嚴(yán)春滿，穆 哲，張道亮，陸根源

(1.西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，蘭州730070；2.甘肅省智能信息技術(shù)與應(yīng)用工程研究中心，蘭州730070)

電容層析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)技術(shù)具有無輻射、響應(yīng)速度快、結(jié)構(gòu)簡單、非接觸等優(yōu)點(diǎn)，因而在多相流檢測領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。ECT系統(tǒng)主要包括傳感器、數(shù)據(jù)采集及圖像重建單元，其中圖像重建較為關(guān)鍵，是系統(tǒng)能否成功應(yīng)用到工業(yè)實(shí)踐上的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

圖像重建的主要原理是根據(jù)所測得的電極對之間的獨(dú)立電容值，計(jì)算出相應(yīng)的靈敏度矩陣，再通過一定的圖像重建算法，重建出管道內(nèi)流體截面圖形[2-5]。依據(jù)算法主要原理，可將圖像重建算法大致分為三類:直接法、迭代法及智能算法。線性反投影算法(LBP)是直接法中較典型的代表[6]，該算法采用靈敏度矩陣的轉(zhuǎn)置代替逆矩陣進(jìn)行成像，具有計(jì)算量小、速度快等優(yōu)點(diǎn)，但重建圖像的質(zhì)量不理想。迭代法主要包括Landweber算法[7]、共軛梯度算法(CG)[8]等。迭代類算法相對于非迭代類算法具有較好的成像質(zhì)量，但是隨著迭代步數(shù)的增加，算法的實(shí)時(shí)性受到一定的影響。智能算法主要包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等[9-10]。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以建立輸入與輸出數(shù)據(jù)的非線性映射關(guān)系，因此可以應(yīng)用于求解ECT圖像重建的問題中，然而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量的訓(xùn)練樣本，且由于多相流的復(fù)雜性，訓(xùn)練樣本的獲取并不容易。

在各類算法中，Landweber算法在重建質(zhì)量及速度方面具有較好的折衷性，該算法相對于直接算法有著較高的成像精度，且算法復(fù)雜度不高。經(jīng)典Landweber算法的主要缺點(diǎn)是:存在著半收斂問題，針對不同流型為了獲得最佳重建圖像所需要的迭代次數(shù)并不一致，對一些復(fù)雜流型，為了得到較為理想的重建圖像質(zhì)量所需要的迭代步數(shù)往往更大，進(jìn)而導(dǎo)致圖像重建速度較慢[11]。針對算法的主要缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]通過在殘差P處添加參數(shù)β構(gòu)造一個(gè)新的算子P′，以獲取算法的穩(wěn)定收斂特性，但算法針對不同流型需要設(shè)定不同的參數(shù)，重建圖像的精度不高。文獻(xiàn)[13]在經(jīng)典Landweber的基礎(chǔ)上引入Runge_Kutta優(yōu)化算法，并推導(dǎo)出解決電容層析成像問題的數(shù)學(xué)模型，有效提高了重建圖像的質(zhì)量。文獻(xiàn)[14]提出了改進(jìn)初值的方法，即引入了阻尼算子并添加一個(gè)帶參數(shù)的單位矩陣，通過參數(shù)調(diào)節(jié)以提高重建圖像的質(zhì)量。文獻(xiàn)[15]通過同倫攝動(dòng)推導(dǎo)出二階迭代公式并在公式上添加全變差正則項(xiàng)，通過正則化思想提高了重建圖像的質(zhì)量，但依然沒有有效解決算法半收斂的問題。

本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，基于同倫攝動(dòng)方法推導(dǎo)出二階迭代公式，并針對二階迭代公式存在的半收斂問題，通過添加約束因子使譜半徑小于1，以有效提高算法的收斂性。為驗(yàn)證改進(jìn)算法的收斂性及有效性，選擇 LBP、Tikhonov、HPIM、原 Landwber算法及四種常見的流型完成了圖像重建的對比實(shí)驗(yàn)，并對重建圖像的主觀質(zhì)量及客觀指標(biāo)做了對比分析。重建圖像質(zhì)量評價(jià)的客觀指標(biāo)選取較常用的相關(guān)系數(shù)及相對誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法在重建圖像的主觀質(zhì)量上更接近原始流型，在較少迭代次數(shù)的前提下，重建圖像的相對誤差及相關(guān)系數(shù)優(yōu)于其他對比算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法的收斂性及有效性。

1 改進(jìn)的Landweber圖像重建算法

1.1 Landweber算法基本原理

Landweber迭代算法是由最速下降法演變而來的，它以最小二乘準(zhǔn)則為主要依據(jù)，是ECT應(yīng)用領(lǐng)域較為普遍的一種方法。算法的主要原理是在數(shù)據(jù)殘差的負(fù)梯度方向上對解進(jìn)行修正。根據(jù)最優(yōu)化理論，由式C＝SG得到ECT圖像重建的極小化目標(biāo):

