王 慶 姚 俊 譚文祿 潘惠惠

(中電建水環(huán)境治理技術(shù)有限公司，廣東 深圳 518102)

0 引言

復(fù)合材料的這些微細(xì)觀尺度上的非均質(zhì)性對材料的宏觀物理力學(xué)行為具有很大的影響。目前用于計算復(fù)合材料宏細(xì)觀性質(zhì)之間關(guān)系的方法主要分為解析多尺度分析法和計算多尺度分析法[1,2]。解析多尺度方法主要有自洽法[3]、Mori-Tanaka法[4]，單胞法[5]、均勻化方法[6]等。計算多尺度分析法按照宏細(xì)觀模型的計算和信息傳遞方式的不同可以分為遞階法[7]、準(zhǔn)—協(xié)同法[8]和協(xié)同法[9]。解析多尺度方法只能計算簡單的微細(xì)觀結(jié)構(gòu)和本構(gòu)模型，而計算多尺度方法則不受限制，因此其應(yīng)用越來越廣泛。

計算多尺度方法中宏細(xì)觀模型之間傳遞的物理力學(xué)信息會直接影響計算結(jié)果，其中宏觀模型向微細(xì)觀模型傳遞信息是通過周期性邊界條件來實(shí)現(xiàn)的。目前微細(xì)觀模型周期性邊界條件的施加方式主要分為降溫法[10]和位移法[11]兩種。降溫法，是指將宏觀模型積分點(diǎn)上的應(yīng)變通過溫度應(yīng)變的方式施加到微細(xì)觀模型上。位移法，則是通過在微細(xì)觀模型上施加位移約束來產(chǎn)生應(yīng)變場。目前位移法在復(fù)合材料的性能計算中有一定的應(yīng)用[11,12]，但在施加邊界條件過程中容易出現(xiàn)過約束的問題，因此有必要提出一種消除過約束問題的周期性邊界條件施加方法。

1 降溫法的缺陷

圖1中是一個大小為(1×1×1)mm3的特征單元(RVE)，加固纖維是一個半徑為0.3 mm，長度為1 mm的圓柱體。其中基質(zhì)是一種彈塑性損傷材料，彈性模量和泊松比分別為70 GPa和0.3，屈服強(qiáng)度為40 MPa，而加固纖維為一種彈性材料，彈性模量和泊松比分別為380 GPa和0.2。在y方向施加1.0e-3的溫度壓應(yīng)變，得到如圖2所示的應(yīng)變云圖。從圖2中可以看出，基質(zhì)中的應(yīng)變基本為壓應(yīng)變，但是加固纖維中會出現(xiàn)拉應(yīng)變，這與事實(shí)不符合。

2 位移法的基本原理

位移法的基本思想是將細(xì)觀模型的位移Δu(x,y)可以看作是一個周期波動函數(shù)和宏觀位移的和，形式如下：

Δu(x,y)=Δv(x,y)+ΔE(x)×y

(1)

其中，Δv(x,y)為一個周期性波動函數(shù)；ΔE(x)為宏觀應(yīng)變。

假設(shè)細(xì)觀模型RVE的尺寸分別為α,β和γ，如圖3所示。宏觀應(yīng)變?yōu)棣，將周期性邊界條件式(1)作用到RVE上相應(yīng)的兩個面上，拿法向?yàn)閥1軸的兩個面舉例說明，其位移為:

(2)

(3)

(4)

對于圖3中的M和N點(diǎn)來說，式(4)可以表達(dá)為:

(5)

其中，Δu的上標(biāo)為節(jié)點(diǎn)自由度，下標(biāo)為對應(yīng)邊界上的兩個節(jié)點(diǎn)。式(5)中的表達(dá)式的形式是一個線性方程，而且是對節(jié)點(diǎn)自由度的約束方程，其一般形式為:

(6)

(7)

至此，通過引用參考點(diǎn)，我們可以用自由度約束方程的方式來施加周期性邊界條件。這種方法可以非常方便的推廣到多場問題，區(qū)別是自由度除了位移自由度外，還有例如溫度，孔隙水壓力等自由度。

3 改進(jìn)的周期性邊界條件施加方法

約束方程要將RVE邊界面上的節(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)約束起來，但是由于不同面之間會有共同的節(jié)點(diǎn)，在長方體的RVE中，每條棱被兩個面共有，每個頂點(diǎn)被三個面共有，這些點(diǎn)可能會被重復(fù)的約束。

以圖4中的三維RVE為例，與自由度1有關(guān)的約束方程為:

(8)

將式(8)變形成矩陣形式，其系數(shù)矩陣的秩為7。也就是說約束方程中只有7個是相互獨(dú)立的。式(8)中第4式加上第(11)式減去第(12)式可以得到第(1)式。

(9)

同理，第(7)式加上第(11)式再減去第(9)式可以得到第(5)式:

(10)

第(7)式減去第(4)式加上第(2)式可以得到第(8)式:

(11)

第(2)式加上第(9)式減去第(10)式可以得到第(3)式:

(12)

第(12)式加上第(8)式減去第(10)式可以得到第(6)式:

(13)

其他自由度的約束方程也可以用類似的方法消除多余的約束。

4 算例

細(xì)觀模型的大小，材料參數(shù)與圖1中模型相同。為了與降溫法進(jìn)行對比，將改進(jìn)的位移法周期性邊界條件施加到y(tǒng)方向，宏觀應(yīng)變大小為-1.0e-3。應(yīng)變結(jié)果如圖5所示，從圖5中可以看出，由位移法施加的周期性邊界條件計算得到的細(xì)觀模型不存在反向應(yīng)變的現(xiàn)象，其中加固纖維的應(yīng)變狀態(tài)與圖2完全相反，呈受壓狀態(tài)，更符合實(shí)際情況。

5 結(jié)語

通過實(shí)例發(fā)現(xiàn)降溫法施加細(xì)觀模型周期性邊界條件時，會出現(xiàn)反方向應(yīng)變，影響計算多尺度方法的準(zhǔn)確性。本文在位移法的基礎(chǔ)上，消除了過約束，克服了位移法應(yīng)用時會出現(xiàn)過約束的問題。算例中將該周期性邊界條件施加到與降溫法相同的細(xì)觀模型上，發(fā)現(xiàn)不再存在反向應(yīng)變，應(yīng)力場更符合實(shí)際。該方法對解決計算多尺度方法中的細(xì)觀模型邊界問題有一定的意義，但該方法依賴于細(xì)觀模型的周期性網(wǎng)格的問題有待解決。