周建云，劉真真，許小可

(大連民族大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116600)

0 引言

近年來多種傳染病頻繁爆發(fā)，給社會(huì)帶來巨大的災(zāi)難并造成大量的人員損失，是人們關(guān)注的熱點(diǎn)問題，因此研究疾病傳播具有重要的意義和價(jià)值。通過構(gòu)建疾病傳播模型，研究復(fù)雜社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播規(guī)律，有利于分析影響疾病傳播的因素，而且能夠有針對(duì)性地采取防控措施，達(dá)到抑制疾病傳播的目的。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播的研究，尤其是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)傳播的影響，近年來受到眾多研究人員的關(guān)注。早在1998年，Watts和Strogatz就指出“小世界效應(yīng)”會(huì)加速傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播[1]。Pastor Satorras和Vespignani發(fā)現(xiàn)，在度不相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性對(duì)疾病的傳播有著關(guān)鍵的影響；尤其是在大規(guī)模無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上，不管傳播閾值多低，疾病都會(huì)一直存在[2]。Eguiluz和Klemm指出，在SIS傳染模型中，即使度分布的二階矩發(fā)散，也存在非零的傳播閾值，并提出度關(guān)聯(lián)和高聚類系數(shù)可以抑制疾病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播[3]。周冬梅等人基于雙層網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，層與層之間同配連接有益于信息的傳播，而異配連接則會(huì)抑制信息的傳播[4]。Liu和Hu發(fā)現(xiàn)，與隨機(jī)均勻網(wǎng)絡(luò)相比，在具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播有較小的傳染臨界值和更大的穩(wěn)態(tài)感染密度[5]。Huang和Li發(fā)現(xiàn)，疾病在具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播范圍要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[6]。Zhou發(fā)現(xiàn)，在具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，隨著傳播速率的增加，感染密度會(huì)表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)、不穩(wěn)定振蕩或周期振蕩等不同特性[7]。王寧寧指出疾病更容易在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中傳播，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)之間的耦合強(qiáng)度不會(huì)影響最終的染病人數(shù)，但社團(tuán)結(jié)構(gòu)的存在會(huì)縮短疾病傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間[8]。Wu和Liu研究指出，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，社團(tuán)結(jié)構(gòu)和高聚集系數(shù)是疾病傳播的不利因素，將會(huì)抑制疾病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播[9]。

以上研究中，大都分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中單一結(jié)構(gòu)因素對(duì)傳播的影響，但是實(shí)證網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)統(tǒng)計(jì)特征的變化往往會(huì)導(dǎo)致其它很多特征的同步變化，而疾病傳播的結(jié)果是多種因素共同作用的結(jié)果，現(xiàn)有研究中一般無法區(qū)分各因素的不同作用。在本文中，我們提出一種新的研究思路，將疾病傳播模型與零模型相結(jié)合，討論在多結(jié)構(gòu)因素影響下(對(duì)應(yīng)多種零模型)，何種結(jié)構(gòu)因素對(duì)疾病傳播起著至關(guān)重要的作用，從而更加全面和系統(tǒng)地分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)疾病傳播的影響。具體地，根據(jù)實(shí)證社會(huì)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建出不同階零模型[10]，在原始網(wǎng)絡(luò)與零模型網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行疾病傳播的仿真實(shí)驗(yàn)，比較不同零模型與原始網(wǎng)絡(luò)之間的特征差異對(duì)傳播有何影響。結(jié)果顯示，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑是影響傳播速度的最重要因素，該因素的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于網(wǎng)絡(luò)度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(shù)(3階特性)；網(wǎng)絡(luò)度分布是影響傳播范圍的主要因素。在增強(qiáng)和減弱度匹配特性零模型上進(jìn)行傳播仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：同配系數(shù)與傳播速度之間不具有強(qiáng)相關(guān)關(guān)系，而平均最短路徑長(zhǎng)度是影響傳播速度的最重要因素。此外，社團(tuán)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度變化引起網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長(zhǎng)度的改變，從而對(duì)疾病的傳播造成影響，更加印證了網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長(zhǎng)度是影響傳播速度的最重要因素。

