嚴(yán)季隆 高曉晴 李鴻
摘 要:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)留給學(xué)生的超越知識以外的內(nèi)涵,在近年的中考試題中都有很好的體現(xiàn),它指引著初中數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的方向。文章通過研究近些年中考試題的解題策略,探索提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑。
關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);數(shù)學(xué);命題
中圖分類號:G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 收稿日期:2019-04-11 文章編號:1674-120X(2019)24-0060-02
教師要教會(huì)學(xué)生的不只是課本里的知識,還要教會(huì)學(xué)生知識以外的東西,甚至超越知識體系以外的內(nèi)涵。人們所學(xué)的知識隨著時(shí)間的流逝會(huì)逐漸淡忘,很難留下太多的痕跡。但如果在學(xué)習(xí)的過程中,能掌握超越知識以外的內(nèi)涵,終究會(huì)留下一些融入我們的思想,變成本能的一部分?;蛟S這就是學(xué)習(xí)的意義。而數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科,除去知識以外留給學(xué)生的應(yīng)該就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
認(rèn)真研究近些年的中考試題,我們不難發(fā)現(xiàn),許多試題都旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此筆者命制一道中考模試試題:
已知拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且拋物線C1相應(yīng)的二次函數(shù)的最小值為-1,求:
(1)拋物線C1的方程.
(2)若拋物線C2與拋物線C1的圖像關(guān)于y軸對稱,且拋物線C2與y軸交與C點(diǎn),D為頂點(diǎn),同時(shí)拋物線C2上點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,試判斷△CDE的形狀。
(3)若E在拋物線C2上運(yùn)動(dòng),試問:△CDE能否為直角三角形?若存在。求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由。
此題起點(diǎn)不高,但要求較全面。本題蘊(yùn)含了“數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、一次函數(shù)與二次函數(shù)、直角三角形與勾股定理、對稱變換與圖形組合”等一系列的數(shù)學(xué)內(nèi)容。同時(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到充分的考查。
同時(shí)本題是以代數(shù)與幾何相結(jié)合作為題目的背景,利用二次函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決此題。想要解答出本題,對學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)要求很高,我們要探索一條道路,讓學(xué)生逐步解決問題,形成解題策略。分成四步驟進(jìn)行:
(1)逆向拆解:思考學(xué)生解答每一個(gè)小問題,需要具備什么樣的基本知識與基本技能?
(2)難點(diǎn)細(xì)化:讓學(xué)生一步一步達(dá)成目標(biāo),需要設(shè)計(jì)前置問題。
(3)技能固化:需要刻意練習(xí),需要搭配若干技能鞏固的練習(xí)串。
(4)綜合性變式訓(xùn)練:四基是核心素養(yǎng)的基礎(chǔ),通過技能鞏化后的變式訓(xùn)練,讓學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有落腳點(diǎn)。
針對模擬試題中的三個(gè)小問題進(jìn)行設(shè)計(jì)。
第(1)小問
(一)逆向拆解
第(1)問是求拋物線的解析式,學(xué)生必須懂得拋物線有哪幾種表達(dá)式。
它們是一般式、頂點(diǎn)式、雙根式。本題要選擇哪一種?
根據(jù)條件,本題可以用頂點(diǎn)式也可以用雙根式。
那接下來如何求出拋物線的解析式?
