鄭方燕，顏 路，湯其富，鄭 永，簡圣杰

(1.重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶400054；2.重慶商務(wù)職業(yè)學(xué)院公共管理系，重慶401331)

磁場式時(shí)柵角位移傳感器是根據(jù)“時(shí)-空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論”研制的一種磁感應(yīng)式角位移傳感器，通過對(duì)時(shí)間的測量實(shí)現(xiàn)了角位移的空間測量[1-2]。在測量過程中，因機(jī)械結(jié)構(gòu)、電氣特性、控制系統(tǒng)及信號(hào)處理電路等環(huán)節(jié)都會(huì)引入誤差且存在誤差累積和逐級(jí)放大問題，使得傳感器呈現(xiàn)出較低的原始測量精度以及測量系統(tǒng)末端誤差成分復(fù)雜等特點(diǎn)[3-4]。

國內(nèi)外學(xué)者在角位移測量誤差處理與測量精度優(yōu)化方面進(jìn)行了深入研究，Hwang S H等人[5]針對(duì)旋轉(zhuǎn)變壓器信號(hào)幅度不均和信號(hào)不完全正交對(duì)傳感器帶來的誤差影響，通過d-q電流方法進(jìn)行補(bǔ)償，取得了良好效果，但此方法需要消耗大量計(jì)算時(shí)間，且存在因?qū)崟r(shí)性不夠好而帶來的截?cái)嗾`差。K K等人[6-7]提出利用插值方法對(duì)莫爾條紋信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化細(xì)分來提高測量系統(tǒng)的分辨率與精度，但在高次冪逼近時(shí)會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，使得逼近極不穩(wěn)定。韋芙芽等人[8]采用粒子群參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)參數(shù)函數(shù)方程中的待定參量進(jìn)行辨識(shí)，進(jìn)而通過辨識(shí)模型來補(bǔ)償編碼器細(xì)分誤差，此方法具有可靠性高、環(huán)境適應(yīng)度強(qiáng)、實(shí)時(shí)響應(yīng)快和補(bǔ)償精度高等優(yōu)點(diǎn)，但是該算法要求模型必須為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。高旭等人[9]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)算法提取與基波時(shí)域頻率匹配的本征模態(tài)函數(shù)包絡(luò)分量，抑制原始信號(hào)的諧波分量，以改善傳感器的信號(hào)質(zhì)量，此方法具有測速穩(wěn)定性高，抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但是此方法在應(yīng)用時(shí)必須建立起其對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)模型，且存在適用條件非?？量痰娜秉c(diǎn)。如前所述的精度優(yōu)化與誤差補(bǔ)償算法的應(yīng)用對(duì)象均為光柵或旋轉(zhuǎn)變壓器等直接解算空間位移類型的傳感器，其實(shí)現(xiàn)過程可總結(jié)為:利用具體模型特征進(jìn)行相關(guān)函數(shù)或模型參數(shù)的歸一化抽象處理，并在優(yōu)化算法模式化的處理過程中設(shè)置具體參量和約束，最后進(jìn)行模型演算或迭代訓(xùn)練進(jìn)而得到輸出結(jié)果。然而針對(duì)時(shí)柵傳感器的誤差補(bǔ)償算法，仍有少量的研究。彭東林等人[10]采用FFT變換及諧波修正方法對(duì)誤差進(jìn)行辨識(shí)和補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了傳感器的高精度測量。但此方法要求傳感器具有較高的穩(wěn)定性和勻速性，且受原始測量精度的影響，在更高精度場合的應(yīng)用受到限制。劉小康等人[11]利用高速FPGA和ARM處理器進(jìn)行高速信號(hào)采集，再利用時(shí)鐘插補(bǔ)方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行細(xì)分來消除誤差提高精度，此方法對(duì)特殊場合的動(dòng)態(tài)測量信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)與細(xì)分方面取得了較好的效果，但此方法對(duì)CPU性能和FPGA的信號(hào)采集頻率要求較高。

針對(duì)上述問題，本文從時(shí)柵傳感器的誤差成分出發(fā)，提出一種利用遺傳算法(GA)的誤差參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償新方法。以MATLAB2015b為算法和模型仿真工具，選取實(shí)際的采樣數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，進(jìn)行誤差參數(shù)的優(yōu)化和結(jié)果輸出，通過對(duì)誤差補(bǔ)償最終實(shí)現(xiàn)傳感器系統(tǒng)精度的大幅度提高。