1 基于0-3階零模型的傳播分析

1.1 傳播模型簡(jiǎn)介

經(jīng)典的疾病傳播模型有SI模型[11]、SIS模型[12]以及SIR模型[13]等。本文研究框架具有通用性，因此理論上可以使用本文框架研究任意傳播模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的傳播?？紤]到SI模型機(jī)制最簡(jiǎn)單，本文主要基于SI模型研究網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度，同時(shí)基于SIS模型研究傳播范圍。在SI模型中，處于易感狀態(tài)(Susceptible)的個(gè)體為易感染者，表明其當(dāng)前時(shí)刻為健康狀態(tài)，當(dāng)其與處于感染狀態(tài)(Infected)的感染者有接觸時(shí)，易感染者以感染率β被感染，變?yōu)楦腥菊?；感染者不?huì)變回易感染者。這種假設(shè)對(duì)于研究難以治愈的疾病或者突發(fā)疾病的短期爆發(fā)過程等都是合理的。SI模型的感染機(jī)制可由式(1)來描述：

(1)

其中，S(i)為初始時(shí)的易感染者，I(j)為感染者，I(i)表示S(i)被感染成為的感染者，右邊的I(j)表示感染者不會(huì)變回易感染者。

表1 SI模型算法流程Tab.1 The flow chart of SI model

SI算法的流程如表1所示，其中，感染者數(shù)量為I，易感者數(shù)量為S，總數(shù)N=S+I；感染率β表示易感染者在單位時(shí)間被染病鄰居感染的概率。在本文的研究中,初始時(shí)刻總是選取一個(gè)個(gè)體設(shè)為感染者(I=1)，剩余個(gè)體均為易感者(S=N-1)；設(shè)Δt=1。

SIS模型是基于SI模型的一種變形，在SIS模型中，節(jié)點(diǎn)被感染后將會(huì)以概率γ恢復(fù)成為易感轉(zhuǎn)狀態(tài)，之后與感染者接觸時(shí)，仍以感染率β被感染。

1.2 0-3階隨機(jī)斷邊重連零模型

一般而言，使用網(wǎng)絡(luò)零模型的主要目的是檢測(cè)實(shí)證網(wǎng)絡(luò)的非平凡特性，這就需要從粗糙到精確逐步逼近原始網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[14-15]為了逐步逼近實(shí)證網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)原始網(wǎng)絡(luò)的基本特性，將網(wǎng)絡(luò)中的基本組成單元分成不同的小模塊。不同階數(shù)零模型之間并不是獨(dú)立的，按照約束條件從少到多，存在一種包含關(guān)系，即0k?1k?2k?…(n-1)k?nk，任何一個(gè)n階零模型都會(huì)包含n-1階零模型的性質(zhì)[16]。

圖1 0-3階零模型的構(gòu)造過程Fig.1 The construction process of 0-3k null models

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中常用的零模型為0-3階零模型，本文應(yīng)用隨機(jī)斷邊重連方法構(gòu)建零模型[17]，圖1展示了基于斷邊重連方法構(gòu)造0-3階零模型的具體過程。0階零模型只需保持和原始網(wǎng)絡(luò)相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)和平均度。圖1a為0階零模型的構(gòu)造過程，在原始網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條連邊AB斷開，并隨機(jī)選擇兩個(gè)不相連的節(jié)點(diǎn)A、D，在兩節(jié)點(diǎn)之間添加一條連邊。1階零模型主要是保證與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點(diǎn)度分布(度序列)。圖1b為1階零模型的構(gòu)造過程，若原始網(wǎng)絡(luò)中存在節(jié)點(diǎn)A、B、C、D，且A與B相連，C與D相連，A和D不相連，B和C不相連；將AB和CD斷開，使A與D相連，B與C相連，則保持了原始網(wǎng)絡(luò)的度分布(度序列)不變。2階零模型與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的聯(lián)合度分布，聯(lián)合度分布是指每條邊兩端連接節(jié)點(diǎn)的度值數(shù)目(概率)。若m(k1,k2)為度為k1和k2的節(jié)點(diǎn)之間連邊的總數(shù)，則p(k1,k2)=m(k1,k2)μ(k1,k2)/2m，其中，若k1=k2，則μ(k1,k2)=2；否則，μ(k1,k2)=1。圖1c是2階零模型的構(gòu)造過程，保持網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合度分布不變，僅比一階特性多了一層限制，即要求連邊在隨機(jī)置亂時(shí)，節(jié)點(diǎn)B與D具有相同的度值。3階零模型與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的聯(lián)合邊度分布p(k1,k2,k3)，就要求零模型網(wǎng)絡(luò)和原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的開三角形和閉三角形分布。聯(lián)合邊度分布考慮到三個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的相互連接性，主要有兩種情況：一種是開三角形，即3個(gè)節(jié)點(diǎn)用2條邊來連接稱為pΛ(k1,k2,k3)；另一種是閉三角形，3個(gè)節(jié)點(diǎn)形成一個(gè)環(huán)稱為pΔ(k1,k2,k3)。圖1d是3階零模型的構(gòu)造過程，保持網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合邊度分布不變，連邊置亂后零模型和原始網(wǎng)絡(luò)中的開三角形與閉三角形數(shù)量均相同。

