李建

摘 要：技術(shù)科目作為浙江省新高考科目以來，算法加試部分難度不斷提高。近幾年的考題對計(jì)數(shù)思想的考查，更標(biāo)志著程序填空題的難度從代碼層面到思維深度的跨越。文章作者將結(jié)合思維程度的深入，逐步給出數(shù)個(gè)經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的思考過程，并提出一種“加一維”的思考方法，切實(shí)有效提高學(xué)生解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的能力。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)規(guī)劃;狀態(tài)定義;狀態(tài)轉(zhuǎn)移;加一維

中圖分類號：O221.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-04-07 文章編號：1674-120X（2019）24-0117-02

很多教師錯(cuò)誤地認(rèn)為動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題就是背包問題，甚至有教師因?yàn)樵搯栴}太過抽象，“簡單粗暴”地讓學(xué)生死記背包模型代碼，顯然這種教學(xué)方法是非常不可取的。

下面筆者逐步給出數(shù)個(gè)經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的解題步驟，建立概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生了解動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的本質(zhì)，并提出“加一維”，切實(shí)有效提高學(xué)生解決問題的能力。

一、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法基本原理

在信息學(xué)競賽中，第一次考查動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在IOI1994（國際信息學(xué)競賽）中的“數(shù)塔問題”，雖然當(dāng)時(shí)全世界信息學(xué)頂尖選手的此題得分率極低，但是現(xiàn)在已經(jīng)作為DP算法的入門題出現(xiàn)。其模型比較直觀，有助于我們理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法中的相關(guān)概念和性質(zhì)。很多教師在講授動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，先羅列相關(guān)生澀的概念，很多學(xué)生對此無法真正理解。下面我們從一個(gè)相對直觀的問題出發(fā)，一步一步引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，在解決問題的過程中，學(xué)生可以逐漸理解問題的本質(zhì)。

問題一：數(shù)塔問題。有一些數(shù)字排成數(shù)塔的形狀，其中第一層有一個(gè)數(shù)字，第二層有兩個(gè)數(shù)字……第n層有n個(gè)數(shù)字?，F(xiàn)在要從第一層走到第n層，每次只能選擇左下方或者右下方的數(shù)字，問：“最后將路徑上所有數(shù)字相加后得到的和最大是多少？”

教師引導(dǎo)思考過程：

（1）從起點(diǎn)到第一行第一列的答案是固定的。

（2）在第一步驟基礎(chǔ)上，從起點(diǎn)到第二行的答案也是固定的。

（3）在第三行時(shí)，7有兩種選擇，顯然選擇累積更大的8才是最優(yōu)的。若將f[i][j]定義為從第一行第一列到第i行第j列的路徑上的數(shù)字和的最大值，則到數(shù)字7的遞推式為：f[3][2] = max（f[2][1] ， f[2][2]）+7。

（4）可得出一般遞推式為f[i][j]=max（f[i-1][j-1]，f[i-1][j]）+a[i][j]，我們只需要推到第n行，就可以得到ans=max（f[n][1…n]）。

解法提煉：

（1）狀態(tài)定義：f[i][j]定義從第一行第一列到第i行第j列的路徑上的數(shù)字和的最大值。

（2）所求：max（f[n][1…n]）。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：f[i][j]=max（f[i-1][j-1]，f[i-1][j]）+a[i][j]。

正確性分析：

（1）前面推導(dǎo)的結(jié)果不會(huì)隨著后幾行得到的結(jié)果而改變——無后效性。

（2）局部最優(yōu)可以保證全局最優(yōu)——最優(yōu)子結(jié)構(gòu)。

這兩個(gè)性質(zhì)也是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法解決問題的先決條件。

二、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)定義

問題二：最長上升子序列問題。給定一個(gè)長度為n的數(shù)字序列，求最長的上升子序列長度。如3，1，2，6，4，5的最長上升子序列為1，2，4，5，故答案為4。

