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        數(shù)形結(jié)合
        ——幫助學生理解算理的金鑰匙——“隊列表演(一)”教學實踐與思考

        2019-11-06 01:28:02福建省泉州市實驗小學洛江校區(qū)任紅藝
        小學時代 2019年6期
        關鍵詞:點子兩位數(shù)隊列

        福建省泉州市實驗小學洛江校區(qū) 任紅藝

        “隊列表演(一)”是北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》三年級下冊“乘法”單元中的關于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算”的內(nèi)容。這節(jié)計算課看似內(nèi)容簡單,實則具有豐富的教學價值。《數(shù)學課程標準(2011年版)》強調(diào)計算教學不僅要讓學生會算,更重要的是讓學生理解為什么這樣算。縱觀本課的教學內(nèi)容在小學數(shù)學乘法教學中的地位,我們可發(fā)現(xiàn)它是后續(xù)學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算以及運算律算理的重要載體,學生若是能通過本課的學習,真正理解算理、內(nèi)化算法,以后的教學定能事半功倍。帶著對教材的認識和教學的設想,我進行了試教,卻產(chǎn)生了諸多的教學困惑。

        【教學困惑】

        1.嘗試計算14×12 的結(jié)果時部分學生出現(xiàn)“個位數(shù)乘個位數(shù)、整十數(shù)乘整十數(shù)” 的 錯 誤 想 法:4 ×2=8,10 ×10=100,8+100=108,究其原因,是受筆算加減法“相同數(shù)位上的數(shù)相加減”的定勢影響。這不禁引起了我的思考,怎樣幫助學生消除負遷移的影響,為后續(xù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算教學打下堅實的基礎?

        2.很多學生能機械模仿算法,卻對其中的算理理不清、道不明,教學中如何發(fā)揮“點子圖”橋梁和輔助作用,幫助學生尋找算法,理清算理便成了我重點關注的問題。

        3.理解用點子圖的乘法運算與列表的乘法運算之間的聯(lián)系與區(qū)別是學生的學習難點,怎樣化解這一難點是我竭力探索的教學問題。

        基于對這幾個教學問題的思考,最終確定了以下教學方案,并取得了理想的教學效果。【教學實踐】

        一、創(chuàng)設情境,提出問題

        1.獲取信息

        課件出示情境圖

        師:學校舉行隊列表演,你瞧,同學們排得多整齊呀!從圖中你知道了什么數(shù)學信息?

        生:每行14 人,共有12 行。

        2.將情境圖抽象為點子圖

        師:如果要把這幅隊列圖用我們的老朋友點子圖來表示,可以嗎? 該怎么表示呢?

        生:一個人比作一個點子,每行有14個點子,有12 行。

        師:就像這位同學說的這樣,一人對應一點,隊列圖就變成了點子圖了。

        課件演示點子圖的生成過程:

        3.提出問題。

        師:根據(jù)這些信息,你想解決什么數(shù)學問題?

        生:一共有多少人參加隊列表演?

        4.嘗試列式

        師:誰會列算式?還可以怎么列?

        生1:12×14

        生2:14×12

        5.揭示課題

        師:14×12 這個算式與我們之前學的有什么不同呢?

        生:之前學的是兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十數(shù),而這是個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式。

        板書:兩位數(shù)乘兩位數(shù)

        【思考】 創(chuàng)設隊列表演情境,由隊列圖抽象為點子圖,讓學生體會人與點之間一一對應的關系,從中自主尋找數(shù)學信息、提出問題并列式,觀察算式與之前的不同,引出今天的探索內(nèi)容。

        二、自主探究,解決問題

        1.大膽嘗試

        師:我們還沒學,你能算出它的得數(shù)嗎?

        生1:168。

        師:有不同想法的嗎?