圖2 原始網(wǎng)絡(luò)及0階零模型的度分布Fig.2 The degree distribution of the original network and its 0k null model

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本實(shí)驗(yàn)使用某企業(yè)的短信通訊數(shù)據(jù)集進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)應(yīng)的實(shí)證社交網(wǎng)絡(luò)反映了該企業(yè)內(nèi)部的信息交互情況[18]。網(wǎng)絡(luò)中包含2 111個(gè)節(jié)點(diǎn)，3 050條連邊。圖2是該原始網(wǎng)絡(luò)及0階零模型的度分布圖，如圖所示，原始網(wǎng)絡(luò)的度分布具有長(zhǎng)尾分布的特點(diǎn)，從圖中能夠看出0階零模型縮小了網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性。由于1-3階零模型均保持了原始網(wǎng)絡(luò)的度序列特征，因此度分布和原始網(wǎng)絡(luò)完全相同，故沒有在圖中顯示。

表2 網(wǎng)絡(luò)特征統(tǒng)計(jì)量Tab.2 Network feature statistics

表2列出了原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型的其他結(jié)構(gòu)特征(匹配系數(shù)、聚類系數(shù)和平均最短路徑長(zhǎng)度)。從表中可以看出，1-3階零模型隨階數(shù)的上升與原始網(wǎng)絡(luò)越為接近；而0階零模型由于改變了度分布，致使其隨機(jī)性最強(qiáng)，除了平均最短路徑長(zhǎng)度之外，其他特征與原始網(wǎng)絡(luò)的差異最大。

首先，基于SI模型研究影響傳播速度的關(guān)鍵因素。圖3是原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型傳染密度隨時(shí)間變化的曲線圖。這里設(shè)傳染率β=0.2，傳播時(shí)間T=80，曲線是實(shí)驗(yàn)200次取均值的結(jié)果。從圖中可以看出，相對(duì)于高階零模型，0階零模型的傳播曲線更加接近于實(shí)證網(wǎng)絡(luò)。具體地，0階零模型在初始階段傳播速度低于原始網(wǎng)絡(luò)，而在t=30之后，這一情況發(fā)生了反轉(zhuǎn)，0階零模型的傳播速度大于原始網(wǎng)絡(luò)。而1-3階零模型的傳播速度總是大于原始網(wǎng)絡(luò)，隨著階數(shù)的上升，傳播速度下降，并且隨時(shí)間傳播的相對(duì)次序不變。隨著階數(shù)的升高，1到3階零模型的傳播速度越來越趨近于原始網(wǎng)絡(luò)，這是因?yàn)殡S著階數(shù)的升高，所生成的零模型網(wǎng)絡(luò)與原始網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)差異也越來越小。

盡管1-3階零模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對(duì)于0階零模型，在很多方面更加接近于實(shí)證網(wǎng)絡(luò)，但是0階零模型的傳播曲線卻和真實(shí)網(wǎng)絡(luò)更加相似。為了揭示出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因，圖4顯示了原始網(wǎng)絡(luò)與0-3階零模型中節(jié)點(diǎn)間最短路徑長(zhǎng)度的分布，橫軸為最短路徑長(zhǎng)度，縱軸為該路徑長(zhǎng)度在網(wǎng)絡(luò)中的概率分布。從圖中可以看出最短路徑長(zhǎng)度在7以下時(shí)，1-3階零模型曲線有序地在原始網(wǎng)絡(luò)上方，而0階零模型在原始網(wǎng)絡(luò)的下方。在最短路徑長(zhǎng)度大于7時(shí)，這一情況發(fā)生反轉(zhuǎn)，1-3階零模型均在原始網(wǎng)絡(luò)的下方且保持相對(duì)次序不變，表明1-3階零模型的平均最短路徑長(zhǎng)度隨階數(shù)的上升而增加且都小于原始網(wǎng)絡(luò)。此時(shí)0階零模型相對(duì)于1-3階零模型，它更加接近于實(shí)證網(wǎng)絡(luò)，這也是0階零模型和原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線特征比較接近的重要原因。由以上分析可知，在該實(shí)證網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑是影響傳播的最重要因素，該因素的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于網(wǎng)絡(luò)度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(shù)(3階特性)。

