瞿倩倩，韓 華，呂亞楠，賈承豐，馬媛媛

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢 430070)

0 引言

謠言傳播作為一種社會(huì)傳染過(guò)程[4]與疾病傳播非常相似，因此謠言傳播的研究大都基于流行病傳播模型[5]。Daley 和Kenal提出了經(jīng)典的DK謠言傳播模型[6]，它是把個(gè)體分成3類：無(wú)知者、傳播者和免疫者。無(wú)知者是不知道謠言的人，傳播者是散布謠言的人，免疫者是知道謠言但不傳播謠言的人。Maki和Thompson延伸了DK模型，假設(shè)當(dāng)傳播者與另一個(gè)傳播者接觸時(shí)只有最初的傳播者會(huì)變成免疫者[7]。在此之后，學(xué)者們開(kāi)始在這兩種傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究謠言傳播。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展，由一些節(jié)點(diǎn)相互連接組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以更合理地描述現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)，因此越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究網(wǎng)絡(luò)謠言傳播過(guò)程。Zan Yongli[8]考慮網(wǎng)絡(luò)中存在多種謠言傳播的情形，假定兩種謠言開(kāi)始傳播的時(shí)間不同且謠言內(nèi)容無(wú)關(guān)聯(lián)，引入選擇參數(shù)來(lái)表示兩種謠言的吸引力，建立了兩種謠言傳播模型：DSIR模型和CDSIR模型。Zhang Yaming等[9]提出一種考慮超擴(kuò)散機(jī)制的新的謠言與權(quán)威信息傳播模型，運(yùn)用平均場(chǎng)方程推導(dǎo)基本再生數(shù)與最終傳播規(guī)模，并在BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與新浪微博網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行仿真分析。Qian Zhen等[10]基于SIR模型建立了一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有獨(dú)立傳播者(independent spreader)的謠言傳播模型，發(fā)現(xiàn)獨(dú)立傳播者的引入對(duì)謠言傳播過(guò)程與穩(wěn)態(tài)均有影響，突破了傳統(tǒng)的必須通過(guò)連邊傳播的方式，認(rèn)為無(wú)連邊也能傳播。Huo Liang’an等[11]建立了同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播模型, 考慮非線性傳播率并將傳統(tǒng)模型中謠言傳播者進(jìn)一步分為活躍與不活躍兩類狀態(tài), 計(jì)算基本再生矩陣的特征值得出基本再生數(shù)。

謠言傳播依附于具體的網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)必定會(huì)對(duì)謠言傳播過(guò)程產(chǎn)生影響，然而上述研究沒(méi)有充分考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)謠言傳播率的影響，因此，本文基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征引入謠言信度函數(shù)以及個(gè)體親密度函數(shù)的概念，定義一種考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的非一致傳播率。同時(shí)，考慮謠言傳播者本身的信謠程度可能不同，以至于傳播謠言的力度有所差異，在經(jīng)典DK模型[6]的基礎(chǔ)上將謠言傳播者進(jìn)一步分為完全信謠者與輕度信謠者兩類。由于現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中存在用戶注冊(cè)與注銷的情況，考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的移入與移除，依據(jù)平均場(chǎng)理論建立一種具有非一致傳播率的S2IR網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型。本文第1節(jié)通過(guò)建立的社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型得出謠言傳播的微分動(dòng)力學(xué)方程；第2節(jié)推導(dǎo)出謠言傳播模型基本再生數(shù)的表達(dá)式；第3節(jié)對(duì)隨機(jī)免疫與目標(biāo)免疫兩種免疫策略進(jìn)行分析對(duì)比；第4節(jié)仿真分析謠言傳播的特點(diǎn)，探究模型中的參數(shù)對(duì)傳播過(guò)程的影響以及幾種免疫策略的效果，在仿真網(wǎng)絡(luò)與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)上驗(yàn)證模型的有效性；第5節(jié)針對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播得出結(jié)論。

