權(quán)隱含波動(dòng)率進(jìn)行有效的擬合與估計(jì)，但對(duì)于深度實(shí)值期權(quán)與深度虛值期權(quán)而言，SABR模型的誤差仍有待進(jìn)一步優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán) 隱含波動(dòng)率 SABR模型 遺傳算法

一、研究背景

2015年2月9日，我國(guó)首只場(chǎng)內(nèi)期權(quán)品種——上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所上市交易，開啟了我國(guó)資本市場(chǎng)的“期權(quán)”之門，也為我國(guó)資本市場(chǎng)的穩(wěn)健發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。目前，上證50ETF期權(quán)已發(fā)展成為全球流動(dòng)性最好的期權(quán)品種之一。圖1顯示了自上市日起至2019年6月30日上證50ETF期權(quán)合約日成交量的變化情況。從交易統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，2015年上證50ETF期權(quán)合約日均成交量為10. 63萬張，2019年日均成交量達(dá)到246.80萬張，日均成交量增長(zhǎng)了23.21倍。

上證50ETF期權(quán)交易的日漸活躍帶來了期權(quán)市場(chǎng)的全面繁榮發(fā)展。2017年以來，我國(guó)先后上市了豆粕、白糖、銅、天然橡膠、棉花和玉米期權(quán)，迎來了商品期權(quán)的百花齊放時(shí)代，股指期權(quán)、利率期權(quán)和更多的商品期權(quán)也在醞釀推出。隨著我國(guó)衍生品工具運(yùn)用和市場(chǎng)運(yùn)行的日益完善，期權(quán)在規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，促進(jìn)市場(chǎng)穩(wěn)定方面的作用日益重要，已成為不可或缺的風(fēng)險(xiǎn)管理和財(cái)富管理工具。因此，深化對(duì)期權(quán)理論和應(yīng)用的研究十分必要。

期權(quán)的定價(jià)與對(duì)沖一直以來都是期權(quán)研究的核心問題。目前，市場(chǎng)上主流的期權(quán)定價(jià)模型是基于偏微分方程的Black - Scholes - Merton模型（1973）和動(dòng)態(tài)規(guī)劃的二叉樹模型（1979）。B-S-M模型假設(shè)價(jià)格是服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的，但在現(xiàn)實(shí)的期權(quán)市場(chǎng)交易中，B-S-M模型所假設(shè)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布及波動(dòng)率為常數(shù)的這一條件與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)并不相符，模型不能解釋“波動(dòng)率微笑”和“杠桿效應(yīng)”，導(dǎo)致期權(quán)理論定價(jià)與真實(shí)市場(chǎng)交易價(jià)格存在一定的偏差。相對(duì)B-S-M模型而言，二叉樹模型可以針對(duì)不同類型的期權(quán)定價(jià)，尤其適用于特殊期權(quán)的定價(jià)，但該模型的預(yù)測(cè)值與期權(quán)市場(chǎng)的真實(shí)價(jià)格相比誤差也很大，并且模型的擬合速度隨模型預(yù)測(cè)期數(shù)增加而下降。

針對(duì)B-S-M模型和二叉樹模型的缺陷，為了提高模型預(yù)測(cè)的精確性和擬合速度，理論界對(duì)B-S-M模型波動(dòng)率為常數(shù)這一假設(shè)進(jìn)行了擴(kuò)展，并用控制變量的方法，增加時(shí)間變量，將期權(quán)價(jià)格看作是時(shí)間的函數(shù)，提出了隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型和隨機(jī)波動(dòng)跳躍（SVJ）模型，得以估計(jì)預(yù)測(cè)隱含波動(dòng)率。定價(jià)參數(shù)的改進(jìn)提高了假設(shè)條件與期權(quán)市場(chǎng)實(shí)際定價(jià)的吻合程度，進(jìn)而提高了模型預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。