這時(shí)候,學(xué)生必須會(huì)用待定系數(shù)法,從而建立一個(gè)一元一次方程,即可得出結(jié)論。
這是二次函數(shù)教學(xué)中最基本的教學(xué)要求。
(二)難點(diǎn)細(xì)化
第(1)問中利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí),學(xué)生要明白每個(gè)解析式都含有三個(gè)參數(shù)。在頂點(diǎn)式中若已知頂點(diǎn),相當(dāng)于只剩一個(gè)參數(shù)未知a,所以再帶入一個(gè)點(diǎn)或其他一個(gè)條件就可以求解;在雙根式中也是一樣的道理;在一般式中,三個(gè)參數(shù)都未知,所以就需要三個(gè)條件才能求解。這些都需要學(xué)生在拿到試題時(shí)要懂得去區(qū)分、判斷。
(三)技能固化
(1)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,3)且拋物過點(diǎn)B(-4, 1),求拋物線的解析式。
(2)已知拋物線與x軸交于(1,0)和(3,0),且拋物線過(2,5),求拋物線解析式。
(3)已知拋物線過A(1,4),B(2,5),C(3,7),求拋物線的解析式。
第(2)小問
(一)逆向拆解
第(2)問是判斷△CDE的形狀型。學(xué)生首先要明白,常見的三角形有哪些,每種三角形又具備什么樣的特性,要如何去判定。三角形主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。這些都要求學(xué)生做到心中有數(shù)。
(二)難點(diǎn)細(xì)化
第(2)小題是判斷△CDE的形狀,主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。本小題中這里C、D、E各點(diǎn)由C2而來,而C2又由C1而來,所以根據(jù)第(1)小題的結(jié)論,通過對稱變換,關(guān)于y軸對稱求得C2方程,進(jìn)而得到C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。觀察E點(diǎn)在C2上且橫坐標(biāo)為,由點(diǎn)在函數(shù)上的特點(diǎn)可求E點(diǎn)坐標(biāo),到此C、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)都求得,畫出示意圖,可以猜想△CDE為直角三角形。顯然通過勾股定理可以求得CD、CE、DE三邊長,再根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△CDE為直角三角形。也排除了等腰直角三角形的進(jìn)一步可能。
(三)技能固化
(4)在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,求證△ABC是等腰三角形。
(5)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,1),B(4,1),C(3,2),請判斷△ABC的形狀。
(6)在等腰三角形△ABC中,AB=AC,D為AB的中點(diǎn),CD⊥AB,則△ABC是______ 三角形。
(7)在Rt△ABC,sinA=,∠BCA=90°,D是AB的中點(diǎn),判斷△BCD的形狀。
第(3)小問
(一)逆向拆解
第(3)問要求學(xué)生既要具有基本的幾何運(yùn)動(dòng)的變化思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想,又要具備基本的觀察和邏輯推理能力,同時(shí)還要掌握圖形運(yùn)動(dòng)變換的性質(zhì)和直角三角形的分類。E點(diǎn)由靜到動(dòng),判斷△CDE為直角三角形,顯然要對直角的不同位置進(jìn)行分類討論,有三種情況。
(二)難點(diǎn)細(xì)化
第一種情況,若CD⊥CE,觀察圖像可得CE∥DE′。
由待定系數(shù)法求出DE′的方程,再由CE∥DE′斜率相等得到CE斜率,再加C點(diǎn)坐標(biāo),可求出直線CE方程,聯(lián)立CE和C2方程,求得E點(diǎn)坐標(biāo)。
第二種情況,由圖像可知,∠CED=90°,通常是添加與x, y軸的平行線(或者垂線),構(gòu)造三角形相似,再由相似三角形的性質(zhì)求得結(jié)果。可以設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,用含m的式子來表示相似三角形的對應(yīng)邊,再由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程,求得m的值,求得 E點(diǎn)坐標(biāo)。
第三種情況,即第(2)小題所求得E(,)。這和第二小題相關(guān)很容易得到,但是又是容易疏忽的。
到此第(3)小題中的各種可能都討論完畢,最后也求出符合條件所有E點(diǎn)坐標(biāo)。要注意的是最后別忘了下結(jié)論。
(三)技能固化
(8)在△ABC中,三邊長為a,b,c,則可以判斷△ABC不是直角三角形的是( ? ? )。
A. a=3b=4c=5 ? ? ? ? ? ? B. ?c∶b ∶a =5∶12∶13
C. a=8b=15c=17 ? ? ? ? ?D. a =7b =24c=26
(9)在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,-1),B(3,-1),C(1,1)求證△ABC是等腰直角三角形。
例如:對原有試題中的條件進(jìn)行改變。
(四)綜合性變式訓(xùn)練
變式1:設(shè)置新的動(dòng)點(diǎn)F。
讓E點(diǎn)為靜止,再引入新的動(dòng)點(diǎn)F。
題目的第(3)問可以延伸和拓展成:若F點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng),試問:是否存在點(diǎn)F與C、D、E中任意兩點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是直角三角形。
變式2:改變題目的條件 。
將本題的第(2)(3)小題的垂直條件變成等腰,或等邊三角形,或直角等腰三角形。
這些三角形都是初中階段重點(diǎn)考查的對象。
所有理論都是為了實(shí)踐服務(wù)的,研究中考命題是為了在日常教學(xué)中更好地指導(dǎo)我們關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)源于數(shù)學(xué)的基本知識與方法,對其進(jìn)行抽象而衍生出來的產(chǎn)物。當(dāng)然,學(xué)生對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的掌握是在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中,教師引導(dǎo),自己積累,慢慢沉淀而成。于是教師“教什么?怎么教?”就成為關(guān)鍵所在。注重教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐的統(tǒng)一,才能讓課堂成為學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效場所,提高教學(xué)質(zhì)量。
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