龍恩林，陳俊智

(昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093)

0 引言

金屬礦產(chǎn)資源作為世界各國重要的工業(yè)原料，對國民經(jīng)濟發(fā)展和科技進(jìn)步有著舉足輕重的作用，就我國而言，礦產(chǎn)資源經(jīng)過多年的開采，位于淺部的資源逐年減少或已枯竭，因此我國金屬礦山資源開采正處于向深部全面推進(jìn)的階段，進(jìn)入深部開采后，巖體的結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)會發(fā)生重大變化，淺部的硬巖可能會變?yōu)檐泿r，彈性體可能變?yōu)樗苄泽w，尤其是在深部高地應(yīng)力作用下的硐室開挖、采場爆破、巷道支護等施工性周期荷載擾動作用會進(jìn)一步擴大，從而使得巖體力學(xué)性質(zhì)更加難以把控，而能量轉(zhuǎn)化作為巖體各種物理變化的本質(zhì)，研究能量變化對解決工程實際問題有著重要意義[1]。

因此，有許多學(xué)者對巖石在受力過程中的能量變化進(jìn)行了大量研究，如鄧華鋒等[2]研究了砂巖在單軸循環(huán)加卸載作用下應(yīng)力-應(yīng)變滯后現(xiàn)象對能量參數(shù)計算的影響并提出了能量參數(shù)的修正計算方法；何明明等[3]建立了單軸循環(huán)荷載下砂巖的耗散能隨循環(huán)次數(shù)變化的能量演化方程；張楚旋等[4]探討了不同應(yīng)力路徑下花崗巖卸荷破壞過程的能量耗散特征，認(rèn)為能量耗散與時間呈非線性關(guān)系，且隨著施加圍壓的增大，相同變形情況下能量耗散也越大；張志鎮(zhèn)等[5]分析了紅砂巖在加載過程中的能量分配規(guī)律，并認(rèn)為巖石的彈性能密度-應(yīng)力曲線更能夠反映材料的力學(xué)性質(zhì)，表現(xiàn)出比應(yīng)力-應(yīng)變曲線的優(yōu)越性；蘇國韶等[6]利用自主開發(fā)的真三軸巖爆試驗系統(tǒng)實現(xiàn)了巖爆碎塊耗能的定量分析，得出不同加載速率下，巖爆碎塊耗能均以剪切耗能為主的結(jié)論；ZHANG等[7]使用SEM對不同加載速率下大理巖的斷口形貌進(jìn)行了分析，結(jié)果表明巖石動態(tài)斷裂時的能量明顯大于靜態(tài)時的；JIANG等[8]對煤樣進(jìn)行了三軸加卸載試驗，認(rèn)為累積耗散能量呈指數(shù)函數(shù)形式增長；SUN等[9]研究了砂巖三軸循環(huán)加卸荷下的損傷演化，提出了1種基于等增幅多重循環(huán)加卸荷試驗的巖石損傷演化模型。以上能量研究主要基于宏觀力學(xué)參數(shù)(應(yīng)力-應(yīng)變曲線)積分計算求得，而在積分求解時曲線的滯后效應(yīng)等必然導(dǎo)致結(jié)果的誤差，因此有學(xué)者從細(xì)觀力學(xué)角度出發(fā)，采用數(shù)值模擬軟件定量計算出試件在加卸載過程中的能量大小，如王云飛等[10]結(jié)合室內(nèi)單軸試驗和PFC顆粒流數(shù)值模擬軟件獲得了花崗巖的細(xì)觀力學(xué)參數(shù)，研究了不同圍壓下的花崗巖能量演化機制；溫韜[11]通過PFC數(shù)值模擬對錦屏砂巖進(jìn)行了循環(huán)加卸載數(shù)值試驗，分析了其在破壞過程中摩擦能、動能以及應(yīng)變能等細(xì)觀能量的演化規(guī)律；陳子全[12]用PFC數(shù)值模擬軟件的破裂源機理對巖石的破裂及其能量機理進(jìn)行了分析；姜耀東等[13]運用FLAC數(shù)值模擬軟件結(jié)合巖石CT掃描結(jié)果，進(jìn)行了多載速率下單軸數(shù)值模擬，得出了加載速率增加將會使能量耗散和積聚更早發(fā)生的結(jié)論。

