耿少波，葛培杰，李洪，徐鵬

(1.中北大學 理學院，山西 太原 030051；2.大連理工大學 水利工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

易爆物品生產運輸儲藏不當、恐怖襲擊及敵方軍事行動等原因均會產生化學爆炸，對建筑結構產生沖擊波荷載，致使結構損傷及破壞，引發(fā)人員傷亡。典型破壞案例如美國“911”事件中雙子塔的倒塌、2013年連霍高速公路義昌大橋因危險品運輸發(fā)生爆炸倒塌、2015年天津濱海新區(qū)物流倉庫爆炸致使大范圍建筑受損、2017年寧波江北區(qū)附近多幢民用房屋因煤氣爆炸倒塌。建筑物抗爆設防為避免爆炸沖擊波損失的一種重要手段，我國國家標準GB 50038—2005人民防空地下室設計規(guī)范及2012年新訂的國家標準GB50009—2012建筑結構荷載規(guī)范等標準中包含爆炸作用計算，并將爆炸荷載簡化為只包含正超壓的三角形衰減荷載，即荷載模式為等沖量線性模式。對絕大多數(shù)建筑而言，基于彈性理論的結構防爆設計會導致制造成本偏高，基于延性比的彈塑性狀態(tài)設計可為結構抗爆提供不同層次的選擇。將爆炸動載轉換為基于動力系數(shù)的等效靜載，可使爆炸作用計算更為簡便[1-2]。

因此，國內外學者對結構爆炸荷載等效計算方法開展了大量研究工作。Biggs[3]最早對線性衰減荷載進行等效靜載分析，適用于爆炸荷載的近似簡化；方秦等[4]研究了橫向爆炸作用下柱的受迫振動，提供了等效靜載分析基礎；Baker[5]指出空氣介質中化學爆炸沖擊波呈指數(shù)型衰減，等沖量計算按此計算較準確；張曉偉等[6]分析了爆炸作用下混凝土板的荷載等效方法，采用量綱分析法分析了三角脈沖荷載與等效荷載之間的關系；任秀敏[7]采用沖擊荷載等效靜載法分析了雷達天線罩的動位移；楊科之等[8-9]研究了線性衰減荷載等效靜載法作用下結構彈塑性階段動力系數(shù)與延性比的關系，指出延性比較大時動力系數(shù)無解；伍俊等[10]采用爆炸荷載線性衰減模式進行防爆墻結構分析，指出等效荷載分析的可行性；顏海春等[11]采用爆炸荷載等效靜載對人防工程封堵梁進行內力分析，但未指出結構延性比與荷載動力系數(shù)之間的關系；楊濤春等[12]采用爆炸荷載線性衰減模式對鋼筋與混凝土組合梁進行了等效靜載與有限元分析對比計算，明確了等效靜載具有足夠精度；陳俊杰等[13]研究了爆炸荷載沖量簡化分析方法，其荷載形式為線性衰減荷載模式；Chen等[14]采用線性等效荷載分析了地下拱結構- 土體爆炸耦合效應，指出了沖擊波等效單自由度的有效性及方便性；Shi等[15]指出了指數(shù)型函數(shù)進行爆炸荷載沖量及等效靜載時會更準確；Gantes等[16]計算了指數(shù)型爆炸荷載單自由度結構的彈塑性位移解，但未對結構延性比、動力系數(shù)深入分析；Louca等[17]在分析爆炸作用時也指出爆炸衰減荷載采用指數(shù)型函數(shù)會更接近沖擊波實測結果。

另外，基于延性比的彈塑性階段動力系數(shù)計算與荷載作用時長緊密相關，等沖量線性衰減荷載模式正超壓等效時長小于真實爆炸荷載作用時長，會影響結構塑性位移響應，進而對其動力系數(shù)產生什么差異、對抗爆設計有何影響，國內外學者鮮有研究。

