徐城旭，吳曉平?，王國英，朱雪芬

(1.浙江農(nóng)林大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江 臨安311300；2.浙江農(nóng)林大學(xué)信息與教育技術(shù)中心，浙江臨安311300)

無線傳感器網(wǎng)路由大量廉價、低功耗的節(jié)點組網(wǎng)而成，以實現(xiàn)對環(huán)境信息的監(jiān)測，其具有有限的感知、計算與通信能力[1-2]。為彌補傳統(tǒng)傳感器網(wǎng)絡(luò)上述缺陷，采用移動目標(biāo)節(jié)點進行覆蓋與感知增強[3]、目標(biāo)跟蹤[4]，即移動傳感器網(wǎng)絡(luò)亦是該領(lǐng)域重要的研究內(nèi)容。移動目標(biāo)感知的信息與位置相捆綁才有意義，因此傳感器網(wǎng)絡(luò)中移動目標(biāo)的運動參數(shù)獲取亦具有重要的研究價值[5-7]。

移動目標(biāo)運動參數(shù)獲取的重要內(nèi)容就是估計移動目標(biāo)的當(dāng)前位置參數(shù)或預(yù)測將來的位置參數(shù)[8-9]。為獲取當(dāng)前位置參數(shù)即確定移動目標(biāo)位置坐標(biāo)，通常需要測量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間距離，再利用算法估算移動目標(biāo)的位置參數(shù)。常用的節(jié)點間距離測量方法包括到達時間(TOA)[10-11]、到達時間差(TDOA)[12]、到達角度(AOA)與信號接收強度(RSS)[13]等。TOA測量方法實現(xiàn)原理簡單，但時間測量依賴于節(jié)點間的時間同步技術(shù)。并且節(jié)點上的計時時鐘受到環(huán)境參數(shù)的影響會發(fā)生漂移和偏離，導(dǎo)致出現(xiàn)節(jié)點間的時間測量同向誤差。而采用節(jié)點間TDOA時間差測量方法消除了同向誤差，更易實現(xiàn)可靠的節(jié)點間距離信息提取。

以節(jié)點間的距離約束關(guān)系建立優(yōu)化方程，再采用定位算法估計節(jié)點位置坐標(biāo)。常用的定位算法包括極大似然(ML)估計法、最小二乘線性代數(shù)法[14]及凸優(yōu)化算法[15-16]等。ML估計法一般采用數(shù)值計算方法估計，但數(shù)值計算方法嚴(yán)重依賴于初始解，若初始解選擇不合適，有可能導(dǎo)致局部最優(yōu)，為此提出了線性代數(shù)法及凸優(yōu)化方法。線性代數(shù)法將計算結(jié)果直接表示為最小二乘代數(shù)解，計算過程較快。凸優(yōu)化算法中常見的主要為半正定規(guī)劃(SDP)算法，SDP算法將非凸優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化模型，具有較多的變量和等式約束，計算復(fù)雜度較高，但算法穩(wěn)定性較好。

在移動目標(biāo)的運動參數(shù)獲取過程中，將來的位置參數(shù)預(yù)測與濾波也是重要的研究內(nèi)容。常用的移動目標(biāo)位置預(yù)測與濾波方法包括航位推算[17]、即時定位與地圖構(gòu)建[18]以及濾波方法[19-20]等。航位推算通過輪子旋轉(zhuǎn)數(shù)量來估算前進距離，以此確定位置坐標(biāo)，但輪子有可能打滑而導(dǎo)致估算不可靠，并存在累積誤差。采用移動目標(biāo)的即時定位與地圖構(gòu)建方法通過開發(fā)環(huán)境地圖以獲取位置信息，地圖構(gòu)建的計算復(fù)雜度較高。濾波方法通過持續(xù)的預(yù)測與更新以提高移動目標(biāo)的跟蹤精度，包括適用于高斯噪聲的卡爾曼濾波(KF)方法、擴展卡爾曼濾波(EKF)方法以及非高斯噪聲的重采樣粒子濾波(PF)方法等。

采用移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點間的TDOA測量方法，本文介紹了一種無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中移動目標(biāo)的運動參數(shù)估計方法。通過建立移動目標(biāo)運動參數(shù)的優(yōu)化估計模型，設(shè)計了基于TDOA方法的移動目標(biāo)初始位置及運動速度的非約束線性最小二乘(ULLS)估計方法。并將約束條件運用到凸優(yōu)化模型，實現(xiàn)了半正定規(guī)劃(SDP)算法的設(shè)計。將TDOA測量方法的移動目標(biāo)運動參數(shù)估計算法與文獻[21]的TOA方法進行比較，分析TDOA方法對同向誤差的消除有效性，同時分析了采樣周期及采樣點數(shù)量對估計精度的影響。