1 時(shí)柵傳感器原理與誤差分析

1.1 時(shí)柵傳感器原理

時(shí)柵傳感器的結(jié)構(gòu)和傳感原理如圖1所示。傳感器由動(dòng)子和定子組成，動(dòng)子與定子相對(duì)放置。動(dòng)子齒槽內(nèi)繞制空間互差90°的勵(lì)磁線圈，當(dāng)在勵(lì)磁線圈中通以時(shí)間互差90°的交流激勵(lì)e1(t)和e2(t)時(shí)，即可獲得四路磁通密度 BT1、BT2、BT3、BT4。 其中BT1、BT3由 e1(t)產(chǎn)生，BT2、BT4由 e2(t)產(chǎn)生。 定子采用PCB工藝印制有相位互差180°正弦型磁場拾取線圈。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，定子磁場拾取線圈會(huì)形成兩路磁通 φ1，3、φ2，4，如式(1)、式(2)，并由此在拾取線圈內(nèi)部產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢 E1，3、E2，4，如式(3)、式(4)。

圖1 時(shí)柵傳感器原理圖

設(shè)激勵(lì)信號(hào)幅值a＝b，將式(3)、式(4)相加，即可得如式(5)所示的行波信號(hào) E(t，θ)。 E(t，θ)的相位與角位移θ呈正比例關(guān)系，因此通過檢測E(t，θ)信號(hào)的相位量就可確定動(dòng)子相對(duì)于定子轉(zhuǎn)過的角位移量θ[12-13]。

式中:k為動(dòng)子線圈電磁轉(zhuǎn)化系數(shù)；r為拾取線圈中心線半徑；Δh為磁場拾取線圈正弦結(jié)構(gòu)幅值；NP為勵(lì)磁線圈和拾取線圈線的線圈結(jié)構(gòu)數(shù)。

設(shè)激勵(lì)e1(t)、e2(t)的幅值相等，即 a＝b，將式(3)、式(4)相加，即可得:

1.2 誤差分析

根據(jù)時(shí)柵傳感器的測量原理，經(jīng)磁-電耦合得到的行波信號(hào)的質(zhì)量直接影響角位移的測量精度[14-16]。因此，線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)不理想以及交流激勵(lì)e1(t)和e2(t)的幅值不等等情形都將影響行波質(zhì)量，從而降低測量精度。前述式(5)所示，令，拾取線圈上得到的感應(yīng)電動(dòng)勢可簡化為式(6)、式(7)。

將式(6)、式(7)相加即得到行波信號(hào)為:

當(dāng)a＝b時(shí)，兩路駐波合成列標(biāo)準(zhǔn)行波(式(5))。

當(dāng)a≠b時(shí)，由式(8)可知，信號(hào)幅值會(huì)由cos(2x)引起一個(gè)二次分量，根據(jù)時(shí)柵測量原理，這個(gè)二次變化必然會(huì)在測量結(jié)果中引入一個(gè)二次誤差。且波動(dòng)峰峰值為

當(dāng)兩路激勵(lì)信號(hào)的幅值相等而存在微小相位偏移量Δφ，即駐波相差不為90°。根據(jù)式(8)可推導(dǎo)出式(10):

因?yàn)閍≠a′，括號(hào)部分可看作幅值不相等的兩路駐波相加。由前面分析可知，會(huì)引入一個(gè)二次誤差，而后半部分因sin(Δφ)是一個(gè)微小量忽略不計(jì)。

因磁場分布不理想使線圈感應(yīng)出的調(diào)制信號(hào)中存在高次諧波成分，則此時(shí)得到的行波信號(hào)表達(dá)式如下:

由式(12)可看出，引入了四次誤差成分。

為了驗(yàn)證和分析測量誤差的諧波成分，采集了傳感器一個(gè)對(duì)極內(nèi)的500個(gè)實(shí)測誤差數(shù)據(jù)并做出如圖2所示的頻譜圖。從圖中可以看出，測量結(jié)果中主要存在二次和四次誤差。根據(jù)前面的分析，二次誤差主要由線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)不理想以及交流激勵(lì)e1(t)和e2(t)的幅值不等、相移等情形引起的；四次誤差則由磁場的分布不理想造成的。

圖2 樣本數(shù)據(jù)頻譜圖

2 遺傳算法研究與辨識(shí)模型建立

根據(jù)前述誤差分析結(jié)果建立起的時(shí)柵傳感器的誤差函數(shù)為式(13):

式中:ysin、ycos表示正弦和余弦誤差分布曲線，pk、qk表示相位不等偏差，ω為角頻率，Ak、Bk表示諧波幅值，Aksin(kω＋pk)、Bkcos(kω＋qk)表示正弦和余弦性諧波分量。