式中:S為靈敏度分布矩陣，G為歸一化介電常數(shù)分布向量，C為歸一化電容向量。

根據(jù)向量范數(shù)定義，目標(biāo)函數(shù)可寫為:

按照最速下降法的原理，將負(fù)梯度方向作為優(yōu)化搜索的方向，則ECT圖像重建的迭代公式為:

式中:?k為最優(yōu)步長。

1.2 改進(jìn)的Landweber算法

ECT系統(tǒng)中解決圖像重建問題較有效的方法是非線性最小二乘法，即解決式(5)所示的最優(yōu)化問題:

式中:δ為介電常數(shù)分布，Uα為帶有噪聲的測量電容值，其中α＞0為噪聲等級。

式(5)相應(yīng)的歐拉方程為:

根據(jù)同倫思想，構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)同倫函數(shù)H，R×[0，1]→R且滿足:

式中:p∈[0，1]為嵌入同倫參數(shù)，v為方程(7)的解，δ0為介電常數(shù)分布的初始值。

假設(shè)式(7)的解可以展開成關(guān)于p的冪級數(shù):

當(dāng)p→1時(shí)，式(7)與式(6)等價(jià)，則可得到式(6)的近似解:

將式(7)中的F(v)在δ0處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開并忽略高階項(xiàng)，可以得到:

將式(8)代入式(10)可得到:

按照p的不同冪次進(jìn)行同類項(xiàng)合并得到:

根據(jù)以上形式，構(gòu)造兩種迭代形式:

式(18)為經(jīng)典的Landweber算法迭代公式，而式(19)則是二階近似Landweber迭代算法(Homotopy Perturbation Iterative Method，HPIM)，即同倫攝動(dòng)反演方法。

根據(jù)以上分析可知式(6)的解可進(jìn)一步寫為:

令 R＝I-F′(δ0)?F′(δ0)為殘差，僅當(dāng)殘差的譜半徑ρ(R)＜1時(shí)才能保證級數(shù)收斂，而級數(shù)半收斂的主要原因?yàn)?F′(δ0)?F′(δ0)不滿秩，為解決半收斂問題，利用 F′(δ0)?F′(δ0)的對稱性與非負(fù)定性，構(gòu)造新算子 R′＝μ[I-F′(δ0)?F′(δ0)]，令 ρ(R′)＝ μ‖[I-F′(δ0)?F′(δ0)]‖，ζ＝ρ(R)＝ ‖[I-F′(δ0)?F′(δ0)]‖則:

根據(jù)式(21)可見，譜半徑ρ(R)存在著大于1的可能，從而影響算法的收斂，因此我們在譜半徑處加上約束因子μ，使得ρ(R′)＜1，構(gòu)造新的迭代公式為:

本文算法具體步驟如下所示:

(1)預(yù)處理

①對測量所得的電容值、靈敏度矩陣進(jìn)行歸一化處理；②由LBP算法計(jì)算出初始介電常數(shù)分布向量；③由預(yù)處理實(shí)驗(yàn)獲取各流型的最優(yōu)迭代步數(shù)、確定約束因子μ；

(2)根據(jù)式(22)進(jìn)行迭代運(yùn)算；

(3)判斷是否滿足迭代終止條件，若滿足則轉(zhuǎn)至步驟(4)否則返回步驟(2)繼續(xù)迭代。

(4)輸出重建結(jié)果。

2 實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的收斂性及有效性，本文以兩相流為研究對象，選取較經(jīng)典的 LBP、Tikhonov、Landweber、HPIM與改進(jìn)算法完成對比實(shí)驗(yàn)，其中Landweber、HPIM屬于迭代類算法。實(shí)驗(yàn)中選取四種常見兩相流流型:泡流、核心流、層流以及環(huán)流(并依次標(biāo)定為流型 1、2、3、4)，通過有限元分析軟件計(jì)算獲得電容值及靈敏度矩陣，并完成ECT圖像重建。實(shí)驗(yàn)中，用64×64的網(wǎng)格將管道截面剖分為4 096個(gè)單元，其中3 228個(gè)成像單元為該截面的有效區(qū)域。重建圖像的客觀評價(jià)指標(biāo)選取較為常用的相對誤差及相關(guān)系數(shù)。