值得指出的是，理論界對(duì)期權(quán)定價(jià)模型的深入研究是與期權(quán)市場(chǎng)的不斷發(fā)展完善同步的，尤其是關(guān)于期權(quán)定價(jià)的實(shí)證研究。Hull和White（1987，1988）、Heston（1993）首先提出了隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)模型。隨后出現(xiàn)了許多在不同分布假設(shè)下對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)的研究。Corrado和Su（1998）通過對(duì)SP500指數(shù)期權(quán)的實(shí)證研究，對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)進(jìn)行了估算和預(yù)測(cè)，揭示了隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。Saurabha和Tiwari（2007）則引入偏度和峰度兩個(gè)統(tǒng)計(jì)變量，使用波動(dòng)率估計(jì)深度貨幣期權(quán)和深度價(jià)外期權(quán)的價(jià)格，得出了更接近期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格的預(yù)測(cè)結(jié)果。

SABR模型（2002）是由Hagan提出的一種隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)模型，其假設(shè)隱含波動(dòng)率符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并將隱含波動(dòng)率設(shè)定為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和合約行權(quán)價(jià)格的函數(shù)，同時(shí)將隨機(jī)波動(dòng)率模型與局部波動(dòng)率模型相結(jié)合，可以更加準(zhǔn)確地動(dòng)態(tài)刻畫市場(chǎng)隱含波動(dòng)率曲線。SABR模型由于結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，具有解析解形式，并且對(duì)于波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)能夠進(jìn)行一致度量，因此成為被廣泛應(yīng)用的隨機(jī)波動(dòng)率模型。

本文從SABR模型出發(fā)，在剔除Borrow Rate對(duì)于期權(quán)隱含波動(dòng)率的影響后，對(duì)上證50ETF期權(quán)波動(dòng)率進(jìn)行實(shí)證分析，探討上證50ETF期權(quán)隱含波動(dòng)率的擬合問題。同時(shí)，為提升SABR模型在參數(shù)優(yōu)化方面的效率與穩(wěn)定性，還引入了遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

二、SABR模型及其參數(shù)估計(jì)

（一）SABR模型

SABR模型擴(kuò)展了原始的B-S-M模型中關(guān)于波動(dòng)率為恒定常數(shù)的假設(shè)條件，假設(shè)期權(quán)的隱含波動(dòng)率同樣服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)隱含波動(dòng)率是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)合約行權(quán)價(jià)格的函數(shù)，同時(shí)假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格F及其波動(dòng)率α均為隨機(jī)過程，且兩個(gè)隨機(jī)過程之間具有相關(guān)系數(shù)ρ。

其中，因子F與Aα是隨機(jī)的，參數(shù)β，ν，ρ為常數(shù)。參數(shù)ν表示波動(dòng)率的聚集狀態(tài)，可以看作是波動(dòng)率的波動(dòng)率;參數(shù)β∈[0，1]決定標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)格與平值期權(quán)隱含波動(dòng)率之間的關(guān)系：如果β≈1，就表明在市場(chǎng)價(jià)格正常波動(dòng)情況下，平值期權(quán)的隱含波動(dòng)率影響不顯著;如果β《1，則說明平值期權(quán)隱含波動(dòng)率和市場(chǎng)價(jià)格運(yùn)動(dòng)方向相反，尤其在β趨近于0時(shí)，這種現(xiàn)象就更加明顯。此外，對(duì)于該模型而言，當(dāng)β趨近于1時(shí)，該隨機(jī)模型接近對(duì)數(shù)正態(tài)分布，當(dāng)趨近于0時(shí)，該隨機(jī)模型接近正態(tài)分布。

需要注意的是，對(duì)上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的過程中，不同的優(yōu)化方法對(duì)于優(yōu)化結(jié)果均有一定的影響。本文通過使用遺傳算法對(duì)參數(shù)ν，ρ進(jìn)行優(yōu)化。

（三）遺傳算法

遺傳算法借鑒了生物界自然選擇和自然遺傳的機(jī)制，是一種高效、并行、全局搜索的隨機(jī)搜索算法。遺傳算法與傳統(tǒng)算法之間的區(qū)別在于，大多數(shù)經(jīng)典優(yōu)化算法都是基于單一的度量函數(shù)的梯度或高階統(tǒng)計(jì)來生成確定性的試驗(yàn)解序列;遺傳算法則是通過模擬自然演化過程來搜索最優(yōu)解，而不需要依賴梯度信息。遺傳算法能在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識(shí)，并能自適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解。借助遺傳算法對(duì)SABR模型中的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，是一種具有更高優(yōu)化效率的參數(shù)估計(jì)方法。