本文第1部分首先介紹了移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點間TDOA測量實現(xiàn)運動參數(shù)估計的問題描述；第2部分推導(dǎo)了問題模型的線性代數(shù)ULLS計算方法；第3部分提出了問題模型的SDP算法；第4部分為仿真分析；最后部分為結(jié)論。

1 問題描述

假設(shè)在二維平面(三維空間的分析方法同二維平面)有一移動目標(biāo)節(jié)點從初始位置x0＝[x0y0]T出發(fā)，以恒定速度ν＝[νxνy]T保持勻速移動。為確定移動目標(biāo)節(jié)點的位置坐標(biāo)，在該區(qū)域上部署著M＋1個時間同步的信標(biāo)節(jié)點，其坐標(biāo)位置為已知值。將信標(biāo)節(jié)點位置表示為 si＝[aibi]T，(i＝0，1，2，…，M)，信標(biāo)節(jié)點保持不動，位置坐標(biāo)固定。不失一般性，不妨假設(shè)i＝0信標(biāo)節(jié)點為參考信標(biāo)節(jié)點，并將i＝1，2，…，M的信標(biāo)節(jié)點稱為測量信標(biāo)節(jié)點，如圖1所示。

在移動目標(biāo)節(jié)點移動過程中，各信標(biāo)節(jié)點與移動目標(biāo)節(jié)點間以等間隔周期T不斷測量TDOA到達時間差。在第k個采樣時刻，可將移動目標(biāo)節(jié)點的位置坐標(biāo)xk表示為

式中:k＝0，1，2，…，K，xk＝[xkyk]T表示了在第 k 個采樣時刻的移動目標(biāo)位置，T稱為采樣周期，K為采樣點數(shù)量，即為目標(biāo)移動過程中的TDOA測量次數(shù)。

在目標(biāo)移動過程中，各信標(biāo)節(jié)點與移動目標(biāo)節(jié)點間的TDOA到達時間差測量過程如下:在第k個采樣時刻，移動目標(biāo)節(jié)點同時向各信標(biāo)節(jié)點(包括參考信標(biāo)節(jié)點)發(fā)送信號，各信標(biāo)節(jié)點記錄該信號接收時間。由于各信標(biāo)節(jié)點間時間同步，故可以計算出信號到達測量信標(biāo)節(jié)點與參考信標(biāo)節(jié)點間的TDOA到達時間差。然后將所收集的TDOA測量結(jié)果統(tǒng)一發(fā)送到網(wǎng)關(guān)或集中處理單元，進行運動參數(shù)運算與估計。在第k個采樣時刻，將上述TDOA到達時間差記為 ti，k，故有測量方程

式中:di，k＝‖xk-si‖，不失一般性，將參考信標(biāo)節(jié)點的位置坐標(biāo)假設(shè)為坐標(biāo)原點，即s0＝[0 0]T，因此有 d0，k＝‖xk‖。 εi，k表示了移動目標(biāo)節(jié)點與測量信標(biāo)節(jié)點i間的時間測量噪聲，可假設(shè)εi，k服從均值為零，方差為的高斯分布，記為 εi，k∈Ν(0，) 。

本模型通過移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點間的TDOA到達時間差測量，以準(zhǔn)確估計移動目標(biāo)的初始位置x0及移動速度ν。假設(shè)信號傳播速度c、信標(biāo)節(jié)點位置坐標(biāo)xi為已知參數(shù)，測量噪聲方差通過預(yù)先訓(xùn)練獲得，因此可將上述問題模型表示為以下最小化問題

問題(3)的求解可以采用牛頓迭代法的數(shù)值計算方法，但數(shù)值計算方法依賴于初始解。若初始解選擇不合適，有可能陷入局部最優(yōu)，下面分別介紹采用線性代數(shù)法及凸優(yōu)化算法的實現(xiàn)過程。

圖1 移動節(jié)點與信標(biāo)節(jié)點的位置分布示意圖

2 線性代數(shù)法

線性代數(shù)法將上述最小化估計問題轉(zhuǎn)化為線性最小二乘估計問題，將估計值直接表示為代數(shù)形式解析解，計算過程較快。為將上述問題轉(zhuǎn)化為線性最小二乘估計問題，將式(3)進行變換，并考慮關(guān)系式 di，k＝‖xk-si‖及 d0，k＝‖xk‖，有

