■向正銀

對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，解答這類問題需要與函數(shù)的圖像與性質(zhì)相結(jié)合求解。

一、方程法

例1已知分段函數(shù)f（x）=則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是（ ）。

解：當(dāng)x≤1時(shí)，由f（x）=2x-1=0，解得x=0;當(dāng)x＞1時(shí)，由f（x）=2-log2x=0，解得x=4。

故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是0和4。應(yīng)選D。

對(duì)于函數(shù)y=f（x），令f（x）=0，若能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。本題是求分段函數(shù)的零點(diǎn)，可分別解指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程得出結(jié)果。

二、定理法

例2設(shè)f（x）=x3+b x+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)（ ）。

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根

B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有唯一的實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

解：由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，且，可知函數(shù)f（x）在上有唯一的零點(diǎn)，所以方程f（x）=0在[-1，1]上有唯一的實(shí)數(shù)根。應(yīng)選C。

零點(diǎn)存在性定理成立的兩個(gè)條件：一是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線;二是f（a）·f（b）＜0。這兩個(gè)條件缺一不可，如果其中一個(gè)條件不成立，那么就不能使用該定理。

三、圖像法

例3函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：令f（x）=2x|log0.5x|-1=0，可得

分別設(shè)函數(shù)y=g（x）=|log0.5x|和函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=g（x）與y=h（x）的圖像（簡圖），如圖1所示。

圖1

由圖1可知，兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)選B。

解答本題時(shí)，需要把求函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=|log0.5x|與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來求解，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用。