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        解讀分段函數(shù)問題

        2019-11-07 08:54:52李志勤

        ■李志勤

        分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)常見的函數(shù),分段函數(shù)一直是高考考查的熱點(diǎn)。在學(xué)習(xí)分段函數(shù)時(shí),熟悉分段函數(shù)的概念,掌握基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì),領(lǐng)會(huì)函數(shù)的基本思想方法,才能完整地解決分段函數(shù)的相關(guān)問題。求解分段函數(shù)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”。下面結(jié)合具體例題,總結(jié)分段函數(shù)的??碱}型與解題方法。

        一、分段函數(shù)的單調(diào)性問題

        例1若分段函數(shù)f(x)=在R上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

        A.(-∞,1] B.(0,2)

        C.(0,1] D.[1,2)

        解:利用分段函數(shù)在每一段上都是單調(diào)遞增解出a的范圍。

        因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù),所以解得0<a≤1。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1]。應(yīng)選C。

        評析:分段函數(shù)f(x)=在 上單調(diào)遞增,則函數(shù)Rf(x)滿足:f1(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞增,f2(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,且f1(a)≤f2(a)。

        二、分段函數(shù)的求值問題

        例2設(shè)分段函數(shù)f(x)=

        解:把所求自變量轉(zhuǎn)化到x<1的范圍內(nèi),再代入分段函數(shù)即可求值。因?yàn)楹瘮?shù)所以f(log10)=2

        評析:解決分段函數(shù)求值問題,要明確自變量所屬的區(qū)間。解答本題的關(guān)鍵是借助函數(shù)的周期性將自變量的值轉(zhuǎn)化到分段函數(shù)的定義域上求解。

        三、分段函數(shù)的求參數(shù)問題

        例3已知分段函數(shù)f(x)=其中0<m<1,若存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程f(x)=a恰有三個(gè)不同的實(shí)根,則m的取值范圍是( )。

        解:作出函數(shù)f(x)的圖像,得到關(guān)于m的對數(shù)不等式求解即可。當(dāng)0<m<1時(shí),函數(shù)的圖像如圖1所示(簡圖)。

        圖1

        當(dāng)x≤m時(shí),f(x)=x2-2m x+m2+2=(x-m)2+2≥2,要使關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根,需滿足又0<m<1,解得應(yīng)選A。

        評析:本題考查方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷問題。解答本題的難點(diǎn)是分析得到

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