故本文選取目前抗爆設計規(guī)范推薦采用的等沖量線性衰減荷載模式與較精準描述爆炸荷載的指數(shù)型衰減荷載模式為分析類型，分別進行彈塑性動力系數(shù)表達式推導及對比，進而確定爆炸荷載等峰值、等沖量而衰減函數(shù)不同對等效靜載動力系數(shù)的影響程度。

1 彈塑性體系動力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

根據(jù)結構動力學等效單自由度彈性理論及達朗貝爾原理，彈性響應階段微分方程為

(1)

式中：kM-L為彈性等效質量- 等效荷載系數(shù)比；m為結構單位長度質量；l為結構長度；W(t)為結構動位移；K為結構等效彈簧系數(shù)；Δp(t)為爆炸荷載時程函數(shù)。

設結構彈性位移達到最大值WT時，結構振動速度為vT，此時刻tT為結構進入塑性振動的區(qū)分點，此后結構彈塑性階段微分方程為

(2)

式中：km-l為塑性等效質量- 等效荷載系數(shù)比；qm為結構塑性階段抗力。

若采用等沖量線性衰減荷載模式，則函數(shù)為

(3)

若采用指數(shù)型衰減荷載模式，則函數(shù)為

(4)

式中：Δpm為超壓峰值；f(t)為荷載歸一化衰減函數(shù)；a為指數(shù)型荷載模式形狀參數(shù)；ti為等沖量線性衰減荷載等效作用時長；t+為指數(shù)型衰減荷載正超壓真實時長，如圖1所示。

圖1 荷載類型及作用時長示意圖Fig.1 Schematic diagram of two load types and load durations

由(1)式及Duhamel積分可知

(5)

(6)

式中：Wcm為靜載Δpm作用下結構的靜位移；K(t)為結構振動動力系數(shù)；ω為結構自振頻率；τ為時間參數(shù)。

彈性階段結束時，對應的位移及速度分別為

(7)

(8)

由(2)式、(7)式及(8)式可知塑性階段結構振動位移及速度分別為

(9)

(10)

考察的是結構彈塑性階段內的等效靜載，即其抗力動力系數(shù)為

(11)

1.2 荷載等效時長與作用時長

根據(jù)爆炸荷載作用時長t+、爆炸荷載超壓峰值Δpm及指數(shù)函數(shù)曲線形狀調整參數(shù)a，由沖量的定義及(4)式可知，對于指數(shù)型衰減荷載，其沖量為

(12)

對于等沖量線性衰減荷載，其沖量為

(13)

因此令(12)式與(13)式沖量相等，則等沖量線性衰減荷載的等效時間為

(14)

參數(shù)a越大其函數(shù)在負超壓數(shù)值越小甚至為0，因此在超壓曲線擬合時，為了能較準確地擬合正超壓和負超壓的正常形態(tài)，一般情況1.27≤a≤1.61[18]，若取其端點及中值進分析，則指數(shù)型爆炸荷載作用時長與線性等效荷載等效時長比值如表1所示。

表1 作用時長比值表

2 結構彈塑性階段劃分

化學爆炸沖擊波荷載正超壓作用時長t+很小，小于結構出現(xiàn)最大動位移反應時間[5]，對應的等效沖量換算時長ti更短，結構完成塑性最大變形時間tm>t+或tm>ti，且此時結構外荷載Δpmf(t)為0；結構達到彈性階段最大位移繼而進入塑性階段的時刻tT就存在兩種可能：一種是ti

2.1 結構較晚進入塑性階段

若令θT=ωtT、θi=ωti、θ+=ωt+，則由(7)式可知，對于等沖量線性衰減荷載及其等效時長，確定其動力系數(shù)為

(15)

對于指數(shù)型衰減荷載及其對應作用時長，經過多次分部積分，其動力系數(shù)為

(16)

(17)

若定義(16)式為Kh=sinθT×A*+cosθT×B*，即

則A*、B*代替(17)式中參數(shù)A、B可得指數(shù)型衰減荷載cosθT表達式，且可得

(18)

由(8)式可得等沖量線性衰減荷載彈性階段結束時對應的振動速度及比值分別為

vT=Wcm[cosθT-cos (θT-θi)+θisinθT]/ti，

(19)