在問題一的基礎(chǔ)上，很容易想到如下解法。

（1）狀態(tài)定義：f[i]定義為到第i個(gè)數(shù)字為止，能獲得最長子序列長度。

（2）所求：f[n]。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：顯然此時(shí)很難尋找到f[i]關(guān)于f[1…i-1]的遞推關(guān)系。

無法找到遞推關(guān)系是由于遞推時(shí)的大小關(guān)系需要第i個(gè)數(shù)與前面某個(gè)確定的數(shù)進(jìn)行比較，而原有的狀態(tài)定義無法得知哪些數(shù)字被選中，故無法直接進(jìn)行比較，帶著這個(gè)問題，容易想到新的解法。

（1）狀態(tài)定義：f[i]定義為到第i個(gè)數(shù)字為止，且第i個(gè)數(shù)必須為改子序列的最后一個(gè)數(shù)字時(shí)，所獲得的最長子序列的長度。

（2）所求：max（f[1…n]）。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：f[i] = max（f[j]） + 1|1 <= j <= i - 1，a[j]

該算法的時(shí)間復(fù)雜度為0（n2），空間復(fù)雜度為0（n）。

問題三：最長公共子序列問題。給定兩個(gè)長度為n的數(shù)字序列，求最長的公共子序列長度。如第一個(gè)數(shù)字序列為1，6，2，5，4，7，第二個(gè)數(shù)字序列為1，2，5，5，2，7，則最長的公共子序列為1，2，5，7，其長度為4。

順著問題二的思路，可以得到如下解法。

（1）狀態(tài)定義：f[i][j]定義為當(dāng)?shù)谝恍袛?shù)字取到第i個(gè)，第二行數(shù)字取到第j個(gè)時(shí)，所能得到的最長公共子序列長度，且第i個(gè)數(shù)字和第j個(gè)數(shù)字分別為所求子序列的最后一個(gè)數(shù)字（即這兩個(gè)數(shù)字必須取到）。

（2）所求：max（f[1…n][1…n]）。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

該解法狀態(tài)總數(shù)共有n2個(gè)，每個(gè)狀態(tài)需要枚舉i和j前面所有的p和q，求解單個(gè)狀態(tài)需要的枚舉量為（i-1）*（j-1），其時(shí)間復(fù)雜度是0（n2），總共有n2個(gè)狀態(tài)，故總的時(shí)間復(fù)雜度為0（n4），空間復(fù)雜度為0（n2）。該算法的瓶頸主要在于求解每個(gè)狀態(tài)都需要去枚舉前面所有的狀態(tài)，下面我們嘗試使用另外一種狀態(tài)定義來開拓學(xué)生的思路。

（1）狀態(tài)定義：f[i][j]定義為當(dāng)?shù)谝恍袛?shù)字取到第i個(gè)，第二行數(shù)字取到第j個(gè)時(shí)，所能得到的最長子序列長度，且第i個(gè)數(shù)字和第j個(gè)數(shù)字不需要為所求子序列的最后一個(gè)數(shù)字（即這兩個(gè)數(shù)字取到與否都可以）。

（2）所求：f[n][n]。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

當(dāng)a[i]與b[j]相等時(shí)，其會(huì)對目標(biāo)值貢獻(xiàn)1，而a[i]與b[j]不相等時(shí)，顯然這兩個(gè)數(shù)字無法配對，故對f[i][j]而言，a[i]和b[j]中必有一個(gè)是多余的，故f[i][j]=max（f[i-1][j]，f[i][j-1]）。此時(shí)計(jì)算f[i][j]的時(shí)間復(fù)雜度為0（1），故總的時(shí)間復(fù)雜度為0（n2）。

經(jīng)過前面三個(gè)問題的鋪墊，我們對解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題的模式與思考方式有了一定了解，在此基礎(chǔ)上，我們再開始對更抽象的背包問題進(jìn)行解答。

三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在裝箱問題中的應(yīng)用

問題四：裝箱問題。有一個(gè)箱子容量為V（正整數(shù)，0<=V<=20000），同時(shí)有n個(gè)物品（0

（1）狀態(tài)定義：f[i][j]定義為放到第i個(gè)物品為止，體積為j能否得到，1表示取到，0表示取不到。

（2）所求：V-max（j）|f[n][j]=1。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：f[i][j]=f[i-1][j-a[i]]|f[i-1][j-a[i]]=1。