圖3 0-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線Fig.3 0-3k null models and original network spreading curves

圖4 最短路徑長(zhǎng)度的分布Fig.4 The distribution of shortest path length

圖5 SIS模型下0-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線Fig.5 0-3k null models and original network spreading curves in SIS model

然后，基于SIS模型研究影響傳播范圍的關(guān)鍵因素。圖5是SIS模型下原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型傳染密度隨時(shí)間變化的曲線圖。這里設(shè)傳染率β=0.2，恢復(fù)率γ=0.09，傳播時(shí)間T=80，曲線是實(shí)驗(yàn)200次取均值的結(jié)果。如圖所示，0階零模型網(wǎng)絡(luò)的最終傳播范圍要顯著高于1-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)。具體地，在傳播前期，1-3階零模型的傳播范圍有序地大于原始網(wǎng)絡(luò)，0階零模型的傳播范圍顯著小于原始網(wǎng)絡(luò)。但是，隨著傳播時(shí)間的增加，當(dāng)t>32后，0階零模型的傳播范圍逐漸超過了原始網(wǎng)絡(luò)和1-3階零模型。當(dāng)t>39后，0階零模型的傳播范圍大于1-3階零模型和原始網(wǎng)絡(luò)的最大傳播范圍，并仍在快速增加，最終達(dá)到75%，顯著高于其他網(wǎng)絡(luò)(60%左右)。0階零模型與1-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)區(qū)別是度分布不同，所以造成傳播范圍差異性的主要原因是網(wǎng)絡(luò)度分布的改變。

2 基于匹配特性零模型的傳播分析

2.1 面向匹配特性有傾向性斷邊重連零模型

在各種網(wǎng)絡(luò)中，如果網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)傾向于和度大的節(jié)點(diǎn)相連，度小節(jié)點(diǎn)傾向于和度小節(jié)點(diǎn)相連，這種傾向性即為度匹配的正相關(guān)性。如果度小節(jié)點(diǎn)傾向于和度大節(jié)點(diǎn)相連，這種傾向性即為度匹配的負(fù)相關(guān)性?？梢允褂闷ヅ湎禂?shù)(Assortativity coefficient)[19]來度量網(wǎng)絡(luò)的匹配特性，如果匹配系數(shù)r為正值，代表具有相同度值的節(jié)點(diǎn)之間有某種協(xié)同關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)具有正匹配特性；如果匹配系數(shù)r為負(fù)值，表示具有不同度數(shù)的節(jié)點(diǎn)間有某種聯(lián)系，網(wǎng)絡(luò)具有負(fù)匹配特性。

如果想改變實(shí)證網(wǎng)絡(luò)的度匹配特性，就需要有傾向性地進(jìn)行斷邊重連來構(gòu)造同配或異配網(wǎng)絡(luò)。如圖6所示，原始網(wǎng)絡(luò)a中有A、B、C、D四個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)A與C相連，B與D相連，相連節(jié)點(diǎn)之間的度有一定差距但相差不大，屬于中性網(wǎng)絡(luò)。如果將原始網(wǎng)絡(luò)的度大節(jié)點(diǎn)A和度大節(jié)點(diǎn)D相連，度小節(jié)點(diǎn)B和度小節(jié)點(diǎn)C相連(如圖6b所示)，就增強(qiáng)了網(wǎng)絡(luò)的同配特性。將這一過程反復(fù)進(jìn)行，就可以生成強(qiáng)同配網(wǎng)絡(luò)。相反，將原始網(wǎng)絡(luò)的度最大的節(jié)點(diǎn)A和度最小的節(jié)點(diǎn)B相連，其余節(jié)點(diǎn)相連(如圖6c所示)，就增強(qiáng)了網(wǎng)絡(luò)的異配特性，反復(fù)進(jìn)行就可以生成強(qiáng)異配網(wǎng)絡(luò)。

