嚴季隆 高曉晴 李鴻

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)留給學(xué)生的超越知識以外的內(nèi)涵，在近年的中考試題中都有很好的體現(xiàn)，它指引著初中數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的方向。文章通過研究近些年中考試題的解題策略，探索提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué);命題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-04-11 文章編號：1674-120X（2019）24-0060-02

教師要教會學(xué)生的不只是課本里的知識，還要教會學(xué)生知識以外的東西，甚至超越知識體系以外的內(nèi)涵。人們所學(xué)的知識隨著時間的流逝會逐漸淡忘，很難留下太多的痕跡。但如果在學(xué)習(xí)的過程中，能掌握超越知識以外的內(nèi)涵，終究會留下一些融入我們的思想，變成本能的一部分?；蛟S這就是學(xué)習(xí)的意義。而數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，除去知識以外留給學(xué)生的應(yīng)該就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

認真研究近些年的中考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，許多試題都旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此筆者命制一道中考模試試題：

已知拋物線C1經(jīng)過點A（-1，0），B（-3，0）兩點，且拋物線C1相應(yīng)的二次函數(shù)的最小值為-1，求：

（1）拋物線C1的方程.

（2）若拋物線C2與拋物線C1的圖像關(guān)于y軸對稱，且拋物線C2與y軸交與C點，D為頂點，同時拋物線C2上點E的橫坐標為，試判斷△CDE的形狀。

（3）若E在拋物線C2上運動，試問：△CDE能否為直角三角形？若存在。求出點E的坐標，若不存在，請說明理由。

此題起點不高，但要求較全面。本題蘊含了“數(shù)與形、代數(shù)計算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、一次函數(shù)與二次函數(shù)、直角三角形與勾股定理、對稱變換與圖形組合”等一系列的數(shù)學(xué)內(nèi)容。同時數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到充分的考查。

同時本題是以代數(shù)與幾何相結(jié)合作為題目的背景，利用二次函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決此題。想要解答出本題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)要求很高，我們要探索一條道路，讓學(xué)生逐步解決問題，形成解題策略。分成四步驟進行：

（1）逆向拆解：思考學(xué)生解答每一個小問題，需要具備什么樣的基本知識與基本技能？

（2）難點細化：讓學(xué)生一步一步達成目標，需要設(shè)計前置問題。

（3）技能固化：需要刻意練習(xí)，需要搭配若干技能鞏固的練習(xí)串。

（4）綜合性變式訓(xùn)練：四基是核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，通過技能鞏化后的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有落腳點。

針對模擬試題中的三個小問題進行設(shè)計。

第（1）小問

（一）逆向拆解

第（1）問是求拋物線的解析式，學(xué)生必須懂得拋物線有哪幾種表達式。

它們是一般式、頂點式、雙根式。本題要選擇哪一種？

根據(jù)條件，本題可以用頂點式也可以用雙根式。

那接下來如何求出拋物線的解析式？

這時候，學(xué)生必須會用待定系數(shù)法，從而建立一個一元一次方程，即可得出結(jié)論。

這是二次函數(shù)教學(xué)中最基本的教學(xué)要求。

（二）難點細化

第（1）問中利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，學(xué)生要明白每個解析式都含有三個參數(shù)。在頂點式中若已知頂點，相當于只剩一個參數(shù)未知a，所以再帶入一個點或其他一個條件就可以求解;在雙根式中也是一樣的道理;在一般式中，三個參數(shù)都未知，所以就需要三個條件才能求解。這些都需要學(xué)生在拿到試題時要懂得去區(qū)分、判斷。

（三）技能固化

（1）已知拋物線頂點坐標為A（-2，3）且拋物過點B（-4， 1），求拋物線的解析式。

（2）已知拋物線與x軸交于（1，0）和（3，0），且拋物線過（2，5），求拋物線解析式。

（3）已知拋物線過A（1，4），B（2，5），C（3，7），求拋物線的解析式。

第（2）小問

（一）逆向拆解

第（2）問是判斷△CDE的形狀型。學(xué)生首先要明白，常見的三角形有哪些，每種三角形又具備什么樣的特性，要如何去判定。三角形主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。這些都要求學(xué)生做到心中有數(shù)。