(20)

同理，可得指數(shù)型衰減荷載相應比值為

(21)

式中：C*、D*表達式分別為

由(9)式及塑性階段v(tm)=0可導出

(22)

由(10)式及塑性階段v(tm)=0可導出

(23)

(22)式代入(23)式，可知

(24)

且

(25)

(22)式、(23)式及(20)式代入(24)式，可得等沖量線性衰減荷載延性比為

(26)

同理可得指數(shù)型衰減荷載延性比為

(27)

據(jù)此，基于延性比β、自振周期與荷載作用時長乘積ωti或ωt+，便可計算出等沖量線性衰減荷載與指數(shù)型衰減荷載相應的動力系數(shù)。

2.2 結構較早進入塑性階段

若再令θm=ωtm，由前述定義可知θT<θi<θm或θT<θ+<θm，由動力系數(shù)定義及(7)式可知，對于等沖量線性衰減荷載，可計算出其動力系數(shù)

(28)

同理，對于指數(shù)型衰減荷載，經過積分后其動力系數(shù)為

(29)

由(8)式可得等沖量線性衰減荷載彈性階段結束時對應的振動速度及比值分別為

vT=Wcm[-1+cosθT+θisinθT]/ti，

(30)

(31)

同理，指數(shù)型衰減荷載相應比值為

(32)

由(9)式及塑性階段v(tm)為0可知，對于等沖量線性衰減荷載，振動速度為

(33)

同理，對于指數(shù)型衰減荷載積分后，振動速度為

(34)

由(31)式及(33)式求解出等沖量線性衰減荷載對應參數(shù)為

(35)

由(32)式及(34)式求解出等沖量線性衰減荷載對應參數(shù)為

(36)

由(10)式可得等沖量線性衰減荷載延性比及指數(shù)型衰減荷載函數(shù)延性比分別為

(37)

(38)

3 動力系數(shù)計算算例

3.1 計算工況

由于動力系數(shù)Kh計算公式不是關于延性比β的顯式函數(shù)，計算參數(shù)θT、θi或θ+、θm根據(jù)較晚或較早進入彈塑性公式(26)式、(27)式及(37)式、(38)式編程，由其定義及延性比β的范圍作為控制條件，然后由初值賦值后迭代求解。

根據(jù)表1參數(shù)a取值范圍、等沖量線性衰減荷載等效時間ti與爆炸荷載正超壓作用時間t+對應關系，取ti與t+比值1.464為工況1，取比值1.532為工況2，取比值1.600為工況3，進行動力系數(shù)分析。為獨立分析及相互對比，3種工況均取ωti(即θi)為0.2～2.8，步長為0.2，共計14項，ωt+(即θ+)按作用時長與等效時長換算后，分別考察不同延性比β下的數(shù)值。為能涵蓋工程結構設計時所對應的延性比，采用延性比為1～5不等間距的范圍作為計算示例，計算結果如表2～表4所示。表2～表4中：1)波浪線形成的左側(右側)數(shù)據(jù)為指數(shù)型衰減荷載模式結構較晚(較早)進入塑性階段所對應的推導公式計算得出；2)虛線左上方(右下方)數(shù)據(jù)為等沖量線性衰減荷載模式結構較晚(較早)進入塑性階段所對應計算公式得出；3)為精簡篇幅及數(shù)據(jù)對比，等沖量線性衰減荷載計算結果不再單獨給出，以其相對指數(shù)型衰減荷載計算結果的偏差比例表示(括號內)，未以百分比標注的數(shù)據(jù)代表等沖量線性衰減荷載模式下無解。

3.2 結果分析與討論

整體上來看，表2～表4中β=1.0對應的彈性狀態(tài)設計較β>1.0對應的彈塑性狀態(tài)設計對應的等效靜載動力系數(shù)要高很多，即建筑結構按照彈性設計的工程造價會增加；且各狀態(tài)下θ+(ωt+)數(shù)值增大，動力系數(shù)變大，考慮到建筑結構需承受的爆炸荷載的不確定性，即爆炸作用時間t+無法有效控制，較為有效的結構力學措施為降低結構自振頻率ω數(shù)值，選用剛度較小的力學模式。