式(23)為相對誤差評價(jià)指標(biāo)公式，式(24)為相關(guān)系數(shù)評價(jià)指標(biāo)公式。式中g(shù)表示通過圖像重建算法獲得的介電常數(shù)分布，為管道內(nèi)真實(shí)介電常數(shù)分布，分別為g和的平均值，D為g和的維度。依據(jù)計(jì)算公式，相對誤差越小表示重建介電常數(shù)分布越接近原始介電常數(shù)分布，而相關(guān)系數(shù)表明原始介電常數(shù)分布和重建介電常數(shù)分布在統(tǒng)計(jì)上的相似性，相關(guān)系數(shù)越大表示二者越相似，反映重建圖像(介電常數(shù)分布)質(zhì)量越高。

2.1 重建圖像客觀指標(biāo)對比實(shí)驗(yàn)

表1、表2為各對比方法重建的圖像與原始圖像的相對誤差以及相關(guān)系數(shù)。其中，經(jīng)典Landweber算法和HPIM算法對流型1、3及流型4迭代次數(shù)均為100次，對流型2的迭代次數(shù)為200次，本文算法對流型1、2、3以及流型4迭代次數(shù)分別為:40次、50次、4次以及35次。

表1 相對誤差

表2 相關(guān)系數(shù)

分析表1與表2數(shù)據(jù)可見，對于所選四種流型，本文算法的相對誤差以及相關(guān)系數(shù)均優(yōu)于其他對比算法，且迭代次數(shù)要明顯少于迭代類算法中的Landweber及HPIM算法。對實(shí)驗(yàn)中的四種流型，HPIM算法和Landweber算法在相同迭代次數(shù)下對于流型3，所得相對誤差以及相關(guān)系數(shù)差別較小；對流型1、2、4，HPIM 算法略優(yōu)于 Landweber算法。 在迭代類算法中，本文算法在相對誤差及相關(guān)系數(shù)上均有改善，且對于流型2、3、4，在迭代次數(shù)較少的前提下，相對誤差的下降與相關(guān)系數(shù)提高均較為明顯；相對于LBP算法及Tikhonov算法，本文算法的相對誤差以及相關(guān)系數(shù)均有明顯改善。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性，但同時(shí)也揭示了迭代次數(shù)對算法的影響問題。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的收斂性，我們測試了不同迭代次數(shù)對重建圖像質(zhì)量的影響。限于篇幅，這里選取環(huán)流(流型4)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制為圖1與圖2所示的對比曲線。

圖1 環(huán)流(流型4)相關(guān)系數(shù)對比

由圖1、圖2可見，在初次迭代時(shí)(迭代步數(shù)為1)，本文算法與Landweber算法、HPIM算法在相關(guān)系數(shù)和相對誤差上幾乎相同，但是，隨著迭代次數(shù)的增加，本文算法能以較快的速度收斂，在迭代35次時(shí)就能達(dá)到較好的客觀評價(jià)指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)高于其他兩種對比算法，同時(shí)相對誤差低于其他兩種對比算法。

圖2 環(huán)流(流型4)相對誤差對比

2.2 重建圖像主觀質(zhì)量對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法重建圖像的有效性，我們將對比算法所獲取的最佳重建圖像在表3中做展示。表中第1行為原始流型截面圖，第2至6行分別為:LBP、Tikhonov、Landweber、HPIM 以及本文算法的重建流型截面圖。

表3 重建圖像主觀質(zhì)量對比

由表3重建圖像的主觀結(jié)果可見，LBP算法和Tikhonov算法重建圖像發(fā)生形變、區(qū)分度不佳。原Landweber算法和HPIM算法的重建圖像在形狀上均大體接近原始流型，主觀對比略有差別。相對于其他算法，本文算法能夠以較高精度對場域中的各種流型進(jìn)行重建，尤其是對流型2、3、4，本文算法能夠較清楚的重建場域內(nèi)物體的位置信息和邊緣信息，重建圖像的物體區(qū)分度較好、分辨率較高，且更加接近原始流型。

3 結(jié)論

本文對比分析了ECT系統(tǒng)常見的三類圖像重建算法，并以Landweber算法為研究重點(diǎn)，闡述了經(jīng)典Landweber算法的基本原理，分析了影響算法收斂性的主要因素，并針對原算法的半收斂問題，通過同倫攝動(dòng)方法推導(dǎo)出二階迭代公式。為解決二階迭代公式中譜半徑影響算法收斂的問題，通過添加約束因子，獲得一種全收斂的改進(jìn)Landweber算法。為驗(yàn)證改進(jìn)算法的收斂性及有效性，本文以兩相流為研究對象，選取四種常見流型:泡流、核心流、層流以及環(huán)流，通過較經(jīng)典的 LBP、Tikhonov、HPIM、Landweber與改進(jìn)算法完成對比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文算法的收斂性及有效性，相較于迭代類算法中的HPIM、Landweber算法，在較少迭代次數(shù)的前提下，本文算法可獲得更高的圖像重建精度。