        生2:我把14 看作10 和4,12 看作10 和2 中,先算4×2=8,再算10×10=100 ,最后算8+100=108。

        【思考】 探索之前先讓學生大膽嘗試計算,可了解學生的認知水平,暴露學生的錯誤想法,以便探索之后引導學生進行有針對性的“診斷”,還可迅速地激發(fā)學生的探索欲望,可謂“一舉多得”!2.探索算法

        師:14×12 究竟等于多少呢?想不想自己研究研究?今天就請點子圖來幫助我們學習吧。

        (1)出示活動要求

        想一想、圈一圈:能用以前學過的知識求出14×12 的結(jié)果嗎? 在點子圖上圈出自己的想法。

        算一算、說一說:寫出計算過程,再結(jié)合點子圖和同桌互相交流想法。

        指名學生讀活動要求。

        (2)獨立解決

        完成學習單一的問題:先在點子圖上圈一圈,再寫出你的計算過程。

        提醒:做完后,和身邊的同學互相說一說各自的想法。

        【思考】 明確學習活動要求,讓學生知道“想什么”、“做什么”、“說什么”,提高探究活動的實效。為學生提供充分從事數(shù)學活動的機會,鼓勵學生借助點子圖圈一圈,再算一算,用已學的知識獨立解決。

        3.展示交流。

        師:孩子們,都完成了嗎?下面是我們的分享時間,只要你認真傾聽,就能從別人的想法中獲得新的啟發(fā),我們先請××同學上臺說一說自己是怎么圈,怎么算。

        (交流的過程中,提醒學生指著點子圖說說每一個算式求出的是哪一部分。)

        (1)展示學生作品1

        生1:我把14 列分成了7 列和7 列,先用12×7=84 算出7 列有多少,再用84×2=168 求出總數(shù)。

        師:看懂了嗎?有什么疑問嗎?

        生2:為什么要乘2 呢?

        生1:因為我把總數(shù)分成了相同的兩部分。

        師:這種計算方法用綜合算式怎么表示呢?

        板書:12×7×2

        (2)展示學生作品2

        生:我是圈成了相同的兩部分,14×6算出其中的一部分,84+84 求出總數(shù)。

        師:84+84 還可以寫成什么?

        生:還可以寫成84×2。

        師:老師也把這種方法記錄下來,怎么寫呢?

        板書:14×6×2

        (3)比較方法一和方法二。

        (將兩張學習單同時展示)

        師:謝謝兩位同學的分享!仔細觀察這兩位同學的想法,有什么相同之處嗎?

        生:都是把總數(shù)平均分成了兩部分。

        師:像這樣把總數(shù)平均分成了相同的兩部分,我們可以怎樣計算?

        生:先求出每一份是多少,再乘2 份。

        師:除此之外,我們班同學還有不同的想法,一起來看看他們是怎么想的!

        (4)展示學生作品3

        生:我的想法和他們不一樣,我是把12 行拆成了10 行和2 行,14×10=140 求出10 行有多少,14×2=28 求2 行有多少,再相加。

        師:還有誰的想法也是這樣的呢?

        (5)展示學生作品4

        師:××同學是用以前學過的表格的方法來記錄自己的計算過程,你能讀懂這個表格的意思嗎?

        生:我知道,他是把14 列分成10 列和4 列,表格中的120 和48 求出的是點子圖中的這兩部分,再加起來。

        師:看來你很善于讀懂別人的想法。

        (6)展示學生作品5

        師:剛才老師發(fā)現(xiàn)有個同學的想法是這樣的,一起來看看!知道這位同學是怎么圈的呢?

        生:他是把14 列分成了10 列和4列,12 行分成了10 行和2 行。

        師在學習單上標出:

        師:是的,他把兩個數(shù)同時拆分了。

        師:這樣就把總數(shù)分成了幾部分,誰能結(jié)合點子圖說一說每一部分是怎么算的?

        指名學生上臺說每一步怎么算,算出的是哪一部分。

        師把學生的想法記錄在學習單上:

        師:說得有條有理的,掌聲送給他!

        【思考】 抽象的算理難以理解,更難以表達,為此,在展示交流的過程中,要讓學生結(jié)合點子圖說說自己是怎么圈,怎么算,借助點子圖來闡明算理,使得深奧的算理能讓學生看得見,說得清。并體會算法的多樣性,歸納算法,感悟算法的不同之處,為日后建構(gòu)“乘法結(jié)合律和乘法分配律”的模型埋下伏筆。

        4.溝通聯(lián)系

        師:孩子們,你們果然善于觀察、善于思考,想出了這么多種的計算方法,一起來回憶我們的研究過程,想一想我們是怎么找到14×12 的這些計算方法的呢?

