■任海濤

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題處理有三種方法，即解方程，用定理，畫(huà)圖像。下面介紹函數(shù)的零點(diǎn)的常見(jiàn)典型考題，供大家學(xué)習(xí)與參考。

題型一：函數(shù)零點(diǎn)的意義

例1函數(shù)y=（x2-2x）2-9的圖像與

x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

解：令（x2-2x）2-9=0，則（x2-2x+3）（x2-2x-3）=0，解得x=-1或x=3，即有2個(gè)根。故函數(shù)y=（x2-2x）2-9的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2。

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y=f（x）圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

題型二：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，確定零點(diǎn)所在的范圍

例2設(shè)x0是方程的解，則x0屬于區(qū)間（ ）。

A.（0，1） B.（1，2）

C.（2，3） D.（3，4）

解：構(gòu)造函數(shù)

由f（1）＜0，f（2）＞0，可得函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)屬于區(qū)間（1，2），即x∈0（1，2）。應(yīng)選B。

解答本題主要有兩個(gè)步驟：一是構(gòu)造函數(shù);二是利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間。

題型三：利用數(shù)形結(jié)合法，巧解零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例3方程|x2-2x|=a2+1（a＞0）的解的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：因?yàn)閍＞0，所以a2+1＞1。畫(huà)出y=|x2-2x|與y=a2+1的圖像如圖1所示。

圖1

由圖1可知，y=|x2-2x|的圖像與y=a2+1的圖像總有2個(gè)交點(diǎn)。應(yīng)選B。

本題中x是變量，a是常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x|的圖像不在x軸的下方，a2+1＞1是恒成立的。

題型四：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍

例4已知分段函數(shù)f（x）=若函數(shù)g（x）f（x）=-m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解：令g（x）=f（x）-m=0，則f（x）=m，畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與y=m的圖像，如圖2所示。

圖2

由圖2可知，要使函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個(gè)零點(diǎn)，只需y=f（x）與y=m的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，所以0＜m＜1。

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，可將解析式變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題。解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出函數(shù)的圖像，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解。

編者注：本文系阜陽(yáng)市教科研課題“基于微專題的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐途徑和有效性研究”（F J K 18045）階段性成果。