由式(13)所示，傳感器測量誤差與 Ak、pk、Bk、qk相關(guān)，由此建立基于遺傳算法的參數(shù)辨識(shí)模型。

2.1 時(shí)柵的GA模型建立

由式(13)可知，不同參數(shù)有其相對(duì)確定的取值范圍和對(duì)應(yīng)辨識(shí)GA模型。作者用不同頻次誤差參數(shù)建立相適應(yīng)的GA目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而分別在GA模型中對(duì)誤差參數(shù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練優(yōu)化，最終建立起含有誤差參數(shù)的正、余弦的方程組。

GA主要包括三種算子:選擇、交叉、變異。其中選擇即再生、交叉即重組、變異即個(gè)體基因變動(dòng)[17]。

具體建模流程如圖3所示，算法尋優(yōu)過程如下:①對(duì)時(shí)柵樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行二進(jìn)制編碼；②采用輪盤賭方式隨機(jī)產(chǎn)生初始訓(xùn)練樣本M，并定義適應(yīng)度函數(shù)；③評(píng)價(jià)群體，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行適應(yīng)度判斷；④遺傳操作(選擇、交叉Pr、變異Pm)產(chǎn)生新群體Pm≤Pr；⑤重復(fù)執(zhí)行步驟③和步驟④，直到滿足停止規(guī)則。

圖3 基于遺傳算法的辨識(shí)與補(bǔ)償建模流程

2.2 參數(shù)辨識(shí)模型建立

分析時(shí)柵誤差數(shù)學(xué)模型，模型中的每組參數(shù)Ak、pk、Bk、qk可以從模型的相關(guān)參數(shù)得到映射關(guān)系，并以此建立適合時(shí)柵的GA誤差參數(shù)辨識(shí)模型，即將時(shí)柵二次誤差、四次誤差與建立的辨識(shí)參數(shù)模型中的誤差參數(shù)進(jìn)行函數(shù)映射，函數(shù)公式如下:

用實(shí)際采樣的傳感器數(shù)據(jù)確定的 Ak、pk、Bk、qk幾個(gè)參數(shù)的值作為真值，再與GA模型求得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析和誤差補(bǔ)償。

2.3 模型辨識(shí)仿真過程與優(yōu)化

①目標(biāo)函數(shù)建立

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)Jsin和Jcos達(dá)到最小值時(shí)，誤差參數(shù)估計(jì)函數(shù)與實(shí)驗(yàn)采樣真實(shí)函數(shù)的諧波分量和之間的差值最小，進(jìn)一步抽象為求的模和差的模，如式(16)。 對(duì)A＾i、p＾i、B＾i、q＾i的參數(shù)范圍進(jìn)行確定:幅值參數(shù)不超過基波幅值的15%，相位參數(shù)范圍取0～2π。則仿真模型值y＾sin、y＾cos可以表示為:

式中:＾Ai、＾pi、＾Bi、＾qi參數(shù)由a、b、Δφ、Δx、ω來選取確定，得到目標(biāo)函數(shù)組Jsin、Jcos的表達(dá)式為式(16):

②初始種群及編碼

種群規(guī)模σ直接影響GA的性能與效率，一般設(shè)為20～200，本文選取的σ＝90。編碼采用二進(jìn)制編碼。

③解碼和適應(yīng)度函數(shù)

解碼按編碼的逆過程進(jìn)行。適應(yīng)度函數(shù)由目標(biāo)函數(shù)映射而得，要滿足單指、連續(xù)、非負(fù)以及計(jì)算量不宜過大則適應(yīng)度函數(shù)采用目標(biāo)函數(shù)倒數(shù)形式為[18]:

式中:ε1是為防止發(fā)生溢出設(shè)置的常量，ε2是變換系數(shù)，防止 Fcos、Fsin計(jì)算值過大，實(shí)際取值 ε1＝0.002，ε2＝0.3。

④遺傳算子的確定

?選擇運(yùn)算:輪盤賭方式即各個(gè)體被選中的概率與其適應(yīng)度大小成正比。

?交叉算子:交叉概率Pr控制交叉頻率，交叉概率與種群更新呈正相關(guān)。交叉概率一般取0.5～0.8。 在本文 Pr＝0.8。

?變異算子:變異概率Pm影響算法性能，主要體現(xiàn)為局部隨機(jī)搜索能力，一般在0.001～0.1之間，本文 Pm＝0.03。

?終止條件:當(dāng)整個(gè)種群收斂，即每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度相等，就認(rèn)為此時(shí)整個(gè)進(jìn)化過程可以結(jié)束，設(shè)置適應(yīng)度誤差為0.01，設(shè)置最大代數(shù)的限制為200代，即滿足以上任何一個(gè)條件就停止進(jìn)化。