就以上研究成果而言，對常規(guī)受力下巖石破壞時的能量轉(zhuǎn)化研究較多，但對花崗巖在周期荷載作用下應(yīng)力-應(yīng)變曲線不同變形階段的能量變化機理研究較少，而花崗巖作為地下開采所面臨的普遍巖體，因此，本文在室內(nèi)單軸試驗的基礎(chǔ)上，結(jié)合PFC顆粒流數(shù)值模擬軟件對各階段的能量變化(總能量、彈性應(yīng)變能和耗散能)進(jìn)行詳細(xì)研究，其結(jié)果對深入了解花崗巖在周期荷載下的力學(xué)特性和能量破壞機制有一定參考意義，同時也為礦山對施工擾動下礦柱的安全性分析給予一定幫助。

1 花崗巖室內(nèi)試驗與數(shù)值模擬

1.1 花崗巖室內(nèi)試驗

本次試驗試件取自云南某礦山，將其按照工程巖體試驗方法標(biāo)準(zhǔn)制備成100 mm×50 mm×50 mm的長方體試件，選取其中完整性較好地試樣進(jìn)行單軸壓縮試驗，從而得到相關(guān)力學(xué)參數(shù)以便進(jìn)行后續(xù)數(shù)值試驗。室內(nèi)試驗系統(tǒng)采用TAW-2000巖石三軸試驗機，加載時采用應(yīng)力控制，加載速率為0.5 kN/s。室內(nèi)試樣宏觀力學(xué)參數(shù)：平均強度為75.2 MPa，彈性模量為32.31 GPa，泊松比為0.16。

1.2 數(shù)值模型與試驗

顆粒間的相互作用以顆粒流接觸本構(gòu)模型來表征，在PFC顆粒流數(shù)值模擬軟件內(nèi)置的眾多接觸本構(gòu)模型當(dāng)中，平行黏結(jié)模型因其在拉伸或剪切斷裂時可以有效模擬巖石類材料而被廣泛應(yīng)用[14-16]。因此本文采用平行黏結(jié)模型來表征花崗巖顆粒間的膠結(jié)物，數(shù)值試驗計算模型與室內(nèi)試驗試件尺寸保持一致，在結(jié)合JENSEN等[17]學(xué)者關(guān)于試件尺寸D和內(nèi)部顆粒平均粒徑d50的比值大于30～40時，顆粒數(shù)量的多少對模型結(jié)果不會產(chǎn)生顯著影響的前提下，通過試錯法多次調(diào)節(jié)細(xì)觀參數(shù)，以數(shù)值模型求解得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與室內(nèi)試驗曲線相吻合為準(zhǔn)則完成了模型的標(biāo)定，其標(biāo)定結(jié)果對比如圖1所示，初始數(shù)值模型與構(gòu)架如圖2所示。

圖1 室內(nèi)試驗和數(shù)值試驗應(yīng)力-應(yīng)變對比Fig.1 Comparison of stress-strain diagrams for laboratory tests and numerical tests

圖2 初始數(shù)值模型與構(gòu)架Fig.2 Initial numerical model and architecture

數(shù)值試驗方案為常規(guī)單軸壓縮和循環(huán)加卸載，循環(huán)應(yīng)力水平約為峰值應(yīng)力的20%～40%，循環(huán)次數(shù)為1，2，5，10，25，50，100，200以及300，盡可能模擬實際工程中的循環(huán)擾動，從而得到逼近于實際的結(jié)論。

2 能量特征分析

2.1 能量原理

能量轉(zhuǎn)化作為材料各種參數(shù)變化的本質(zhì)特征，貫穿于巖石變形破壞的始終，謝和平等[18]根據(jù)熱力學(xué)第一定律，假設(shè)巖體在外力作用下產(chǎn)生變形且該過程中沒有與外界進(jìn)行熱交換，則有：

U=Ud+Ue

(1)

式中：U為外力對巖石所做的總功；Ud為受力過程中巖石所耗散的能量；Ue為受力過程中巖石所存儲的彈性應(yīng)變能。

圖3為可釋放彈性應(yīng)變能與耗散能對應(yīng)關(guān)系，其中陰影部分為巖石在受力過程中存儲于自身的彈性應(yīng)變能，Ud為卸荷彈性模量Eu與應(yīng)力-應(yīng)變曲線所圍成的面積。

圖3 可釋放應(yīng)變能與耗散能對應(yīng)關(guān)系Fig.3 Corresponding relationship between releasable strain energy and dissipated energy