對式(4)左右兩邊平方，考慮測量噪聲εi，k的較小波動范圍，忽略二次高階項，可以得到

式中:k＝0，1，2，…，K，i＝1，2，…，M。 為將上式表示成矩陣形式，新定義未知向量η＝[νT]T，d0＝[d0，1d0，2… d0，K]T，可將式(6)寫為

式中:ai，k＝ [--2k0k-1-2cti，k0K-k] ，-，αi，k＝ 2c(d0，k＋cti，k) εi，k。 按照將 i、k先后遞增的次序，將式(7)寫成線性矩陣形式

式中:A∈RM(K＋1)×(K＋4)，矩陣 A 的行向量為 ai，k。 b，α∈RM(K＋1)，b 及 α 的行元素值分別為 bi，k，αi，k。 式(8)的加權(quán)最小二乘估計可以表示為

式中:Σα∈RM(K＋1)×M(K＋1)，Σα＝E(αTα)其值表示為

因此根據(jù)最小二乘估計原理，未知向量η的估計值表示為

因此可將式(9)表示的加權(quán)最小二乘估計表示為

具有約束條件式(13)的問題可以采用拉格朗日乘子法求解，其拉格朗日算子最小化表示為L(η，λk)＝ (Aη-b)Aη-b)＋ λkηTPkη (14)式中:λk為拉格朗日乘子，k＝0，1，2，…，K。 為最小化拉格朗日算子，將L(η，λk)對 η的微分取值為零，即表示為

將式(15)代入約束條件，有

式(16)表示的K元方程組難以直接求解拉格朗日乘子λk，若采用數(shù)值方法計算，亦極有可能陷入局部最優(yōu)。為此，下面介紹凸優(yōu)化方法以實現(xiàn)具有約束條件的問題求解。

3 半正定規(guī)劃算法

為建立凸優(yōu)化模型，觀察式(7)所建立的等效方程，可將優(yōu)化問題表示為

為將上式表示的非凸優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化模型，定義矩陣

故可將約束條件重寫為CkZ＝0。定義

因此優(yōu)化問題(18)可重新表示為

按照 i、k 先后遞增的次序，將τi，k寫成向量形式τ，可將優(yōu)化問題(20)重新表示為

將式(21)中的 Z 松弛為 Z≥0(M＋5)×(M＋5)，并且不考慮rank(Z)＝1，可將優(yōu)化問題(21)表示為凸優(yōu)化半定規(guī)劃(SDP)問題

根據(jù)矩陣Z的定義，從Z中抽取出相應(yīng)參數(shù)即可得到初始位置x0及移動速度ν的估計值。同式(11)中權(quán)重矩陣的計算方法，優(yōu)化問題(22)中的d0，k初始時為未知值，可預(yù)先將權(quán)重系數(shù)(d0，k＋cti，k)δi，k設(shè)置為 1，初步估計 d0，k，然后重新代入問題(22)二次計算精確的估計值。

4 仿真分析

通過移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點間的TDOA測量方法，消除了TOA測量的同向誤差，提高了移動目標(biāo)運動參數(shù)估計的可靠性。本驗證本文所提出的TDOA-ULLS及TDOA-SDP算法的有效性，將算法與文獻[21]的TOA-SDP算法進行了性能比較。采用MATLAB軟件，進行了算法的仿真實現(xiàn)。在100 m×100 m的方形區(qū)域內(nèi)將參考信標(biāo)節(jié)點設(shè)置在原點，將五個測量信標(biāo)節(jié)點分別設(shè)置在(0，100)，(100，100)，(95，60)，(100，0)及(5，60)，并在該區(qū)域內(nèi)隨機生成10個移動目標(biāo)的初始位置。將移動目標(biāo)沿x軸方向運動速度νx預(yù)先設(shè)置為0.2 m/s，沿y軸方向運動速度νy預(yù)先設(shè)置為0.1m/s，性能評價采用10個移動目標(biāo)的平均估計值進行分析。信號傳播速度c設(shè)置為3×108m/s，所有的TDOA測量噪聲εi，k的噪聲方差均設(shè)置為 δ2。 為評價所設(shè)計算法的估計誤差性能，采用均方根誤差(RMSE)分析。對每種算法的RMSE估計誤差仿真運行1 000次，采用1 000次運行結(jié)果的平均值分析。