優(yōu)化一：觀察狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，f[i]僅與f[i-1]有關(guān)，故我們可以采用滾動(dòng)數(shù)組來優(yōu)化空間，f[flag][j]=f[！flag][j-a[i]]|f[！flag][j-a[i]]=1，一輪計(jì)算完畢后，flag=！flag，此時(shí)空間復(fù)雜度從0（n*V）優(yōu)化到0（V）。

優(yōu)化二：只需要從大到小枚舉j就可保證同一個(gè)物品不會(huì)被計(jì)算多次，f[j]=f[j-a[i]]|f[j-a[i]]=1。

拓展思考：如果每個(gè)物品有無窮多個(gè)呢？

四、“加一維”思想在動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題中的應(yīng)用

問題五：數(shù)塔問題加強(qiáng)版。在問題一的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)條件：有且僅有一次機(jī)會(huì)可以將路徑中的一個(gè)數(shù)字獲得兩次，求最后路徑中路徑上數(shù)字的和的最大值。

顯然存在幾種明顯錯(cuò)誤的貪心思想：

（1）在問題一基礎(chǔ)上，對路徑中最大的數(shù)字使用額外取一次的機(jī)會(huì)。

可構(gòu)造如下反例：

1

1 ?8

14 8 8

經(jīng)過問題一的處理，會(huì)發(fā)現(xiàn)路徑為1-8-8，再對路徑中最大值8額外取一次，最后結(jié)果為25，而顯然存在更優(yōu)的答案為1-1-14，其最后的結(jié)果為30。

（2）有了上述反例，又嘗試進(jìn)行如下的貪心策略：將所有數(shù)字中最大的數(shù)字選定，再以這個(gè)數(shù)字為起點(diǎn)往上取到頂，往下取到最后一行，又可構(gòu)造反例如：

1

1 ? 10

11 10 10

按照貪心策略，其路徑為1-1-11，結(jié)果為24，而存在答案為1-10-10，31。

正確做法就是本文要提出的“加一維”解法，引導(dǎo)思考過程：

（1）在不使用額外機(jī)會(huì)時(shí)，與問題一是完全一樣的。

（2）機(jī)會(huì)使用后，也與問題一是完全一樣的。

（3）每個(gè)數(shù)字都有使用該機(jī)會(huì)的可能性。

提出解法：

（1）狀態(tài)定義：f[i][j][k]定義為取到第i行第j列時(shí)，機(jī)會(huì)的狀態(tài)是k時(shí)能獲得的目標(biāo)值最優(yōu)為多少，k為0表示機(jī)會(huì)已經(jīng)使用，k為1表示機(jī)會(huì)尚未使用。

（2）所求：max（f[n][1..n][0]）。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

如果在第i行第j列時(shí)，機(jī)會(huì)依舊存在，則在此之前其機(jī)會(huì)也必須存在故遞推式為：f[i][j][1]=max（f[i-1][j-1][1]，f[i-1][j][1]）+a[i][j]。

如果機(jī)會(huì)已經(jīng)被使用，則f[i][j][0]有兩種可能性：在此之前機(jī)會(huì)已經(jīng)被使用max（f[i-1][j-1][0]，f[i-1][j][0]）+a[i][j]或者對a[i][j]使用取兩次的機(jī)會(huì)max（f[i-1][j-1][1]，f[i-1][j][1]）+2*a[i][j]，我們只需在這兩種可能性中取最大值便可。

我們把加入該機(jī)會(huì)是否被使用的狀態(tài)作為新的一維，枚舉其轉(zhuǎn)移時(shí)的所有可能性，巧妙地解決了該問題，且時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度依舊和原問題同階。這種技巧也在大量的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題中適用，當(dāng)我們無法很輕松地將“不可控的量”交代清楚時(shí)，可以將其狀態(tài)作為單獨(dú)的一維代入計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

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