2.2 能量轉(zhuǎn)化分析

巖石在受力致破壞過程中涉及到眾多能量轉(zhuǎn)化，如彈性變形對應(yīng)的彈性勢能、塑性變形對應(yīng)的塑性勢能、裂紋生成與擴展所需的表面能、巖石破壞后產(chǎn)生動能、輻射能以及其他各種尚未發(fā)現(xiàn)的能量形式等等?，F(xiàn)采用PFC數(shù)值模擬軟件對巖石破壞過程中主要的能量轉(zhuǎn)化(總能量、彈性應(yīng)變能與耗散能)進(jìn)行分析。

圖4為2次循環(huán)下各能量與裂紋隨應(yīng)力-應(yīng)變的變化曲線，將曲線分為4個階段：

圖4 能量與裂紋隨應(yīng)力-應(yīng)變的變化曲線Fig.4 Curves of energy and crack change with stress-strain

1)初始壓密階段(OA)：PFC數(shù)值模擬軟件在初始建模時就對模型內(nèi)部顆粒進(jìn)行了重生壓密，顆粒間接觸相對均勻，因此應(yīng)力-應(yīng)變曲線偏向于線性化增長且壓密不明顯，就該階段能量而言，外界對試件所做的總功基本都轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能，沒有裂紋產(chǎn)生，能量耗散基本為零。

2)彈性階段(AB)：A點處總功與彈性應(yīng)變能開始分離，產(chǎn)生的少量耗散能主要用于循環(huán)時顆粒間的摩擦，粒間黏結(jié)鍵的少量斷裂，微裂紋的萌生等，因此耗能較小，試件宏觀上表現(xiàn)為線彈性；循環(huán)結(jié)束后隨著加載的進(jìn)行，彈性應(yīng)變能存儲速率和能量的耗散速率逐漸加快，且二者皆呈現(xiàn)出線性穩(wěn)定增長的趨勢。

3)屈服階段(BC)：試件進(jìn)入屈服階段后，雖然其能量轉(zhuǎn)化仍以彈性應(yīng)變能的存儲為主，但耗散能不斷增加，內(nèi)部損傷的累積開始，并于B點處產(chǎn)生少量可見裂紋，隨著裂紋數(shù)量的不斷產(chǎn)生，耗散能增長速率也不斷增大，呈現(xiàn)出“下凸”型增長；相反，彈性應(yīng)變能的存儲開始減緩，且其增長速率于峰值點C附近減小為0。總體而言該階段彈性應(yīng)變能增速開始變緩，耗散能增速不斷增加，可見裂紋開始顯現(xiàn)并迅速增加。

4)峰后階段(CD)：彈性應(yīng)變能在峰值點C附近達(dá)到儲能極限，前期存儲的彈性應(yīng)變能開始急劇釋放，主要用于內(nèi)部新裂紋的產(chǎn)生以及宏觀破裂面的貫通形成，裂紋數(shù)量也于該階段激增直至試件全面破裂而停止；而相應(yīng)的耗散能也因試件損傷的加劇開始迅速增長，并處于該階段能量占比的主導(dǎo)地位(46.8%～60.4%)。

從以上可以看出，在巖石受力致失穩(wěn)破壞的整個過程中，能量急劇釋放是導(dǎo)致巖石失穩(wěn)破壞的真正原因，峰值點C之前主要是彈性應(yīng)變能的存儲和能量的緩慢耗散；峰值點C之后則是彈性應(yīng)變能的急劇釋放，耗散能的快速增加，裂紋的不斷增長。

2.3 耗散能特征分析

巖石能量的耗散是巖石失穩(wěn)破壞的本質(zhì)屬性，反映的是巖石內(nèi)部微觀缺陷(裂紋、孔洞)的產(chǎn)生、擴展和貫通，材料強度不斷弱化并喪失的過程，有學(xué)者以循環(huán)過程中形成的滯回環(huán)面積大小來描述耗散能[2]。圖5為循環(huán)荷載作用下單次循環(huán)耗散能數(shù)值與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線，由圖5可知，顆粒流數(shù)值模型在循環(huán)荷載過程中耗散能的發(fā)展隨循環(huán)次數(shù)大致呈現(xiàn)出線性變化，該變化過程可劃分為2個階段，即：初期等速發(fā)展階段(AB)以及后期加速發(fā)展階段(BC)。其中初始階段，耗散能隨著循環(huán)次數(shù)等速穩(wěn)定增長，這主要是由于顆粒流數(shù)值模型密實度較高，內(nèi)部微觀缺陷較少，壓密階段消耗的能量較少，每循環(huán)1次就形成1個滯回環(huán)，耗散能穩(wěn)定緩慢增長；而后期加速發(fā)展階段(BC)，在循環(huán)次數(shù)達(dá)到一定量級時，多次循環(huán)下巖石內(nèi)部累積的損傷開始顯現(xiàn)，能量主要消耗在顆粒間的摩擦、內(nèi)部微小裂紋的萌生和生成新的塑性區(qū)上，每多循環(huán)1次，內(nèi)部損傷便得到累積，因此在高循環(huán)次數(shù)下，循環(huán)耗散能數(shù)值于后期更趨向于加速增長的狀態(tài)。