圖2 同向誤差對估計誤差的影響

4.1 同向誤差對估計誤差的影響

TDOA的到達時間差測量方法消除了時間測量的同步誤差，有利于提高估計性能。而同向誤差對TOA方法的影響較大，仿真首先測試了同向誤差對文獻[21]TOA-SDP算法的影響，并與本文的TDOA算法進行了比較。設(shè)置采樣周期T為1 s，采樣點數(shù)量K等于10，時間測量噪聲δ為5 ns，圖2繪出了本文的TDOA-ULLS及TDOA-SDP算法、文獻[21]的TOA-SDP算法的RMSE估計誤差隨同向誤差的變化關(guān)系。圖2(a)所繪出的初始位置RMSE性能顯示隨著同向誤差增加，本文所提出的TDOA-ULLS、TDOA-SDP算法初始位置RMSE估計誤差基本沒有變化，而TOA-SDP算法的初始位置RMSE估計誤差隨之直線增加。當(dāng)同向誤差為1 ns時，TOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差為0.91 m；而當(dāng)同向誤差為10 ns時，TOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差上升到了1.79 m。當(dāng)同向誤差小于等于5 ns時，TDOA-SDP算法的初始位置RMSE要大于TOA-SDP算法；當(dāng)同向誤差大于等于6 ns時，TDOA-SDP算法的初始位置RMSE就開始比TOA-SDP算法誤差小。

圖2(b)繪出了速度估計RMSE隨同向誤差的變化關(guān)系。顯然由于消除了同向誤差，TDOA-ULLS及TDOA-SDP算法的速度估計RMSE基本與同向誤差無關(guān)。但與初始位置RMSE誤差不同的方面在于，TOASDP算法的速度估計RMSE也與同向誤差無關(guān)。

圖3 時間測量噪聲對估計誤差的影響

4.2 測量噪聲對估計誤差的影響

隨著TDOA時間測量噪聲的增加，顯然各種算法的估計誤差也將增大。將采樣周期T、采樣點數(shù)量K分別設(shè)置為1 s、10個，同時調(diào)整時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化，圖3繪出了RMSE估計誤差隨時間測量噪聲的變化關(guān)系。由圖3(a)可見，隨著時間測量噪聲的增加，本文提出的TDOA-ULLS、TDOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差也隨之增大。相比于TDOA-ULLS算法，TDOA-SDP算法的RMSE誤差更小。比如，當(dāng)時間測量噪聲δ為10 ns時，TDOA-ULLS算法的初始位置RMSE誤差為2.86 m，而TDOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差僅為2.53 m。在保持同向誤差為一定值時，越小的時間測量噪聲將導(dǎo)致TOA-SDP算法估計誤差大于TDOA-SDP算法。比如，當(dāng)同向誤差為5 ns，并且時間測量噪聲δ小于等于4時，TOA-SDP算法估計誤差要大于TDOA-SDP算法。同樣地，當(dāng)同向誤差上升為10 ns，并且時間測量噪聲δ小于等于8時，TOA-SDP算法估計誤差會大于TDOA-SDP算法的估計誤差。

當(dāng)時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化，圖3(b)繪出了速度估計RMSE隨時間測量噪聲的變化關(guān)系。由該圖可見，隨著時間測量噪聲的增加，各種算法的估計誤差亦隨之增大。比如，當(dāng)時間測量噪聲δ為1 ns時，TDOA-SDP算法的速度估計RMSE為0.039 m/s。而當(dāng)時間測量噪聲δ為10 ns時，TDOA-SDP算法的速度估計RMSE達到了0.365 m/s。當(dāng)存在時間同向誤差時，TOA-SDP算法的速度估計RMSE誤差也隨測量噪聲的增大而增加。但是同向誤差對速度估計RMSE的影響有限，這與圖2(b)所反映的結(jié)果一致。比如，保持時間測量噪聲δ為10 ns，當(dāng)同向誤差分別為0 ns、5 ns及10 ns時，TOA-SDP算法的速度估計RMSE分別為0.27 m/s、0.29 m/s及0.30 m/s。而TDOA-SDP算法的速度估計RMSE達到了0.36 m/s。由該圖可以看出，在10 ns同向誤差范圍內(nèi)，TOA-SDP算法的速度估計RMSE總是小于TDOA-SDP算法的估計誤差，所以同向誤差大小對TOA-SDP算法的估計誤差影響有限。

