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        數(shù)學(xué)思想方法在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        2019-11-04 12:41:06莊梅芳
        讀與寫 2019年31期
        關(guān)鍵詞:拋物線數(shù)形解析

        莊梅芳

        (福建省晉江市南灣中學(xué) 福建 晉江 362200)

        1.分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在解決二次函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常用到。許多二次函數(shù)問題,往往在相同的題設(shè)下,會(huì)產(chǎn)生幾種不同的結(jié)果,這就需要借助于分類討論思想按照同一標(biāo)準(zhǔn),確定分類對(duì)象,把可能存在的一切情況都列舉出來,一一加以研究,然后進(jìn)行歸納,合并,綜合得出結(jié)論。

        例1,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0),它與x軸交于點(diǎn)A和B,與y軸交于點(diǎn)C,試求S△AoC+S△BoC

        解:設(shè)A(x1,0),B(x2,0)則x1,x2就是二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根。

        而OA=|x1|,OB=|x2|, 又由x=0時(shí),y=c得OC=|c|

        已知a>0,下面就c的不同符號(hào)分別計(jì)算S△AoC+S△BOC的值

        (1)當(dāng)c=0時(shí),顯然有S△AoC+S△B0C=0

        (2)當(dāng)c>0時(shí),x1和x2同號(hào)

        i)若x1和x2都為正數(shù),則b<0,

        ii)若x1和x2都為負(fù)數(shù),則b>0

        (3)當(dāng)c<0時(shí),x1和x2異號(hào),不防設(shè)x1>0,x2<0,則

        OC=|c|=-c

        2.轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想,是解決二次函數(shù)問題不可忽視的方法。二次函數(shù)的問題一般都是綜合性很強(qiáng)的題目,如何把復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化,是解題成敗的關(guān)鍵所在。轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中運(yùn)用的思想一般是把生活、生產(chǎn)、科研中的實(shí)際問題通過建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系;把非常規(guī)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題,最終實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化,從而使問題得到解決。

        (1)若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線,求該拋物線的解析式;

        (2)說明按(1)中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C的理由。

        解:(1)設(shè)導(dǎo)彈運(yùn)行軌道的拋物線解析式為y=ax2+bx+c,由題意知,這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(4,3)

        (2)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,yo),過C作CB⊥0X垂足為B,在Rt△OBC和Rt△ABC中,OA=1,

        3.方程思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        方程思想是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想,是解決二次函數(shù)問題的一個(gè)有力工具。在二次函數(shù)問題中,或多或少存在著等量關(guān)系,我們經(jīng)常把所研究的二次函數(shù)問題中的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型,通過解方程或方程組,實(shí)觀未知向已知的轉(zhuǎn)化。可見,方程思想方法,對(duì)解決二次函數(shù)問題,作用十分重大。如待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,求解幾何圖形中的函數(shù)關(guān)系,求二次函數(shù)與其他圖形的交點(diǎn)問題等,都離不開方程思想。

        例3已知二次函數(shù)y=x2+bx+a(b<0)的圖像與y軸交于點(diǎn)P(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn),且AB=2

        (1)求bc的值,并寫出這個(gè)函數(shù)的解析式;

        (2)過P點(diǎn)作x軸的平行線,求這條平行線被二次函數(shù)圖像所截得的線段的長(zhǎng);

        (3)求△PAB的面積;

        解:(1)∵P(0,3)在圖像上,將其坐標(biāo)值代入y=x2+ bx+c(b

        即得c=3設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1、x2是方程x2+bx+3=0的根。

        ∵AB=2,即|x1-x2|

        ∵b<0, ∴ b=-4

        ∴所求的解析式為y=x2-4x+3

        (2)設(shè)過P且平行于x軸的直線與圖像的另一交點(diǎn)為Q,則P、Q的坐標(biāo)就是下面方程組的解:

        4.數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        數(shù)形結(jié)合思想是一種典型的數(shù)學(xué)思想,是研究二次函數(shù)問題離不開的思想方法。數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象,即數(shù)學(xué)是研究數(shù)、形及其關(guān)系的一門科學(xué)。在建立直角坐標(biāo)系后,平面上的點(diǎn)就可以用坐標(biāo)來表示,進(jìn)一步又可建立平面上曲線與方程間的聯(lián)系,這就使數(shù)與形結(jié)合起來,二次函數(shù)問題正是這種思想的充分體現(xiàn),使數(shù)和形的結(jié)合達(dá)到了一個(gè)新的境地。在二次函數(shù)問題中,我們通過圖形形象直觀地表示出抽象的數(shù)量關(guān)系,即利用形來研究數(shù),另一方面,通過數(shù)量計(jì)算準(zhǔn)確地表示出圖形的性質(zhì)即利用數(shù)來研究形。數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,是驗(yàn)證二次函數(shù)解題能力和創(chuàng)造性的有力根據(jù)。

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