方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程等知識(shí),感受了方程模型對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題的作用和價(jià)值,積累了一些利用方程解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),即尋找等量關(guān)系,必要時(shí)可以通過(guò)表格幫助我們理清已知與未知的關(guān)系,從而列出方程求解。一元二次方程解決問(wèn)題的基本類(lèi)型有:圖形面積問(wèn)題、變化率(增長(zhǎng)或下降)問(wèn)題、銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題等。
一、圖形面積問(wèn)題
例1 南京市某小區(qū)有一塊長(zhǎng)12米、寬6米的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的長(zhǎng)方形綠化地,它們的面積之和為36平方米,兩塊綠化地之間及周?chē)粲袑挾认嗟鹊男÷?,求小路的寬度為多少米?/p>
【解析】本題可以把兩個(gè)綠化矩形拼成一個(gè)大矩形,此大矩形的面積為36,找到該矩形的長(zhǎng)與寬,其乘積為36建立一元二次方程求解。
解:設(shè)小路的寬度為x米,根據(jù)矩形的面積公式可得一元二次方程:(12-3x)(6-2x)=36。解這個(gè)方程,得 x1=1, x2=6(不合題意,舍去)。
答:小路的寬度為1米。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的圖形面積問(wèn)題,除了拼接大矩形解決問(wèn)題外,還可以用整個(gè)圖形的面積減小路面積,得到兩塊矩形綠化地面積36,建立方程求解。解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),同學(xué)們最關(guān)鍵的就是找到圖形之間的面積關(guān)系。
二、變化率(增長(zhǎng)或下降)問(wèn)題
例2 為了鞏固全國(guó)文明城市建設(shè)成果,突出城市品質(zhì)的提升,近年來(lái),某市積極落實(shí)節(jié)能減排政策,推行綠色建筑。據(jù)統(tǒng)計(jì),該市2014年的綠色建筑面積約為700萬(wàn)平方米,2016年達(dá)到了1183萬(wàn)平方米,若2015年、2016年的綠色建筑面積按相同的增長(zhǎng)率逐年遞增,求這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率。
【解析】設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為x,本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系:
[ 2015年 2016年 新增建筑面積(萬(wàn)平方米) 700x 700(1+x)x 總綠色建筑面積(萬(wàn)平方米) 700+700x
=700(1+x) 700(1+x)+700(1
+x)x=700(1+x)2 ]
2016年總綠色建筑面積為1183。再根據(jù)相等關(guān)系建立一元二次方程求解。
解:設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為x,由題意得:
700(1+x)2=1183,
解得:x1=0.3, x2=-2.3(不合題意,舍去)。
答:這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為30%。
【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的增長(zhǎng)率問(wèn)題,同學(xué)們真正理解a(1+x)n的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
例3 某種商品經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)后,單價(jià)由200元下調(diào)至128元,求這種商品平均每次降價(jià)的百分率。
【解析】設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為x,本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系:
[ 降低(元) 標(biāo)價(jià)(元) 第一次 200x 200-200x=
200(1-x) 第二次 200(1-x)x 200(1-x)-200(1-x)x=200(1-x)2 ]
兩次降價(jià)后標(biāo)價(jià)128元。再根據(jù)相等關(guān)系建立方程求解。
解:設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意得:200(1-x)2=128,
解得:x1=0.2, x2=1.8(不合題意,舍去)。
答:這種商品平均每次降價(jià)的百分率為20%。
【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的下降率問(wèn)題,同學(xué)們真正理解a(1-x)n的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
三、銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題
例4 我區(qū)正大力發(fā)展綠色農(nóng)產(chǎn)品,有一種有機(jī)水果A特別受歡迎,某超市以市場(chǎng)價(jià)格10元每千克在我市收購(gòu)了6000千克A水果,立即將其冷藏,請(qǐng)根據(jù)下列信息解決問(wèn)題。
①水果A的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克上漲0.1元;
②平均每天有10千克的該水果損壞,不能出售;
③每天的冷藏費(fèi)用為300元;
④該水果最多保存110天。
(1)若將這批A水果存放x天后一次性
出售,則x天后這批水果的銷(xiāo)售單價(jià)為
元;可以出售的完好水果還有
千克;
(2)將這批A水果存放多少天后一次性出售所得利潤(rùn)為9600元?
【解析】(1)根據(jù)銷(xiāo)售價(jià)=成本價(jià)+每天每千克上漲0.1元填空;完好水果的質(zhì)量=總質(zhì)量-損壞的水果的質(zhì)量;
(2)按照等量關(guān)系“利潤(rùn)=銷(xiāo)售總金額-收購(gòu)成本-各種費(fèi)用”列出方程求解即可。
可借助表格分析各個(gè)量的表示:
[售價(jià)(元) 10+0.1x 銷(xiāo)量(千克) 6000-10x 成本(元) 10×6000 冷藏費(fèi)(元) 300x 利潤(rùn)(元) 9600 ]
【解答】(1)10+0.1x;6000-10x;
(2)由題意列方程:
(10+0.1x)(6000-10x)-10×6000-300x=9600,
解得:x1=80, x2=120(不合題意,舍去)。
答:這批A水果存放80天后一次性售出所得利潤(rùn)為9600元。
【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的銷(xiāo)售利潤(rùn)模型,等量關(guān)系一般為:(售價(jià)-成本)×銷(xiāo)售量=總利潤(rùn),其中售價(jià)和銷(xiāo)售量都跟價(jià)格有關(guān),從而據(jù)此設(shè)定未知量建立方程。
1.有一條長(zhǎng)40cm的繩子,要把它圍成一個(gè)矩形,若設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm,回答以下問(wèn)題:
(1)怎樣圍成一個(gè)面積為75cm2的矩形?
(2)能?chē)梢粋€(gè)面積為101cm2的矩形嗎?如能,說(shuō)明圍法;如不能,說(shuō)明理由。
2.為了建設(shè)生態(tài)園林城市,某市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng),該市林業(yè)部門(mén)調(diào)查情況如下表:
[年份 2009年底 2011年底 全市森林擁有面積(萬(wàn)畝) 15 21.6 ]
求2009年底至2011年底該市森林擁有面積的年平均增長(zhǎng)率。
3.某玩具廠生產(chǎn)一種玩具,按照控制固定成本降價(jià)促銷(xiāo)的原則,為使生產(chǎn)的玩具能夠及時(shí)售出,據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:每個(gè)玩具按480元銷(xiāo)售時(shí),每天可銷(xiāo)售160個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元,每天可多售出2個(gè)。已知每個(gè)玩具的固定成本為360元,問(wèn)這種玩具的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí),廠家每天可獲利潤(rùn)20000元?
4.某水果店銷(xiāo)售一種水果的成本價(jià)是5元/千克。在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)這種水果的價(jià)格定在7元/千克時(shí),每天可以賣(mài)出160千克。在此基礎(chǔ)上,這種水果的單價(jià)每提高1元/千克,該水果店每天就會(huì)少賣(mài)出20千克。
(1)若該水果店每天銷(xiāo)售這種水果所獲得的利潤(rùn)是420元,則單價(jià)應(yīng)定為多少?
(2)在利潤(rùn)不變的情況下,為了讓利于顧客,單價(jià)應(yīng)定為多少?
(作者單位:江蘇省南京市第一中學(xué)初中部)