莊梅芳
(福建省晉江市南灣中學 福建 晉江 362200)
分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想,在解決二次函數(shù)問題時經(jīng)常用到。許多二次函數(shù)問題,往往在相同的題設下,會產(chǎn)生幾種不同的結(jié)果,這就需要借助于分類討論思想按照同一標準,確定分類對象,把可能存在的一切情況都列舉出來,一一加以研究,然后進行歸納,合并,綜合得出結(jié)論。
例1,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0),它與x軸交于點A和B,與y軸交于點C,試求S△AoC+S△BoC
解:設A(x1,0),B(x2,0)則x1,x2就是二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根。
而OA=|x1|,OB=|x2|, 又由x=0時,y=c得OC=|c|
已知a>0,下面就c的不同符號分別計算S△AoC+S△BOC的值
(1)當c=0時,顯然有S△AoC+S△B0C=0
(2)當c>0時,x1和x2同號
i)若x1和x2都為正數(shù),則b<0,
ii)若x1和x2都為負數(shù),則b>0
(3)當c<0時,x1和x2異號,不防設x1>0,x2<0,則
OC=|c|=-c
轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學思想,是解決二次函數(shù)問題不可忽視的方法。二次函數(shù)的問題一般都是綜合性很強的題目,如何把復雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化,是解題成敗的關鍵所在。轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中運用的思想一般是把生活、生產(chǎn)、科研中的實際問題通過建立數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;把位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系;把非常規(guī)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題,最終實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化,從而使問題得到解決。
(1)若導彈運行軌道為一拋物線,求該拋物線的解析式;
(2)說明按(1)中軌道運行的導彈能否擊中目標C的理由。
解:(1)設導彈運行軌道的拋物線解析式為y=ax2+bx+c,由題意知,這條拋物線的頂點坐標為E(4,3)
(2)設C點的坐標為(xo,yo),過C作CB⊥0X垂足為B,在Rt△OBC和Rt△ABC中,OA=1,
方程思想是一種廣泛應用的數(shù)學思想,是解決二次函數(shù)問題的一個有力工具。在二次函數(shù)問題中,或多或少存在著等量關系,我們經(jīng)常把所研究的二次函數(shù)問題中的數(shù)量關系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學模型,通過解方程或方程組,實觀未知向已知的轉(zhuǎn)化??梢?,方程思想方法,對解決二次函數(shù)問題,作用十分重大。如待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,求解幾何圖形中的函數(shù)關系,求二次函數(shù)與其他圖形的交點問題等,都離不開方程思想。
例3已知二次函數(shù)y=x2+bx+a(b<0)的圖像與y軸交于點P(0,3),與x軸交于A、B兩點,且AB=2
(1)求bc的值,并寫出這個函數(shù)的解析式;
(2)過P點作x軸的平行線,求這條平行線被二次函數(shù)圖像所截得的線段的長;
(3)求△PAB的面積;
解:(1)∵P(0,3)在圖像上,將其坐標值代入y=x2+ bx+c(b 即得c=3設A(x1,0),B(x2,0),則x1、x2是方程x2+bx+3=0的根。 ∵AB=2,即|x1-x2| ∵b<0, ∴ b=-4 ∴所求的解析式為y=x2-4x+3 (2)設過P且平行于x軸的直線與圖像的另一交點為Q,則P、Q的坐標就是下面方程組的解: 數(shù)形結(jié)合思想是一種典型的數(shù)學思想,是研究二次函數(shù)問題離不開的思想方法。數(shù)學是以現(xiàn)實世界中的空間形式與數(shù)量關系為研究對象,即數(shù)學是研究數(shù)、形及其關系的一門科學。在建立直角坐標系后,平面上的點就可以用坐標來表示,進一步又可建立平面上曲線與方程間的聯(lián)系,這就使數(shù)與形結(jié)合起來,二次函數(shù)問題正是這種思想的充分體現(xiàn),使數(shù)和形的結(jié)合達到了一個新的境地。在二次函數(shù)問題中,我們通過圖形形象直觀地表示出抽象的數(shù)量關系,即利用形來研究數(shù),另一方面,通過數(shù)量計算準確地表示出圖形的性質(zhì)即利用數(shù)來研究形。數(shù)形結(jié)合思想的運用,是驗證二次函數(shù)解題能力和創(chuàng)造性的有力根據(jù)。4.數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應用