1 具有非一致傳播率的S2IR謠言傳播模型

借助復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)概念，將社交網(wǎng)絡(luò)中的用戶抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，用戶間的好友關(guān)系抽象為節(jié)點(diǎn)之間的連邊。在經(jīng)典DK謠言傳播模型基礎(chǔ)上，考慮傳播謠言的用戶的信謠程度不同導(dǎo)致傳播謠言的力度存在較大差異，把網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為五類：從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)謠言的無(wú)知節(jié)點(diǎn)S、完全信謠節(jié)點(diǎn)I1(傳播謠言的力度較大)、輕度信謠節(jié)點(diǎn)I2(傳播謠言的力度較小)、曾經(jīng)聽(tīng)說(shuō)過(guò)謠言但不會(huì)再相信謠言并且不會(huì)再傳播謠言的免疫節(jié)點(diǎn)R以及空節(jié)點(diǎn)。現(xiàn)有的謠言傳播模型大都將所有節(jié)點(diǎn)的謠言傳播率視為同一常數(shù)，而實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播率并非都相同。鑒于此，本文利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征定義謠言信度函數(shù)與節(jié)點(diǎn)親密度函數(shù)，提出一種新的非一致傳播率。

1.1 謠言信度函數(shù)

以往的謠言傳播模型往往忽略節(jié)點(diǎn)之間的差異，假定節(jié)點(diǎn)的抗感染能力一致。事實(shí)上，節(jié)點(diǎn)度的大小會(huì)影響節(jié)點(diǎn)的抗感染能力。一方面，在實(shí)際的社交網(wǎng)絡(luò)中，度大的節(jié)點(diǎn)一般是網(wǎng)絡(luò)中比較重要的節(jié)點(diǎn)，這樣的重要節(jié)點(diǎn)往往是較早加入網(wǎng)絡(luò)中的，它們具有更多的經(jīng)驗(yàn)與更強(qiáng)的防范意識(shí)，相應(yīng)的抵抗謠言的能力也就更強(qiáng)，因此它們接收謠言后聽(tīng)信謠言且成為謠言傳播者的概率也就相應(yīng)降低了[14]。另一方面，節(jié)點(diǎn)的度越大，它可以選擇進(jìn)行交流的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)間、精力有限，度越大的節(jié)點(diǎn)在與傳播謠言的鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行接觸時(shí)相信謠言的可能性就越小[15]。所以，盡管度大的節(jié)點(diǎn)與謠言傳播者接觸的機(jī)會(huì)更多，但由于自身具有較強(qiáng)的抗謠言的能力，其每次接觸謠言時(shí)相信謠言的概率反而會(huì)低于網(wǎng)絡(luò)的平均接觸傳染率[14]。針對(duì)以上分析，引入謠言信度函數(shù)α(k)來(lái)表示度為k的節(jié)點(diǎn)對(duì)謠言的聽(tīng)信程度(0≤α(k)≤1)，α(k)隨著節(jié)點(diǎn)度k的增大而減小。

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫纠龍DFig.1 An example network topology diagram

1.2 節(jié)點(diǎn)親密度函數(shù)

謠言傳播所依附的網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)對(duì)傳播過(guò)程具有重要影響，為研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)謠言傳播概率的影響，采用節(jié)點(diǎn)相似性來(lái)定義節(jié)點(diǎn)親密度函數(shù)。為描述方便，以圖1所示案例來(lái)定義傳播模型的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。令g表示網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，取值為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號(hào)，下面定義網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)參數(shù)。

定義1節(jié)點(diǎn)的度k(g)。即節(jié)點(diǎn)g的鄰居個(gè)數(shù)，如k(1)=3。

定義2節(jié)點(diǎn)的鄰居集合Γ(g)。即節(jié)點(diǎn)g的所有鄰居節(jié)點(diǎn)的集合。如Γ(1)={2,3,4}。

表1 鄰居節(jié)點(diǎn)集合、鄰居節(jié)點(diǎn)度、共同鄰居數(shù)及節(jié)點(diǎn)親密度Tab.1 Neighbor node set, neighbor node degree, number of common neighbors and node intimacy

1.3 新的S2IR謠言傳播模型

(1)

(2)

其中β為強(qiáng)化參數(shù)。式(1)中，當(dāng)β=0(只考慮節(jié)點(diǎn)信度)時(shí)，式(1)等價(jià)于文獻(xiàn)[14]中SIR模型的傳播率，它能反映節(jié)點(diǎn)的差異性。