圖6 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中3種不同的度匹配模式Fig.6 Three degree assortativity patterns of complex networks

使用上述有傾向性的斷邊重連算法生成強(qiáng)同配網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)后，就可以研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)度度相關(guān)特性的約束以及這種約束對(duì)傳播有何影響。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖7為原始網(wǎng)絡(luò)及同配零模型、異配零模型網(wǎng)絡(luò)的傳播曲線圖，r是匹配系數(shù)，正值表示網(wǎng)絡(luò)為同配網(wǎng)絡(luò)，負(fù)值表示網(wǎng)絡(luò)是異配網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)左燾等以前的研究結(jié)果可知：同配系數(shù)越大的網(wǎng)絡(luò)，傳播速度越慢，即同配系數(shù)的增大將會(huì)對(duì)疾病傳播起抑制作用[20]。然而每個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有不同的特點(diǎn)，從圖中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看與上述結(jié)論并不完全相符，匹配系數(shù)的變化并沒有導(dǎo)致比較有規(guī)律的傳播結(jié)果。

圖7 匹配特性零模型傳播曲線Fig.7 The propagation curve of null models with different Assortativity

參照零模型的方式可以循序漸進(jìn)分析出度匹配特性由弱到強(qiáng)的整個(gè)過程中對(duì)于傳播的影響。圖8a是匹配系數(shù)隨置亂次數(shù)的變化曲線，縱軸是匹配系數(shù)，橫軸是置亂次數(shù)，其中n是網(wǎng)絡(luò)中連邊的數(shù)量，負(fù)數(shù)代表網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行異配置亂，正數(shù)代表進(jìn)行同配置亂。圖8b為傳播速度隨置亂次數(shù)的變化情況，縱軸是傳播速度，定義為單位時(shí)刻傳染的人數(shù)，這里取傳染90%的節(jié)點(diǎn)與所用時(shí)間的比值作為傳播速度，橫軸是置亂次數(shù)。如圖8a所示，匹配系數(shù)隨置亂次數(shù)單調(diào)增加。理論上，疾病的傳播速度應(yīng)與圖8a相對(duì)應(yīng)，即與同配系數(shù)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，但是從圖8b能夠看出與上述結(jié)論存在明顯差異。為了探究這一現(xiàn)象，接下來我們計(jì)算了匹配特性零模型的平均最短路徑長(zhǎng)度，分析到底是什么因素起主導(dǎo)性，對(duì)疾病傳播的速度有著重要影響。圖8c是匹配特性零模型的平均最短路徑長(zhǎng)度隨置亂次數(shù)的變化曲線，縱軸是平均最短路徑長(zhǎng)度，橫軸是置亂次數(shù)。從圖中可以看出，改變匹配特性零模型的置亂次數(shù)會(huì)改變網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度，但其與置亂次數(shù)并無明顯相關(guān)性。為了進(jìn)一步討論平均最短路徑長(zhǎng)度的改變對(duì)傳播速度的影響，圖8d給出了傳播速度與平均最短路徑長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從圖中可以看出，平均最短路徑長(zhǎng)度與疾病傳播速度具有強(qiáng)相關(guān)關(guān)系，呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性。至此，可以得到以下結(jié)論：在匹配特性零模型上的疾病傳播，多因素共同作用下，平均最短路徑長(zhǎng)度相對(duì)于度匹配特性對(duì)疾病的傳播速度起著主導(dǎo)作用。

圖8 不同匹配特性零模型對(duì)應(yīng)的傳播曲線Fig.8 TheSpreading curves corresponding to null models of different assortativity