表2 工況1下動力系數(shù)Kh計算

表3 工況2下動力系數(shù)Kh計算

指數(shù)型衰減荷載的彈塑性階段動力系數(shù)(β>1.0)由2條折線劃分為3塊區(qū)域，等沖量線性衰減荷載的彈塑性階段動力系數(shù)則劃分為兩塊區(qū)域。等沖量線性衰減荷載的可設計范圍較小，當延性比β≤3.0時，約為指數(shù)型衰減荷載可設計范圍的78%；當β=5.0時，降低至54%，縮小的范圍均在θ+較大區(qū)域，即對剛度較大的結構能否順利設計影響較大。

表4 工況3下動力系數(shù)Kh計算

當θ+>2.0(約θi>1.4)時，隨著設計延性比β的降低，動力系數(shù)逐步提高，指數(shù)型衰減荷載可實現(xiàn)設計狀態(tài)上從較早進入塑性階段到較晚進入塑性階段、再到進入彈性狀態(tài)的設計思路，體現(xiàn)了抗爆設計不同層次與結構彈塑性響應的一一對應關系，而線性衰減荷載在此區(qū)域尚不能完整地顯示此特征。

曲線形狀調整參數(shù)a越大，指數(shù)函數(shù)曲率越大，從本文計算工況來看：對θ+<1.0的所有β取值均不產生影響；對θ+>1.0且彈性狀態(tài)及較晚進入彈塑性狀態(tài)的動力系數(shù)產生降低作用；對θ+>1.0且較早進入塑性狀態(tài)的動力系數(shù)產生提高作用，工況3比工況1提高最大幅值為14.9%，工況3比工況2提高最大幅值為6.1%.

從表2～表4中可以看出，誤差主要集中在2%～11.5%之間，即以等沖量線性衰減荷載模式計算結果偏大為主。當延性比β<1.8時：工況1中由等沖量線性衰減荷載計算的動力系數(shù)均高于指數(shù)型衰減荷載計算數(shù)值，平均高出3.9%，最高數(shù)值為13.4%；工況2平均高出4.3%，最高數(shù)值為14.5%；工況3平均高出5.1%，最高數(shù)值為15.9%，說明在較低延性比β抗爆設計下，按等沖量線性衰減荷載計算其等效靜載時取值偏高，對結構設計偏安全。

當延性比β>2.0時，較大θi對應的動力系數(shù)在3種工況中，由等沖量線性衰減荷載計算的數(shù)值均小于按指數(shù)型衰減荷載計算數(shù)值的情況，低于的幅度最高分別為16%、11%及16%，即抗爆規(guī)范推薦的等沖量線性衰減荷載模式偏不安全。

4 結論

本文以爆炸荷載作用下結構等效靜載動力系數(shù)為研究對象，分析了線性與指數(shù)型兩種函數(shù)作為爆炸沖擊波衰減荷載模式下的彈性、彈塑性階段等效靜載動力系數(shù)差異。主要得出以下結論：

1)兩種荷載模式的動力系數(shù)在彈性階段、較晚與較早進入彈塑性階段銜接處均能較好銜接，采用基于延性比的彈塑性設計具有明顯的經濟意義。

2)在延性比β<2.0對應的可設計范圍內，指數(shù)型衰減荷載動力系數(shù)低于等沖量線性相應數(shù)值，差異比例較低。

3)曲線形狀調整參數(shù)a越大，對θ+>1.0且較早進入塑性狀態(tài)的動力系數(shù)會產生提高作用，此區(qū)間內抗爆設計時采用指數(shù)型衰減荷載較安全可靠。

4)當設計延性比β>3時，若θ+<1.6(即約θi<1.0)，采用線性或指數(shù)性衰減荷載均可，若θ+>1.6(即約θi>1.0)，應采用指數(shù)型衰減荷載模式計算模式的動力系數(shù)。