對(duì)于建立模型所需要的一些假設(shè)和參數(shù)描述如下：

1) 謠言傳播初始，選取一定比例的節(jié)點(diǎn)分別作為初始傳播節(jié)點(diǎn)I1、I2；

2) 在t時(shí)刻，任意一個(gè)度為k的謠言無(wú)知節(jié)點(diǎn)S被其傳播謠言的鄰居節(jié)點(diǎn)I1感染的概率為λ1(k)、被傳播謠言的鄰居節(jié)點(diǎn)I2感染的概率為λ2(k)，被感染后的節(jié)點(diǎn)以概率τ1變成節(jié)點(diǎn)I1、以概率τ2變成節(jié)點(diǎn)I2；

3) 受辟謠工作的影響，傳播節(jié)點(diǎn)I1會(huì)以概率γ1變成免疫節(jié)點(diǎn)R，傳播節(jié)點(diǎn)I2會(huì)以概率γ2變成免疫節(jié)點(diǎn)R(γ1<γ2)；

4) 傳播力度較大的完全信謠節(jié)點(diǎn)I1由于逐漸對(duì)謠言失去興趣或遺忘等原因會(huì)以概率η變成傳播力度較小的節(jié)點(diǎn)I2；

5) 空節(jié)點(diǎn)變成S節(jié)點(diǎn)的概率記為注冊(cè)率b，所有節(jié)點(diǎn)變成空節(jié)點(diǎn)的概率記為注銷率μ；

6) 在t+1時(shí)刻，由于個(gè)體所處狀態(tài)會(huì)隨時(shí)間而變化，謠言無(wú)知節(jié)點(diǎn)S會(huì)再次與其傳播謠言的鄰居進(jìn)行接觸，傳播過(guò)程會(huì)跳轉(zhuǎn)至第2)步。

圖2 S2IR模型節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 The state transition of S2IR rumor spreading model

謠言傳播機(jī)理如圖2所示。利用平均場(chǎng)理論[17]，由上述傳播規(guī)則，得到新的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型(S2IR模型)的平均場(chǎng)方程為：

(3)

(4)

令Qk=Sk+I1 ,k+I2, k+Rk，將系統(tǒng)(3)左右分別相加可得：

(5)

結(jié)合系統(tǒng)(3)和式(5)可以得到系統(tǒng)(3)的極限方程組：

(6)

2 平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)

借鑒傳播學(xué)中基本再生數(shù)的定義，定義謠言傳播的基本再生數(shù)為一個(gè)謠言傳播節(jié)點(diǎn)在它傳播謠言階段使得謠言無(wú)知節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹{言傳播節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它決定無(wú)謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并與謠言傳播的最終規(guī)模有關(guān)。在這一部分將由正平衡點(diǎn)的存在性推導(dǎo)基本再生數(shù)的表達(dá)式，求出無(wú)謠言平衡點(diǎn)和有謠言平衡點(diǎn)，以及討論幾種常見(jiàn)的免疫策略。

為求解系統(tǒng)(6)的基本再生數(shù)，首先考慮穩(wěn)態(tài)條件下的平衡解，令dSk/dt=0，dI1,k/dt=0和dI2,k/dt=0，容易求出方程組(6)的無(wú)謠言平衡點(diǎn)為

(7)

從Θ的表達(dá)式(4)可以看出，I1,k和I2,k的值取決于Θ。因此將式(7)代入式(4)可得到關(guān)于Θ的自治方程：

(8)

顯然，Θ=0始終是該自治方程的一個(gè)平凡根，下面導(dǎo)出自治方程(8)存在正根的條件。易證F(0)=0，則方程(8)在Θ∈(0,λ1(k)+λ2(k)]內(nèi)存在正根當(dāng)且僅當(dāng)

則F(Θ)=0在(0,λ1(k)+λ2(k)]上有正根的充要條件是當(dāng)Θ=0時(shí)滿足：

從而得基本再生數(shù)的表達(dá)式

由上述分析可得定理1。

定理1當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(6)只有一個(gè)無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(6)除了E0之外，區(qū)域Γ中還存在唯一的有謠言平衡點(diǎn)E*。

下面給出全局穩(wěn)定性的主要結(jié)論。

定理2當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(6)的無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(6)的有謠言平衡點(diǎn)E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

利用文獻(xiàn)[18]的定理4.2與4.3容易證明上述定理2，因此本文不再贅述。

3 謠言免疫策略

研究謠言傳播模型是為了揭示謠言傳播的特性以及影響傳播過(guò)程的因素，并提出有效的控制謠言傳播的方法以減輕或避免謠言傳播造成的不良影響。在這一節(jié)中，基于本文提出的具有非一致傳播率的S2IR謠言傳播模型來(lái)分析隨機(jī)免疫和目標(biāo)免疫兩種免疫策略的效果。