2.4 辨識(shí)結(jié)果與模型驗(yàn)證

為了得到 Ak、pk、Bk、qk，首先從 a、b、Δφ、Δx、ω 中分別選取50個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)為樣本，并采用輪盤賭方法確定四組誤差參數(shù)A2＝10.137 6和P2＝1.178 1、A4＝1.750 6和 P4＝4.285 1、B2＝18.87 2和 q2＝4.145 1、B4＝1.654 2和q4＝3.745 1為真值，然后根據(jù)式(14)建立的誤差參數(shù)GA模型迭代逼近。迭代結(jié)束條件設(shè)置適應(yīng)度相等、迭代次數(shù)小于200代、迭代序列收斂與真值誤差在±0.01之間小于10代，三者只要滿足其中之一即迭代結(jié)束。

對(duì)于圖4和圖5表明在初始樣本相同的條件下，進(jìn)行GA迭代的正弦性和余弦性優(yōu)化跟蹤曲線，從圖中可以反映出，隨著迭代次數(shù)增加其個(gè)體適應(yīng)度也會(huì)增加，繼而在適應(yīng)度最大的樣本域中利用其訓(xùn)練的誤差參數(shù)所辨識(shí)的樣本誤差最小。

圖4 正弦遺傳算法優(yōu)化跟蹤曲線

圖5 余弦遺傳算法優(yōu)化跟蹤曲線

圖6 參數(shù)A辨識(shí)曲線

圖6為正弦性誤差辨識(shí)參數(shù)A2、A4經(jīng)過GA迭代后的逼近曲線。由圖6可知，A2在0～80代時(shí)，存在迭代收斂趨勢不明顯，由于GA的健壯性和自適應(yīng)性，在80代以后曲線呈現(xiàn)出逐步收斂于真值10.137 6的趨勢；A4從一開始就呈現(xiàn)出明顯的收斂趨勢，并于真值2.810 5附近迭代停止，仿真結(jié)果顯示，收斂逼近值為10.427 9和2.819 7，均滿足數(shù)據(jù)的理論范圍10.113 2～11.012 1和2.532 1～3.001 2。

圖7為余弦性誤差辨識(shí)參數(shù)B2、B4經(jīng)過GA迭代后的逼近曲線。由圖7可知，兩條曲線迭代一開始就呈現(xiàn)出較好的收斂趨勢，兩參數(shù)最后分別在140代和180代于真值18.872和1.654 2附近迭代停止，仿真結(jié)果顯示，收斂逼近值為18.821 1和1.642 7，均滿足數(shù)據(jù)的理論范圍18.624 1～19.121 1和1.592 1～1.721 9。

圖7 參數(shù)B辨識(shí)曲線

圖8為正弦性誤差辨識(shí)參數(shù)p2、p4經(jīng)過GA迭代后的逼近曲線。由圖8可知，兩條曲線存在不同程度的迭代變異比率過大，從圖8可以看出主要集中在15～60代之間，因?yàn)槌跏紭颖纠幂啽P賭方式得到，存在個(gè)體的差異性，所以在初始遺傳迭代時(shí)會(huì)出現(xiàn)變異和部分交叉概率偏大。雖然初始迭代不穩(wěn)定，但是GA的自適應(yīng)性使其能夠在最后得到比較好的逼近效果，仿真結(jié)果顯示，收斂逼近值為1.194 4和4.185 4，均滿足數(shù)據(jù)的理論范圍1.162 7～1.315 2和4.012 9～4.241 8。

圖8 參數(shù)p辨識(shí)曲線

圖9為余弦性誤差辨識(shí)參數(shù)q2、q4經(jīng)過GA迭代后的逼近曲線。由圖9可知，迭代曲線在初始0～100代均出現(xiàn)比較大的迭代不穩(wěn)定，但是由于仿真模型的參數(shù)設(shè)置和GA的特點(diǎn)使整個(gè)系統(tǒng)的熵值最終趨于平穩(wěn)。仿真結(jié)果顯示，收斂逼近值為4.210 8和3.841 1，均滿足數(shù)據(jù)的理論范圍4.013 8～4.211 9和3.473 1～3.997 4。

圖9 參數(shù)q辨識(shí)曲線

表1 正弦參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

表2 余弦參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 補(bǔ)償結(jié)果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)搭建