圖5 耗散能隨循環(huán)次數(shù)變化的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curves between dissipated energy and number of cycles

圖6為峰值強度之前耗散能隨軸向應(yīng)力變化的關(guān)系圖。從圖6可知，不同循環(huán)次數(shù)下耗散能隨軸向應(yīng)力變化的散點圖幾乎重合，這主要是數(shù)值模型的同一性所致；從速率上看，散點圖的擬合曲線呈現(xiàn)為非線性增長，先慢后快，初期主要是由于顆粒流模型內(nèi)部接觸良好，初始缺陷耗能較少所致，對應(yīng)于圖4中OA段；隨后試件進(jìn)入彈性階段，對應(yīng)于圖4中AB段，雖然此時試件內(nèi)部被進(jìn)一步壓實，但是由于應(yīng)力的加大和集中，內(nèi)部依舊會有微小裂紋的發(fā)育擴展等行為，導(dǎo)致耗能速率慢慢增大；當(dāng)應(yīng)力達(dá)到60 MPa附近時，增速達(dá)到最大，此后其能量的消耗主要用于裂紋的發(fā)展，對應(yīng)于圖4中BC段。

圖6 耗散能隨應(yīng)力變化的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curve of dissipated energy with stress

2.4 耗散能的變化方程

材料的非彈性性質(zhì)在任何荷載形式下都存在，即使是在低應(yīng)力的條件下依舊不是完全按照彈性性質(zhì)進(jìn)行力學(xué)響應(yīng)，在循環(huán)荷載作用下加卸載曲線路徑不重合，每次加卸載都形成滯回環(huán)，這主要由能量的損耗所致，有學(xué)者將其定義為材料的阻尼，并進(jìn)行大量的試驗得出材料的阻尼耗能與應(yīng)力呈現(xiàn)對數(shù)關(guān)系[3]。

從圖6擬合結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，材料的耗散能與應(yīng)力呈現(xiàn)出冪函數(shù)關(guān)系，即符合上述阻尼理論：

Ud=Kσn

(2)

式中：K，n分別為巖石相關(guān)力學(xué)性質(zhì)和循環(huán)次數(shù)與應(yīng)力有關(guān)的參數(shù)。

通過圖6中的擬合可得K，n的值，見表1。

表1 不同循環(huán)次數(shù)下K與n的值Table 1 Values of K and n under different numbers of cycles

假設(shè)巖石在循環(huán)荷載過程中K，n的值與循環(huán)次數(shù)N有以下關(guān)系：

K=a+bNC

(3)

n=d+eNf

(4)

式中：a,b,c,d,e,f分別為與巖石力學(xué)性質(zhì)相關(guān)的參數(shù)。

則式(2)可以改寫為：

Ud=(a+bNc)σ(d+eNf)

(5)

則式(5)為一定循環(huán)次數(shù)下耗散能隨應(yīng)力的變化方程，其中當(dāng)a=0.000 285 7,b= 0.000 043 92,c=0.640 7,d=2.039 7,e=-0.004 55,f=0.768 22時可以得到較好的結(jié)果，如圖7所示。

圖7 耗散能隨應(yīng)力變化的關(guān)系曲線Fig.7 Relation curve of dissipated energy with stress

3 結(jié)論

1)試件峰值強度前吸收的總能量、積聚彈性應(yīng)變能和耗散能都隨著軸向應(yīng)力呈現(xiàn)出非線性增長，總能量速率增長最快，彈性應(yīng)變能次之，耗散能最慢。

2)彈性應(yīng)變能在峰值強度附近達(dá)到儲能極限，增長速率逐漸降為0；峰后則是前期積累的彈性應(yīng)變能急劇釋放，耗散能隨裂紋的發(fā)展而快速增長。

3)單次循環(huán)耗散能數(shù)值隨著循環(huán)次數(shù)的增長而加大，說明周期荷載作用下巖石內(nèi)部的損傷在高循環(huán)次數(shù)下有著擴大的趨勢。

4)基于材料阻尼理論，建立了一定循環(huán)次數(shù)下耗散能隨應(yīng)力變化的演化方程，其計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合性較好。