3.1 隨機(jī)免疫

(9)

進(jìn)而可以求出系統(tǒng)(9)的基本再生數(shù)：

將分離純化后的菌株接種到對(duì)應(yīng)淀粉培養(yǎng)基平板上，36 ℃培養(yǎng)48 h后將碘液滴加菌落上，有透明水解圈的菌落即判定該菌有產(chǎn)淀粉酶活力。

(10)

3.2 目標(biāo)免疫

(11)

同理，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)(11)的基本再生數(shù)為

(12)

4 數(shù)值模擬與分析

由于大多數(shù)現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)的度分布服從低冪律分布，不失一般性，以下在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上模擬社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播過(guò)程。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)采用BA模型的生成算法[21]，為便于仿真模擬，生成網(wǎng)絡(luò)的最終規(guī)模取N=1 000， BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[22]模型的相關(guān)參數(shù)為：初始節(jié)點(diǎn)數(shù)m0=2，每次進(jìn)入新節(jié)點(diǎn)時(shí)新生成的連邊數(shù)m=2，網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉=3.972，〈k2〉=45.318。本節(jié)所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為獨(dú)立進(jìn)行了至少500次仿真實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果。由第1.1節(jié)分析，謠言信度函數(shù)α(k)的表達(dá)式可以是任意形式的減函數(shù)，以下仿真時(shí)采用的形式為：α(k)=k-θ，θ≥0。

4.1 仿真驗(yàn)證及參數(shù)分析

本節(jié)首先通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論推導(dǎo)部分的準(zhǔn)確性,然后分析相關(guān)參數(shù)對(duì)傳播過(guò)程的影響。固定參數(shù)b=0.4，μ=0.04，θ=0.6，β=0.6，λ1=0.9，λ2=0.5，τ1=0.6，τ2=0.4，γ1=0.05，γ2=0.07，η=0.1，此時(shí)R0=6.918>1。圖3a與圖3b分別展示了10組不同初始值情況下兩類謠言傳播節(jié)點(diǎn)的密度變化情況，其中圓圈代表初始值，三角代表謠言傳播穩(wěn)態(tài)值。從圖中可以看出不同初始情況下，各密度曲線均收斂于一點(diǎn)。圖3c是在一組初始值I1(0)=0.001，I2(0)=0.001，S(0)=0.94，R(0)=0下各類節(jié)點(diǎn)密度的演化曲線，S、I1、I2分別達(dá)到0.3、0.08、0.17，與圖3a、3b相吻合。

取參數(shù)取值b=0.4，μ=0.04，θ=0.6，β=0.6，λ1=0.16，λ2=0.09，τ1=0.6，τ2=0.4，γ1=0.08，γ2=0.12，η=0.1，此時(shí)R0=0.925<1。圖4a與圖4b分別顯示了10組不同初始值情況下兩類謠言傳播節(jié)點(diǎn)的密度變化情況，三角代表謠言傳播穩(wěn)態(tài)值。從圖中可以看出不同初始情況下，各密度曲線均收斂于一點(diǎn)，圖4c是一組初始值I1(0)=0.3，I2(0)=0.3，S(0)=0.3，R(0)=0下各類節(jié)點(diǎn)密度的演化曲線，S、I1、I2分別達(dá)到0.9、0、0，亦與圖4a、4b相吻合。

圖3 謠言狀態(tài)圖Fig.3 State diagram with rumor

圖4 無(wú)謠言狀態(tài)圖Fig.4 State diagram without rumor

圖3c顯示，當(dāng)R0>1時(shí)，兩類傳播節(jié)點(diǎn)密度均逐漸上升達(dá)到峰值后開(kāi)始下降，最后趨于穩(wěn)定，即存在一個(gè)有謠言平衡點(diǎn)。圖4c表明，當(dāng)R0<1時(shí)，盡管兩類傳播節(jié)點(diǎn)初始密度較大，謠言傳播節(jié)點(diǎn)密度仍逐漸下降，最后等于0，即系統(tǒng)只存在一個(gè)無(wú)謠言平衡點(diǎn)。