為了驗(yàn)證GA對(duì)時(shí)柵誤差參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性，搭建試驗(yàn)平臺(tái)如圖10所示。時(shí)柵與光柵通過高精度的彈性連接軸同軸安裝在四層大理石實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，采用精度為±1″的海德漢ROD886光柵為參考基準(zhǔn)，運(yùn)用XILINX可擴(kuò)展處理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Zynq-7020進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和算法求解。在該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的基礎(chǔ)上，展開精度實(shí)驗(yàn)以及本文提出的基于遺傳算法的時(shí)柵信號(hào)處理方法和傳統(tǒng)時(shí)柵信號(hào)處理方法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

圖10 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

3.2 補(bǔ)償方法

依據(jù)時(shí)柵傳感器的GA模型(式(13))，建立起的補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型如式(18):

式中:ysin、ycos表示采樣點(diǎn)初始采樣值，Ysin，Ycos表示采樣點(diǎn)的補(bǔ)償后的值，＾Ak、＾Bk、＾pk、＾qk為模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，ω為輸入交流激勵(lì)e1(t)和e2(t)角頻率。

3.3 精度實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證基于GA的誤差補(bǔ)償方法的有效性，在傳感器360°整周范圍內(nèi)采集未使用和使用此方法的兩組數(shù)據(jù)，兩組數(shù)據(jù)具有相同測量點(diǎn)且均為整周采樣。圖11為未使用GA方法的數(shù)據(jù)誤差曲線，誤差峰峰值為57.3″，圖12為使用GA方法補(bǔ)償后的整周誤差曲線，誤差峰峰值為17.3″從圖中可以看出周期性誤差明顯減少，曲線更趨于平緩。為了更直觀的對(duì)比兩組數(shù)據(jù)，將得到的兩誤差曲線置于同一圖中，如圖13所示。將明顯減少的整周誤差量數(shù)據(jù)整理為如表3所示。同時(shí)，分別作出兩組數(shù)據(jù)的頻譜圖，如圖14所示。由圖中可以看出二次、四次誤差明顯減少，減少量分別為66.67%和54.05%，如表4所示。

圖11 整周誤差數(shù)據(jù)分布

圖12 GA處理后整周誤差數(shù)據(jù)分布

圖13 整周采樣點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)對(duì)比波形

圖14 樣本數(shù)據(jù)頻譜對(duì)比圖

表3 整周誤差補(bǔ)償前后對(duì)比

表4 不同頻率成分誤差減少量

3.4 精度對(duì)比實(shí)驗(yàn)

對(duì)比實(shí)驗(yàn)是采用灰色算法和指數(shù)平滑法，在360°整周范圍內(nèi)進(jìn)行相同測量點(diǎn)采集數(shù)據(jù)的預(yù)測分析，與GA方法進(jìn)行誤差補(bǔ)償效果對(duì)比，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖15和圖16所示?；疑惴ㄌ幚砗髸r(shí)柵傳感器整周測量誤差峰峰值為46.8″，指數(shù)平滑法峰峰值為32.1″，并且選取灰色算法和指數(shù)平滑法處理后的一個(gè)對(duì)極內(nèi)500個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，如圖17和圖18所示，灰色算法和指數(shù)平滑法對(duì)其高頻成分有一定抑制，但是對(duì)影響磁場式時(shí)柵測量精度的二次誤差、四次誤差抑制效果不明顯，且指數(shù)平滑法還會(huì)帶來明顯三次誤差。

圖15 灰色算法處理與原始誤差數(shù)據(jù)對(duì)比

圖16 指數(shù)平滑法與原始誤差數(shù)據(jù)對(duì)比

圖17 灰色算法處理后的頻譜

圖18 指數(shù)平滑法處理后頻譜

4 結(jié)論

針對(duì)磁場式時(shí)柵傳感器原始測量精度低的問題，本文提出了一種基于遺傳算法的應(yīng)用于磁場式時(shí)柵的誤差參數(shù)辨識(shí)與補(bǔ)償方法。通過理論分析和實(shí)驗(yàn)研究可知:①采用基于GA的誤差處理方法對(duì)時(shí)柵誤差進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償，可以有效減少時(shí)柵位移傳感器的二次和四次誤差，減少量分別為66.67%和54.05%；②采用GA處理方法可以有效降低時(shí)柵傳感器整周測量誤差，誤差峰峰值從57.3″減少到17.3″，從而提高了傳感器原始測量精度。

以上研究，揭示了磁場式傳感器的誤差特性并對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行了有效補(bǔ)償，為進(jìn)一步深入開展該項(xiàng)研究提供了研究基礎(chǔ)。該項(xiàng)研究可應(yīng)于同類型的電場式時(shí)柵、光場式時(shí)柵、感應(yīng)同步器以及旋轉(zhuǎn)變壓器等位移傳感器。