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        例談中考題中的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

        2019-11-04 02:53:11季偉
        初中生世界·九年級(jí) 2019年9期

        季偉

        在中考中,韋達(dá)定理作為一元二次方程的重要考點(diǎn),其考查的方式也是多種多樣的,但萬(wàn)變不離其宗?,F(xiàn)在就讓我們一起走進(jìn)南京中考,看看近年來韋達(dá)定理在中考題中的風(fēng)采。

        一、已知兩根,求系數(shù)

        例1 (2017·南京)已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1,則p= ;q= 。

        【解析】本題可以有兩種解法:第一種,將兩根的值直接帶入原方程,轉(zhuǎn)化為二元一次方程組進(jìn)行求解;第二種,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系,在本題中x1+x2=-p,x1·x2=q,直接賦值求解即可。

        【答案】4,3。

        【點(diǎn)評(píng)】知道一元二次方程的兩個(gè)根,我們可以有兩種方法去求方程的系數(shù):一種是代入轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,另一種是通過根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解。很明顯,第二種方法比起第一種方法更為高效。而這也顯示了學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于求方程的系數(shù)所帶來的高效性。

        二、已知一個(gè)根與一個(gè)系數(shù),求另一個(gè)根與另一個(gè)系數(shù)

        例2 (2015·南京)已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是 ,m的值是 。

        【解析】本題可以有兩種解法:第一種,將已知根的值直接帶入原方程,轉(zhuǎn)化為一元一次方程,先求m的值,再求另一個(gè)根的值;第二種,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系,在本題中x1·x2=3,可以先求出另一個(gè)根的值,再通過x1+x2=-m,求出m的值。

        【答案】3,-4。

        例3 (2019·南京)已知2+[3]是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個(gè)根,則m=。

        【解析】本題可以有兩種解法:第一種,將根的值直接帶入原方程,轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解;第二種,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系,在本題中x1+x2=4,先求出另一根的值,再通過x1·x2=m,求出m的值。

        【答案】1。

        【點(diǎn)評(píng)】已知一元二次方程的一個(gè)根與一個(gè)系數(shù),要求另一個(gè)根與系數(shù),可以有兩種方法:第一種,通過代入一個(gè)根,先求出另一個(gè)系數(shù),再對(duì)另一個(gè)根進(jìn)行求解;第二種,通過根與系數(shù)的關(guān)系,先求出另一個(gè)根,再對(duì)另一個(gè)系數(shù)進(jìn)行求解。當(dāng)根的值較復(fù)雜時(shí),如例3中根的值為2+[3],直接代入會(huì)造成運(yùn)算的復(fù)雜,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系去求,在計(jì)算上會(huì)便捷很多。

        三、已知兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù),求另一個(gè)系數(shù)

        例4 (2016·南京)設(shè)x1、x2是方程x2-4x+m=0的兩個(gè)根,且x1+x2-x1x2=1,則x1+x2= ,m= 。

        【解析】本題給出了兩根的關(guān)系式,但沒有明確給出兩根的值,仔細(xì)觀察關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系可以得出,x1+x2=4,x1·x2=m,代入關(guān)系式求解即可。

        【答案】4,3。

        【點(diǎn)評(píng)】題目中給出了兩根的關(guān)系式,表面上我們只有一個(gè)關(guān)系式,但實(shí)際上通過根與系數(shù)的關(guān)系,我們可以得到三個(gè)與兩根有關(guān)的關(guān)系式。通過將題目所給關(guān)系式轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行求解,將未知化為已知,即可求出另一個(gè)系數(shù)的值。

        四、已知兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù),求兩根

        例5 (2018·南京)設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1,則x1= ,x2= 。

        【解析】本題給出了兩根關(guān)系式,通過觀察可直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系得m=x1+x2=1,再代入原方程,求出兩根。

        【答案】3,-2。

        【點(diǎn)評(píng)】題目中給出了兩根的關(guān)系式和一個(gè)系數(shù),要直接求出兩個(gè)根有一定困難。但通過根與系數(shù)的關(guān)系,我們可以得出另一個(gè)系數(shù)的值,將方程完整地表達(dá)出來。最后通過解方程,求出方程的兩個(gè)根。

        通過上述例題,我們可以看出,在解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系題目時(shí),需注意以下兩點(diǎn):

        1.若題目中給出了根或系數(shù),要求未知的根與系數(shù),可以有多種方法,但運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以使得求解過程更加簡(jiǎn)單高效;

        2.若題目中給出的是兩根的關(guān)系式,要求根或系數(shù),則可從一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式出發(fā),將題目中的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的關(guān)系式進(jìn)行求解。

        (作者單位:江蘇省南京市鐘英中學(xué))

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