進(jìn)一步探究R0>1時(shí)不同度的節(jié)點(diǎn)的演化情況，結(jié)果如圖5所示，度大的節(jié)點(diǎn)中謠言傳播節(jié)點(diǎn)的密度更大，即謠言在度大的節(jié)點(diǎn)之間傳播速度更快，感染峰值更大。這主要是因?yàn)槎却蟮墓?jié)點(diǎn)雖然每次和一個(gè)傳播謠言的鄰居節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)被傳染的概率較低，但其有更多的機(jī)會(huì)與傳播節(jié)點(diǎn)接觸，導(dǎo)致謠言在度大的節(jié)點(diǎn)之間傳播速度更快、范圍更廣。

圖5 度為k的謠言傳播節(jié)點(diǎn)密度與時(shí)間的關(guān)系Fig.5 The relationship between the density of spreaders with degree k and time t

由傳播率的表達(dá)式可知參數(shù)θ與β對(duì)傳播過(guò)程有重要影響，當(dāng)固定參數(shù)b=0.4，μ=0.04，λ1=0.9，λ2=0.5，τ1=0.6，τ2=0.4，γ1=0.05，γ2=0.07，η=0.1時(shí)，兩類傳播節(jié)點(diǎn)的總密度曲線如圖 6a所示，可以看出當(dāng)θ或β減小時(shí)，傳播節(jié)點(diǎn)密度增大且傳播速度變快。這主要是因?yàn)橹{言信度函數(shù)及節(jié)點(diǎn)親密度函數(shù)的存在，θ或β減小均會(huì)使接觸傳播率增大。當(dāng)θ、β減小到0時(shí)即為傳統(tǒng)的同一常數(shù)傳播率，因此考慮謠言信度與節(jié)點(diǎn)親密度時(shí)，謠言傳播節(jié)點(diǎn)密度更小、傳播速度更慢。遺忘率η、辟謠率γ1與γ2對(duì)控制謠言傳播有重要作用，當(dāng)固定參數(shù)b=0.4，μ=0.04，θ=0.6，β=0.8，λ1=0.9，λ2=0.5，τ1=0.6，τ2=0.4時(shí)，傳播節(jié)點(diǎn)密度曲線如圖6b所示，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ1和γ2增大時(shí)，傳播者密度明顯下降，當(dāng)η增大時(shí)，傳播者密度也會(huì)下降，但增大γ1與γ2比增大η時(shí)下降的效果更明顯；傳播達(dá)到峰值與穩(wěn)態(tài)的時(shí)間幾乎相同。分析原因?yàn)椋褐{言傳播具有爆發(fā)性，達(dá)到峰值所需時(shí)間極短，因此無(wú)論是辟謠率還是遺忘率增加均對(duì)其影響均不大，但會(huì)降低峰值和最終穩(wěn)態(tài)密度。因此，若要快速降低謠言傳播速度需從源頭出發(fā)，減小傳播率比增大遺忘率與辟謠率效果更好。

圖6 不同參數(shù)取值下傳播節(jié)點(diǎn)密度與時(shí)間的關(guān)系Fig.6 The relationship between the density of spreaders and time with different parameter values

4.2 基本再生數(shù)敏感性分析

對(duì)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中基本再生數(shù)的敏感性分析如圖7所示，圖7a中的參數(shù)取值為μ=0.04，η=0.1，θ=0.6，β=0.6，τ1=0.6，τ2=0.4，λ1=0.16，λ2=0.09，γ1=0.04，γ2=0.06，得R0=1時(shí)注冊(cè)率為bc=0.081，R0隨b的增大而增大。圖7b中b=0.4，其余參數(shù)取值同圖7a，得R0=1時(shí)移出率為μc=0.069，R0隨μ的增大而減小。圖7c中b=0.4，γ1=0.08，γ2=0.12，其余參數(shù)取值同圖7a，得R0=1時(shí)遺忘率為ηc=0.054，R0隨η的增大而減小。因此減小注冊(cè)率b或增大注銷率μ、遺忘率η均能使R0小于1，即能有效地控制謠言的傳播。圖7d參數(shù)取值為γ1=0.08，γ2=0.12，其余參數(shù)取值同圖7a，當(dāng)增大θ或β，R0能小于1，謠言能被控制住，這與第4.1節(jié)分析結(jié)果相同。

圖7 R0隨不同參數(shù)的變化Fig.7 R0 changes with different parameters

4.3 免疫策略效果分析

圖8 不同免疫策略下R0隨參數(shù)取值的變化Fig.8 R0 changes with different parameter values under immunization strategy