4.3 采樣周期對估計誤差的影響

實際應(yīng)用中采樣周期T可隨機設(shè)置，但改變采樣周期T將改變移動目標(biāo)運動軌跡，將影響估計誤差性能。保持時間測量噪聲δ等于5 ns及采樣點數(shù)量K等于10，仿真測試了不同采樣周期T對兩種估計誤差的影響。當(dāng)采樣周期T從0.5 s增加到5 s時，圖4(a)繪出了各種算法的初始位置RMSE估計誤差隨采樣周期T的變化關(guān)系。由該圖可見，各種算法的初始位置RMSE隨采樣周期T的增加而基本沒有變化。當(dāng)采樣周期T等于0.5 s時，TDOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差為1.26 m；當(dāng)采樣周期T增加到5 s時，該算法的RMSE誤差為1.28 m。當(dāng)同向誤差為10 ns，TOA-SDP算法的初始位置RMSE誤差大于其他算法的估計誤差。

采樣周期對初始位置RMSE估計誤差影響不大，但對速度估計誤差的影響較大。圖3(b)繪出了各種算法的速度估計RMSE誤差隨采樣周期的變化關(guān)系。由該圖可見，各種算法的速度估計RMSE誤差都隨著采樣周期T的增大而減少。比如，當(dāng)采樣周期T等于0.5 s時，TDOA-SDP算法的速度估計RMSE誤差為0.37 m/s；而當(dāng)采樣周期T達到5 s時，TDOA-SDP算法的速度估計 RMSE誤差僅為0.037 m/s。由分析可知，速度估計RMSE誤差與采樣周期T有近似成反比關(guān)系。增大采樣周期T有助于減少速度估計誤差，但同時將增加移動目標(biāo)的運動距離，有可能導(dǎo)致運動距離過大而無法實現(xiàn)與移動目標(biāo)間的時間測量，這在實際應(yīng)用時需要注意。

圖4 采樣周期對估計誤差的影響

4.4 采樣點數(shù)量對估計誤差的影響

采樣點數(shù)量K越多，測量信息越多，當(dāng)然各種算法的估計誤差將越小。保持采樣周期T為1 s，時間測量噪聲δ等于5 ns，仿真測試了采樣點數(shù)量K從10個增加到19個時各算法的估計誤差性能。圖5(a)繪出了各算法的位置估計RMSE誤差隨采樣點數(shù)量K的變化關(guān)系。由該圖可以看出，隨著采樣點數(shù)量K的增加，初始位置RMSE估計誤差有所減少。比如，當(dāng)采樣點數(shù)量K由10增加到19時，TDOA-SDP算法的初始位置RMSE估計誤差從1.23 m減少到了0.87 m。同樣地，其他各種算法的初始位置RMSE估計誤差也隨采樣點數(shù)量K的增加而減少。

同樣將采樣點數(shù)量K從10增加到19，圖5(b)繪出了各種算法的速度估計RMSE隨采樣點數(shù)量K的變化關(guān)系。由該圖可以看出，隨著采樣點數(shù)量K的增加，RMSE速度估計誤差明顯減少。當(dāng)采樣點數(shù)量K等于10時，TDOA-ULLS、TDOA-SDP與 TOA-SDP(同向誤差為0 ns)三種算法的速度估計RMSE誤差分別為 0.22 m/s、0.19 m/s、0.14 m/s；而當(dāng)采樣點數(shù)量 K增加到19時，三種算法的速度估計RMSE誤差分別減少到了 0.08 m/s、0.07 m/s、0.05 m/s。 隨著采樣點數(shù)量K的增加，估計誤差減少，性能有所提高。

圖5 采樣點數(shù)量對估計誤差的影響

5 結(jié)論

采用移動目標(biāo)與信標(biāo)節(jié)點間的TDOA測量方法，消除了時間測量同向誤差，減少了移動目標(biāo)運動參數(shù)的估計誤差。本文通過建立基于TDOA方法的運動參數(shù)估計模型，并設(shè)計了TDOA-ULLS的線性代數(shù)法，TDOA-SDP的凸優(yōu)化方法以實現(xiàn)運動參數(shù)包括初始位置及運動速度的聯(lián)合估計。由于考慮了優(yōu)化模型的約束條件，凸優(yōu)化的TDOA-SDP算法的初始位置估計誤差較TDOA-ULLS算法的估計誤差小，但凸優(yōu)化方法的計算復(fù)雜度較高。仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，TDOA方法可以有效消除時間測量同向誤差，提高初始位置估計精度。增大采樣周期可有效減少速度估計誤差。采用更多的采樣點數(shù)量也可以減少RMSE估計誤差，但測量成本和難度加大。并且增大采樣周期及采樣點數(shù)量意味著移動距離的延長，有可能導(dǎo)致移動距離較長而無法實現(xiàn)時間測量。