■陳竹林

如果函數(shù)y=f（x）在x=a處的函數(shù)值等于零，即f（a）=0，則稱a為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，也即函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根。因此函數(shù)的零點(diǎn)把函數(shù)與方程緊密地聯(lián)系在一起。函數(shù)的零點(diǎn)，不僅體現(xiàn)了方程與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，也展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，且已成為高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)。下面歸納總結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)在解題中的應(yīng)用。

一、利用函數(shù)的零點(diǎn)解不等式

例1二次函數(shù)y=a x2+b x+c的部分對(duì)應(yīng)值如表1。

表1

則不等式a x2+b x+c＞0的解集是

解：由表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為-2和3，這兩個(gè)零點(diǎn)將其余實(shí)數(shù)分為三個(gè)區(qū)間：（-∞，-2），（-2，3），（3，+∞）。在區(qū)間（-∞，-2）中取特殊值-3，由于f（-3）=6＞0，因此根據(jù)二次函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的性質(zhì)可得，當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，都有f（x）＞0;當(dāng)x∈（-2，3）時(shí)，都有f（x）＜0;當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，都有f（x）＞0。故所求不等式的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）。

二次函數(shù)的圖像是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)（不是二重零點(diǎn)）時(shí)，函數(shù)值變號(hào)，并且在任意兩個(gè)相鄰的變號(hào)零點(diǎn)之間函數(shù)值保持同號(hào)，根據(jù)二次函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)的這一性質(zhì)，可以求解一元二次不等式。

練習(xí)1：解不等式：-3x2+7x+6＞0。

提示：設(shè)函數(shù)g（x）=-3x2+7x+6。令g（x）=-3x2+7x+6=0，解得或x=3。

二、利用函數(shù)的零點(diǎn)求其他函數(shù)的零點(diǎn)

例2若函數(shù)f（x）=a x+b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g（x）=b x2-a x的零點(diǎn)是（ ）。

解：由已知可得b=-2a，所以g（x）=-2a x2-a x=-a（2x2+x）。令g（x）=0，解得應(yīng)選C。

函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，由此得到b=-2a是解題的關(guān)鍵。

練習(xí)2：設(shè)x0為函數(shù)f（x）=s i n πx的零點(diǎn)，且滿足，則這樣的零點(diǎn)有（ ）。

A.61個(gè) B.63個(gè)

C.65個(gè) D.67個(gè)

提示：依題意可知f（x0）=s i nπx0=0，可得πx0=kπ，k∈Z，即x0=k，k∈Z。當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)所以，即|k|＜34，滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個(gè)。當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)所以，即|k|＜32，滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個(gè)。綜上所述，滿足題意的零點(diǎn)共有34+31=65（個(gè)），應(yīng)選C。

三、已知方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)f（x）=其中 。若存在實(shí)m＞0數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，求m的取值范圍。

解：畫出函數(shù)f（x）與y=b的圖像，如圖1所示。

圖1

當(dāng)x＞m時(shí)，x2-2m x+4m=（x-m）2+4m-m2，要使方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則4m-m2＜m，即m2-3m＞0，可得m＞3或m＜0。又m＞0，故m＞3。

已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)的取值范圍有三種常用的方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍。（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決。（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解。

練習(xí)3：若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

提示：因?yàn)?，即x≥0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，就是函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。函數(shù)可視為關(guān)于的一元二次函數(shù)，令可得y=f（t）=t2-8t+b，畫出函數(shù)f（t）的圖像，如圖2所示。

圖2

四、利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，求參數(shù)的值（或范圍）

例4已知關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的兩根x1，x2滿足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：依題意可知關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的兩根x1，x2滿足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），即函數(shù)f（x）=3x2-5x+a的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足x1∈（-2，0），x2∈（1，3），所以結(jié)合二次函數(shù)f（x）=3x2-5x+a的圖像可得由此代入解得-12＜a＜0。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-12，0）。

由于函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，所以在研究方程的有關(guān)問(wèn)題，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等時(shí)，都可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像加以解決。

練習(xí)4：若函數(shù)f（x）=2a x2-x-1在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

提示：顯然，a≠0。當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可得解得a1;＞

當(dāng)函數(shù)f（x）有唯一的零點(diǎn)時(shí)，可得Δ=0，即，此時(shí)零點(diǎn)為-2?（0，1），不合題意。

綜上可知，a＞1。