4.4 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響

4.4.1 仿真網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響

分別在ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[23]、WS小世界網(wǎng)絡(luò)[24]和BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上仿真實(shí)驗(yàn)，3種網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)均為N=1 000，網(wǎng)絡(luò)平均度均為〈k〉=4，參數(shù)取值為b=0.4，μ=0.04，θ=0.6，β=0.6，λ1=0.9，λ2=0.5，τ1=0.6，τ2=0.4，γ1=0.05，γ2=0.07，η=0.1。分別隨機(jī)選取1%的度為4的I1、I2兩類節(jié)點(diǎn)作為初始傳播節(jié)點(diǎn)，傳播節(jié)點(diǎn)密度曲線如圖9a所示，BA網(wǎng)絡(luò)中傳播節(jié)點(diǎn)密度的峰值最大且傳播速度最快。這是因?yàn)锽A網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪律分布，網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)節(jié)點(diǎn)具有非常大的度(此類節(jié)點(diǎn)稱為Hub節(jié)點(diǎn))，一旦Hub節(jié)點(diǎn)被感染，其具有更多的機(jī)會(huì)與網(wǎng)絡(luò)其他節(jié)點(diǎn)接觸，傳播速度會(huì)明顯加快。

為探究網(wǎng)絡(luò)平均度對(duì)謠言傳播的影響，分別在平均度為10、20和30的WS小世界網(wǎng)絡(luò)上仿真分析，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)均為N=1 000，分別隨機(jī)選取0.1%的I1、I2兩類節(jié)點(diǎn)作為初始傳播節(jié)點(diǎn)，參數(shù)取值同圖9a中參數(shù)取值，結(jié)果如圖9b所示。發(fā)現(xiàn)WS網(wǎng)絡(luò)平均度越大，傳播節(jié)點(diǎn)密度的峰值越大且達(dá)到峰值所需時(shí)間越短。因?yàn)楫?dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度增大，節(jié)點(diǎn)間的接觸傳播率雖有所減小，但單位時(shí)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間相互接觸的概率增大，由于社會(huì)強(qiáng)化效應(yīng)的存在，致使網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播速度加快。

圖9 傳播節(jié)點(diǎn)密度與時(shí)間的關(guān)系Fig.9 The relationship between the density of spreaders and time t

表2 各網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)特征Tab.2 Statistical characteristics of each network

圖10 傳播節(jié)點(diǎn)密度與時(shí)間的關(guān)系Fig.10 The relationship between the density of spreaders and time t

4.4.2 真實(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響

下面分別在四個(gè)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)：爵士音樂(lè)家合作網(wǎng)絡(luò)(Jazz)、科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)(選擇其中最大連通子圖Net-science)、洛維拉·依維爾基里大學(xué)成員郵件通信關(guān)系網(wǎng)絡(luò)(E-mail)和Facebook網(wǎng)絡(luò)上仿真分析，相關(guān)參數(shù)與節(jié)點(diǎn)初始比例與圖9a保持相同。表2列出了各網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)特征。

仿真結(jié)果如圖10所示，F(xiàn)acebook、Jazz與E-mail網(wǎng)絡(luò)中I(t)的峰值遠(yuǎn)高于Net-science網(wǎng)絡(luò)，且達(dá)到峰值所需時(shí)間小于Net-science網(wǎng)絡(luò)，Net-science網(wǎng)絡(luò)中I(t)的穩(wěn)態(tài)密度小于其他網(wǎng)絡(luò)，這是由于Net-science網(wǎng)絡(luò)平均度較小。E-email網(wǎng)絡(luò)中I(t)的穩(wěn)態(tài)密度與傳播速度小于Facebook與Jazz網(wǎng)絡(luò)，是由于其網(wǎng)絡(luò)平均集聚系數(shù)較小。事實(shí)上，Net-science網(wǎng)絡(luò)中科學(xué)家的交流是基于科學(xué)家之間的研究方向與合作機(jī)會(huì)，其開(kāi)放程度低于另外3個(gè)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況相符。對(duì)比圖10與圖9a可以發(fā)現(xiàn)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中傳播者峰值大體高于仿真網(wǎng)絡(luò)，這與文獻(xiàn)[16]結(jié)論一致，驗(yàn)證了本文模型的有效性。