        生1:我們在點子圖上圈一圈、分一分。

        師:誰有補充?

        生2:把數(shù)拆分了,先算出每一部分,再相加。

        師:我們?yōu)槭裁匆@樣分、這樣算呢?

        生3:這樣比較好算。

        生4:可以用以前學過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法來計算了。

        師:是呀,就像同學們說的,我們都是通過先分再合,把兩位數(shù)乘兩位數(shù)變成我們以前學過的兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十數(shù)。用舊知識來解決新問題,這可是數(shù)學學習中的一種重要思想,叫“轉(zhuǎn)化”!運用轉(zhuǎn)化,以后還能幫助我們解決更多的問題呢!

        【思考】 引導學生回憶研究過程,思考、交流是怎么找到14×12 的計算方法,從而發(fā)現(xiàn)算法雖然不同,但都是先分再合,將其轉(zhuǎn)化為已學過的知識,感悟“轉(zhuǎn)化”思想的重要性。

        5.讀懂表格法

        師:淘氣看到同學們想出了這么多種方法,也想試試,他是用表格記錄這種想法,誰能說一說每格中的數(shù)是怎么得來的?求出的是點子圖中的哪一部分?

        課件出示:

        生結(jié)合點子圖解釋表格計算的道理。

        師:是同學說的這樣嗎?我們一起來看看!

        課件動態(tài)演示:將表格與點子圖合二為一。

        師:表格中的四個數(shù)和點子圖中的四部分怎么啦?(生:重合了?。┮灰粚耍磥碛帽砀褚彩强梢杂涗洺鑫覀兊挠嬎氵^程,而且比起畫點子圖來更——(生:簡單)!

        【思考】 通過課件動態(tài)演示表格嵌入、抽出點子圖的過程,幫助學生溝通點子圖、算式和表格之間的聯(lián)系,讓學生體會用列表法也是可以記錄計算過程,而且避免了畫點子圖的麻煩。

        6.診斷錯因

        師:現(xiàn)在回過頭再來看××同學108 的計算過程,對照表格,想一想,錯在哪了嗎?

        師:要不請××同學自己來說說。

        生1:我只算了8 和100 兩部分,少算了40 和20 兩個部分。

        結(jié)合學生的回答,課件動態(tài)演示。

        師:能自己發(fā)現(xiàn)錯誤是件不容易的事,但是你做到了!

        生2:他是用個位數(shù)乘個位數(shù),整十數(shù)乘整十數(shù)的方法來計算的,這樣就漏算了兩部分。

        師:贊同嗎?

        師將板書中108 的錯誤計算方法擦掉。

        師:今天我們在點子圖的幫助下,經(jīng)過自主探究,一起找到了14×12 正確的計算方法,得出——

        板書: 168(人)

        答:有168 人參加隊列表演。

        【思考】借助直觀模型,動態(tài)演示從部分到整體的變化過程,幫助學生診斷錯誤的原因,進一步理解和掌握算理算法。

        7.優(yōu)化算法

        師:在這些方法中,你喜歡哪一種?為什么?

        生1:我喜歡將12 拆成10 和2,分別與14 相乘,再把乘積相加。

        生2:把12 拆成2 個6,用連乘的方法計算,也很好算。

        生3:我喜歡用表格的方法。

        三、鞏固應用,加深理解

        師:看來,同學們都有各自喜歡的方法,接下來就請同學們用自己探究的方法來完成這一道題!

        課件出示:

        1.認真觀察點子圖,結(jié)合算式先分一分,再選一選:14×8=7×4×?。 ( )

        學生獨立嘗試。

        學生交流想法:

        生1:14 分成了7 和7,8 分成4 和4,7×4 求出每一部分是多少,有這樣的4部分,再乘4 求出總數(shù)。

        生2:不用分點子也能想出答案,14里有2 個7,8 里有2 個4,2×2=4 可以看出是把總數(shù)平均分成了4 部分。

        師:能觀察數(shù)的特點,分析是怎么拆分的,是個會思考的孩子!你們能像這位同學這樣不借助點子圖,計算下面兩題嗎?