（二）難點細化

第（2）小題是判斷△CDE的形狀，主要從等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向來考慮。本小題中這里C、D、E各點由C2而來，而C2又由C1而來，所以根據(jù)第（1）小題的結(jié)論，通過對稱變換，關(guān)于y軸對稱求得C2方程，進而得到C，D兩點的坐標。觀察E點在C2上且橫坐標為，由點在函數(shù)上的特點可求E點坐標，到此C、D、E三點坐標都求得，畫出示意圖，可以猜想△CDE為直角三角形。顯然通過勾股定理可以求得CD、CE、DE三邊長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△CDE為直角三角形。也排除了等腰直角三角形的進一步可能。

（三）技能固化

（4）在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，求證△ABC是等腰三角形。

（5）已知△ABC的三個頂點坐標為A（2，1），B（4，1），C（3，2），請判斷△ABC的形狀。

（6）在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D為AB的中點，CD⊥AB，則△ABC是______ 三角形。

（7）在Rt△ABC，sinA=，∠BCA=90°，D是AB的中點，判斷△BCD的形狀。

第（3）小問

（一）逆向拆解

第（3）問要求學(xué)生既要具有基本的幾何運動的變化思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，又要具備基本的觀察和邏輯推理能力，同時還要掌握圖形運動變換的性質(zhì)和直角三角形的分類。E點由靜到動，判斷△CDE為直角三角形，顯然要對直角的不同位置進行分類討論，有三種情況。

（二）難點細化

第一種情況，若CD⊥CE，觀察圖像可得CE∥DE′。

由待定系數(shù)法求出DE′的方程，再由CE∥DE′斜率相等得到CE斜率，再加C點坐標，可求出直線CE方程，聯(lián)立CE和C2方程，求得E點坐標。

第二種情況，由圖像可知，∠CED=90°，通常是添加與x， y軸的平行線（或者垂線），構(gòu)造三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)求得結(jié)果。可以設(shè)E點的橫坐標為m，用含m的式子來表示相似三角形的對應(yīng)邊，再由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程，求得m的值，求得 E點坐標。

第三種情況，即第（2）小題所求得E（，）。這和第二小題相關(guān)很容易得到，但是又是容易疏忽的。

到此第（3）小題中的各種可能都討論完畢，最后也求出符合條件所有E點坐標。要注意的是最后別忘了下結(jié)論。

（三）技能固化

（8）在△ABC中，三邊長為a，b，c，則可以判斷△ABC不是直角三角形的是（ ? ? ）。

A. a=3b=4c=5 ? ? ? ? ? ? B. ?c∶b ∶a =5∶12∶13

C. a=8b=15c=17 ? ? ? ? ?D. a =7b =24c=26

（9）在平面直角坐標系中，已知A（-1，-1），B（3，-1），C（1，1）求證△ABC是等腰直角三角形。

例如：對原有試題中的條件進行改變。

（四）綜合性變式訓(xùn)練

變式1：設(shè)置新的動點F。

讓E點為靜止，再引入新的動點F。

題目的第（3）問可以延伸和拓展成：若F點在拋物線上運動，試問：是否存在點F與C、D、E中任意兩點所構(gòu)成的三角形是直角三角形。

變式2：改變題目的條件 。

將本題的第（2）（3）小題的垂直條件變成等腰，或等邊三角形，或直角等腰三角形。

這些三角形都是初中階段重點考查的對象。

所有理論都是為了實踐服務(wù)的，研究中考命題是為了在日常教學(xué)中更好地指導(dǎo)我們關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)源于數(shù)學(xué)的基本知識與方法，對其進行抽象而衍生出來的產(chǎn)物。當然，學(xué)生對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的掌握是在平時學(xué)習(xí)過程中，教師引導(dǎo)，自己積累，慢慢沉淀而成。于是教師“教什么？怎么教？”就成為關(guān)鍵所在。注重教學(xué)理論和教學(xué)實踐的統(tǒng)一，才能讓課堂成為學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效場所，提高教學(xué)質(zhì)量。

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