4.5 對(duì)比分析

將同一常數(shù)傳播率應(yīng)用到S2IR模型與傳統(tǒng)SIR模型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，SIR的傳播率、恢復(fù)率分別取S2IR中兩種傳播率、兩種恢復(fù)率的平均值，并將本文非一致傳播率S2IR模型與文獻(xiàn)[14]中的非一致傳播率SIR模型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖11、圖12所示，帶*曲線均為非一致傳播。圖11反映，同一常數(shù)傳播率下，S2IR模型與SIR模型相比，I(t)峰值更低，傳播速度更慢；同一模型下，非一致傳播率比同一常數(shù)傳播率的I(t)峰值更低，傳播速度更慢；本文非一致傳播率S2IR模型與文獻(xiàn)[14]中的非一致傳播率SIR模型相比，I(t)峰值更低，傳播速度更慢。圖12反映，S2IR模型最終傳播規(guī)模比SIR模型小，非一致傳播率比同一常數(shù)傳播率最終傳播規(guī)模小。說(shuō)明將傳播節(jié)點(diǎn)分成完全信謠與輕度信謠，或是將同一常數(shù)傳播率變?yōu)榉且恢聜鞑ヂ蕰r(shí)，謠言傳播速度與傳播規(guī)模均減小。

圖11 傳播節(jié)點(diǎn)密度與時(shí)間的關(guān)系Fig.11 The relationship between the density of spreaders and time t

圖12 傳播規(guī)模與時(shí)間的關(guān)系Fig.12 The relation between the scale of spreading and time t

5 結(jié)論

考慮實(shí)際問(wèn)題中謠言傳播的(接觸)傳播率具有非一致性以及謠言傳播節(jié)點(diǎn)的信謠程度存在差異的特點(diǎn)，本文結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和平均場(chǎng)理論提出一個(gè)基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型。該模型充分考慮了節(jié)點(diǎn)的度以及集聚系數(shù)，同時(shí)考慮了傳播節(jié)點(diǎn)本身的傳謠力度存在差異，更加符合現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言的傳播特點(diǎn)。利用建立的微分方程推導(dǎo)出了基本再生數(shù)，求出了隨機(jī)免疫與目標(biāo)免疫下的基本再生數(shù)、對(duì)兩種免疫效果進(jìn)行了對(duì)比分析。利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析的正確性。在BA網(wǎng)絡(luò)中仿真分析了網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明謠言更容易在度大的節(jié)點(diǎn)之間傳播開(kāi)。在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)中探究了不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和WS網(wǎng)絡(luò)平均度大小對(duì)傳播的影響，發(fā)現(xiàn)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播最快，WS網(wǎng)絡(luò)的平均度越大，謠言傳播節(jié)點(diǎn)密度峰值越大。進(jìn)一步在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)上仿真分析，驗(yàn)證模型的有效性，并對(duì)S2IR與SIR模型進(jìn)行了對(duì)比分析。

通過(guò)分析相關(guān)參數(shù)對(duì)謠言傳播的影響以及對(duì)基本再生數(shù)的敏感性分析，得到一些控制社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的建議。參數(shù)θ或β增大會(huì)縮小謠言傳播范圍，θ和β一定時(shí)，謠言信度或節(jié)點(diǎn)親密度減小均會(huì)縮小謠言傳播范圍；辟謠率γ1、γ2或遺忘率η越大，謠言傳播規(guī)模越小，因此政府及相關(guān)部門應(yīng)該加大辟謠力度，或者發(fā)布新的消息以增大遺忘率；必要時(shí)，控制用戶注冊(cè)率或增大注銷率，謠言傳播也能得以控制。若采取隨機(jī)免疫，則增大隨機(jī)免疫比例σ1或σ2能有效控制謠言傳播；若采取目標(biāo)免疫，則增大免疫率δ或減小截?cái)嘀郸?能控制謠言傳播。

本文僅考慮將謠言傳播節(jié)點(diǎn)分為兩類，實(shí)際上，謠言未知節(jié)點(diǎn)抵抗謠言的能力即其被傳染的概率也存在差異，因此謠言未知節(jié)點(diǎn)也能進(jìn)一步細(xì)分。沿著這個(gè)思路，我們下一步工作就是構(gòu)造一個(gè)更加符合網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的模型，以便更深入地發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)謠言傳播規(guī)律，進(jìn)而提出更有效的控制網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的建議。