3 基于社團(tuán)結(jié)構(gòu)零模型的傳播分析

3.1 增強(qiáng)和減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)零模型

社團(tuán)結(jié)構(gòu)一般會(huì)呈現(xiàn)出社團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間連接稠密、屬于不同社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)之間連接稀疏的特點(diǎn)。如果要增強(qiáng)原始網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)，就需要減少社團(tuán)之間的連邊，增加社團(tuán)內(nèi)部的連邊。增強(qiáng)社團(tuán)結(jié)構(gòu)的零模型構(gòu)造過程如圖9所示。首先將原始網(wǎng)絡(luò)劃分為多個(gè)社團(tuán)，然后在保持其它連邊結(jié)構(gòu)不變的情況下，將兩個(gè)社團(tuán)之間的連邊交換為社團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間的連邊。如圖9a中所示，將社團(tuán)A和社團(tuán)B間的兩條連邊A1-B1與A5-B3斷開，然后分別將社團(tuán)A中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)A1與A5相連，將社團(tuán)B中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)B1與B3相連，得到的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖9b所示。

基于斷邊重連的減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)零模型構(gòu)造過程是將上述過程反過來。首先將圖9b中社團(tuán)A內(nèi)部的連邊A1-A5和社團(tuán)B內(nèi)部的紅色連邊B1-B3斷開，然后將社團(tuán)A和社團(tuán)B間的節(jié)點(diǎn)A1與B1相連、A5與B3相連，重新連接后的結(jié)果如圖9a所示。增強(qiáng)或減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)的零模型可以有效在保持真實(shí)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本不變的情況下，增強(qiáng)或減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)特性。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖10為原始網(wǎng)絡(luò)及增強(qiáng)和減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)零模型網(wǎng)絡(luò)的傳播曲線圖。Q是模塊度值[19]，它是衡量網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)結(jié)構(gòu)強(qiáng)弱的指標(biāo)，Q值越大，表示網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)結(jié)構(gòu)越強(qiáng)。從圖中可以看出，Q值越大的網(wǎng)絡(luò)，疾病的傳播速度越慢，全部節(jié)點(diǎn)感染所用時(shí)間越長(zhǎng)。主要原因是，隨著社團(tuán)結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)，社團(tuán)內(nèi)連接的緊密性增強(qiáng)了，社團(tuán)間的連接強(qiáng)度減弱了，這使得疾病在社團(tuán)間的傳播變得困難，從而減慢了疾病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播速度。相反，減弱網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)，也會(huì)對(duì)傳播速度及全部節(jié)點(diǎn)感染所用的時(shí)間有影響，即社團(tuán)結(jié)構(gòu)越弱，傳播速度越快，全部節(jié)點(diǎn)感染所用的時(shí)間也越短。為了揭示出現(xiàn)這一現(xiàn)象的具體原因，圖11給出了原始網(wǎng)絡(luò)及增強(qiáng)和減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)零模型的節(jié)點(diǎn)間最短路徑長(zhǎng)度分布圖。從圖中可以看出，Q值越大，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度越大；Q值越小，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度越小。因此，增強(qiáng)和減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度對(duì)于疾病傳播的影響可以歸根于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間最短路徑長(zhǎng)度的變化。

圖9 增強(qiáng)和減弱社團(tuán)結(jié)構(gòu)的零模型Fig.9 The null models of increasing and weakening community structure

圖10 原始網(wǎng)絡(luò)及社團(tuán)零模型傳播曲線Fig.10 The spreading curves of community null models

圖11 最短路徑長(zhǎng)度分布Fig.11 The distribution of shortest path length

4 結(jié)論

在實(shí)證網(wǎng)絡(luò)中很難精確分析單一的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于傳播的具體影響。本文通過引入網(wǎng)絡(luò)零模型，探討原始網(wǎng)絡(luò)和零模型網(wǎng)絡(luò)之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的差異對(duì)疾病傳播的影響?；谠季W(wǎng)絡(luò)構(gòu)建0-3階零模型，并且在原始網(wǎng)絡(luò)和零模型網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行傳播仿真實(shí)驗(yàn)，分析不同網(wǎng)絡(luò)之間的傳播差異。在0-3階零模型上進(jìn)行傳播仿真實(shí)驗(yàn)，比較網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)差異與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知：網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度是影響疾病傳播速度的關(guān)鍵因素，而度分布的變化是影響傳播范圍的主要原因。在基于匹配特性零模型的傳播仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)絡(luò)的匹配特性不是影響傳播的主要因素，而網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度是影響傳播的關(guān)鍵性因素。網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的改變，使得網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度發(fā)生改變，所以社團(tuán)結(jié)構(gòu)對(duì)疾病傳播的影響實(shí)際上是網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長(zhǎng)度的改變?cè)斐傻模W(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長(zhǎng)度越短，傳播速度越快。