熊冬平

一、要點(diǎn)梳理

要點(diǎn)一：一元二次方程根的判別式。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式：

（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。

要點(diǎn)詮釋：

利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式;②確定a，b，c的值;③計(jì)算b2-4ac的值;④根據(jù)b2-4ac的符號(hào)判定方程根的情況。

要點(diǎn)二：一元二次方程根的判別式的逆用。

在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中：

（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?b2-4ac>0;

（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?b2-4ac=0;

（3）方程沒有實(shí)數(shù)根?b2-4ac<0。

要點(diǎn)詮釋：

（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件;

（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則b2-4ac≥0。

二、典型例題

一元二次方程根的判別式的應(yīng)用。

例1 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

【思路點(diǎn)撥】已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即b2-4ac>0，得到關(guān)于k的不等式，從而求得k的范圍。

【解析】a=1，b=2k+1，c=k2+1。

b2-4ac=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3。

∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴4k-3>0。

∴k>[34]。

【總結(jié)升華】我們應(yīng)熟練掌握一元二次方程根的判別式與根之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)要注意書寫格式。

拓展 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+2）x-m2+m+1=0。

（1）求證：不論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求m的值及方程的根。

【解析】（1）證明：∵a=1，b=m+2，c=

-m2+m+1，

∴b2-4ac=（m+2）2-4（-m2+m+1）=5m2≥0。

∴不論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根。

（2）解：∵方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，

∴b2-4ac=0。

即5m2=0，m=0。

當(dāng)m=0時(shí)，原方程為x2+2x+1=0。

解得：x1=x2=-1。

例2 已知關(guān)于x的方程mx2-（m+2）x+2=0。

求證：不論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根。

【思路點(diǎn)撥】我們應(yīng)注意本題并沒有說方程是一元二次方程，也沒有說方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此二次項(xiàng)系數(shù)可以為0，也可以不為0。

【解析】①當(dāng)m=0時(shí)，原方程為一次方程，此時(shí)x=1，

∴當(dāng)m=0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根;

②當(dāng)m≠0時(shí)，b2-4ac=[-（m+2）]2-4×m×2=（m-2）2，

∵（m-2）2≥0，

∴方程有實(shí)數(shù)根。

綜上所述，無(wú)論m為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根。

【總結(jié)升華】（1）應(yīng)用判別式的條件是方程為一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)，應(yīng)注意系數(shù)不為0;

（2）應(yīng)用判別式應(yīng)將方程化為一般形式;

（3）注意有實(shí)根和有兩個(gè)實(shí)根的區(qū)別。

拓展 已知關(guān)于x的方程kx2-（k+2）x+2=0。若k為任意實(shí)數(shù)，判斷方程根的情況并說明理由。

【解析】①當(dāng)k=0時(shí)，-2x+2=0，x=1。

②當(dāng)k≠0時(shí)，b2-4ac=[-（k+2）]2-8k=（k-2）2。

∴當(dāng)k=0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根;

當(dāng)k=2時(shí)，（k-2）2=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)k≠2且k≠0時(shí)，（k-2）2>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（作者單位：江蘇省南京市鐘英中學(xué)）