        2.用喜歡的方法計算下面這兩題。

        15×11 23×12

        學生獨立完成。

        集體交流想法。

        【思考】 在練習中,呈現(xiàn)富有思考價值的問題,打破了“把總數(shù)分成相同的兩部分”的思維定勢,進一步拓寬了學生的思維空間。選擇喜歡的方法計算,脫離直觀模型,促使學生的認識實現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的提升。

        四、全課總結(jié),拓展延伸

        師:今天我們用以前學過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識,探索了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法,在接下來的學習中,你還想研究什么呢?

        生:我想研究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算。

        生:我想學習三位數(shù)乘兩位數(shù)。

        師:學習最大的快樂莫過于自己去研究、自己去發(fā)現(xiàn),帶著這些問題,走出課堂,繼續(xù)你們的探索之旅吧!

        【思考】 一節(jié)課的結(jié)束,不是學習的終點,而應是新的起點,讓學生帶著問題走出課堂,做到課雖終而新的學習之旅已開啟。

        五、板書設計

        隊列表演(一)

        【教學對策】

        三年級的孩子正處于以具體思維為主向以抽象思維為主過渡的階段,理解抽象的算理對于他們來說還是有一定的困難,如何促使學生深刻理解算理,提升思維,數(shù)形結(jié)合思想是把“金鑰匙”,本節(jié)課的教學將數(shù)形結(jié)合思想的運用發(fā)揮得淋漓盡致,學生對算理的理解經(jīng)由形象的人——符號的點——整體的面——抽象的式層層提升。

        1.借助圖形,闡明算理

        課始,14×12 的計算結(jié)果有相當一部分學生是能準確說出答案的,但為什么會等于168,對于多數(shù)學生來說要進行合理地推算,闡明計算道理卻有一定的難度的。教學中,老師直面學生的學習困惑,將隊列圖抽象為點子圖,讓學生借助老朋友點子圖嘗試探索拆分計算,在交流展示多樣算法時,老師著重引導學生結(jié)合點子圖“說”算法,清晰表達分與合的思考過程,將直觀模型與計算過程一一對應,從而使抽象的算理變得看得見、說得清。

        2.數(shù)形結(jié)合,溝通算理

        本節(jié)課主要是利用點子圖和表格幫助學生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算方法,在學習兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法時學生已經(jīng)積累了一定的學習經(jīng)驗,教學中給予學生自主探索的時間與空間,讓學生結(jié)合點子圖解釋表格計算的道理,為了驗證學生的想法,充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用,巧妙地借助課件,將表格嵌入點子圖感悟數(shù)、圖、式三者的聯(lián)系,使學生能直觀感受到表格的四個數(shù)與點子圖的四部分一一對應的關系,再從點子圖中抽出表格,引導學生將點子圖與表格進行比較,體會列表計算是用點子圖計算的抽象形式,列表計算比畫點子圖來更簡潔。通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化, 將點子圖的直觀運算與列表的抽象運算結(jié)合起來,溝通了方法之間的聯(lián)系。

        3.依托直觀,辨析算理

        新課標倡導:學生要能在他人的指導下,發(fā)現(xiàn)數(shù)學活動中的錯誤并及時改正。通過前測,我們發(fā)現(xiàn)在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)有學生出現(xiàn)“個位數(shù)乘個位數(shù),整十數(shù)乘整十數(shù)”的錯誤方法,對于為什么不能這樣計算呢?其他學生也是無從說起。為此,課上老師巧妙結(jié)合表格的計算方法,讓學生對照表格尋找錯因,多數(shù)學生在對比中能清晰地發(fā)現(xiàn)只算了4×2=8 和10×10=100 兩部分,少算了10×4=40 和10×2=20 兩部分,這時,借助課件動態(tài)演示,體會從“部分”到“整體”的生成過程,依托直觀,剖析計算方法的錯因,使學生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理有了更為深刻的理解,為下節(jié)課豎式計算的學習消除認識障礙。

        《數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理,尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”可見,算理探究與算法掌握同等重要,學生唯有掌握算理,才能在實際運算中進行靈活的運用,而“數(shù)形結(jié)合”在算理與算法之間架起了一座橋梁,借助直觀的“形”理解抽象的“數(shù)”,將算理化隱為顯,變得可表達,化難為易,變得能理解,當學生真正地理解算理時,他們對算法的掌握就不再是簡單的模仿、機械的套用,而是理解后的運用。

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